Desigualdades – Inecuaciones

Desigualdad es la expresión de la diferencia en más o en menos de dos cantidades.

Se expresa con el signo > colocando la cantidad mayor delante de la apertura del ángulo y la menor junto al vértice.

a > b que se lee “a mayor que b“.
a < b que se lee “a menor que b”.

Se llama inecuación la desigualdad en la que entra alguna incógnita.

Propiedades.-
I. Si se suma o se resta una misma cantidad a los dos miembros de una desigualdad resulta otra desigualdad del mismo sentido.

y
       

Consecuencias.- Se puede pasar un término cualquiera de un miembro a otro cambiándole de signo.

En la desigualdad    
si añadimos 8 a los dos miembros y restando   2x   tendremos:

   
   

Si se cambian todos los términos de miembro hay que cambiar el sentido de la desigualdad.

II.- Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desigualdad por un número positivo resulta otra desigualdad del mismo sentido.

Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desigualdad por un número negativo resulta otra desigualdad de sentido contrario.

Sea la desigualdad:   

Multiplicando los términos sucesivamente por 4 y por -4 da:

1.º   y   

Dividiendo los términos sucesivamente por 3 y -3 da:

2.º   y     

Consecuencias.- Se pueden quitar denominadores multiplicando los dos términos de la desigualdad por el m.c.m de los denominadorescon tal de saber el signo del m.c.m y aplicar la propiedad anterior.

III.- Si se suman miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido resulta otra desigualdad de idéntico sentido.

Si son de sentido contrario, no se puede predecir el resultado.

IV.- Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de distinto sentido resulta otra igualdad del sentido del minuendo.

Si son del mismo sentido, no se puede predecir el resultado.

V.- La potencia de una desigualdad es otra desigualdad del mismo sentido si sus dos miembros son positivos.

   

Resolución de inecuaciones.- Aplicando las propiedades anteriores se pueden resolver como si fuesen ecuaciones.

Ejemplo I:

   

Tenemos sucesivamente.

   
   
   

por lo tanto para todo valor de x menor de 20 se cumplirá la desigualdad.

Ejemplo II.

   

Quitando denominadores tenemos:

   
   
   
     
   

Todos los números mayor de tres la complen.