División

Dividir es una operación por la cual dado el producto de dos números y uno de ellos se busca el otro.
Conviene considerar el signo, el coeficiente y las letras.

El signo.- Como el dividendo es un producto y el divisor y cociente los factores, basándonos en la multiplicación tendremos:

+.+\;=+;\; \;-.-\;=+;\; \;+.-=+;\; \; -.+=-

Es decir, que si el dividendo y el divisor son de igual signo, el cociente será positivo y será negativo en caso contrario.

Cociente.- El coeficiente del cociente es el resultado de dividir el coeficiente del dividendo por el del divisor.

Potencias de una misma base.- Para dividir dos potencias de una misma base se restan sus exponentes.

  a^{5}\: :\: a^{3}\: =\: a^{5-3}\: =\: a^{2}  
     
  a^{m}\: :\: a^{n}\: =\: a^{m-n}  

Pueden ocurrir 3 casos: a) m > n; b) m = n; c) m < n

En el primer caso, si m > n, tendremos m – n = d; en el segundo, m – n = 0, y en el tercero, m – n = – d

Exponente cero.- Toda cantidad afectada de un exponente cero es igual a la unidad.

  a^{n}\: :\: a^{n}\: =\: a^{n-n}\: =\: a^{0}  
     
  pero  
     
   \frac{a^{n}}{a^{n}}= 1  
     
  por eso se admite que  
     
   a^{0}=1  

Exponente negativo.- Toda cantidad afectada de exponete negativo es igual a la unidad dividida por esa misma cantidad.

  a^{m}\: :\: a^{n}\: =\: a^{m-n}  

si n = m + d será m – n = – 1

  luego  
     
  a^{m}\: :\: a^{n}\: =\: a^{-d}  
  pero  
     
  \frac{a^{m}}{a^{n}}=\frac{a^{m}}{a^{m+d}}=\frac{a^{m}}{a^{m}.\: a^{d}}=\frac{1}{a^{d}}  
  de donde  
     
  a^{-d}=\frac{1}{a^{d}}  

Toda letra puede pasar del dividendo al divisor o viceversa con solo cambiar el signo del exponente de dicha letra.

Division de monomios.- Para dividir monomios :

1º Se aplica la regla de los signos.

2º Se dividen entre si los coeficientes y el resultado será el coeficiente del cociente.

3º Se restan los exponentes de las letras que se hallen en el dividendo y en el divisor. Si hay letras en el dividendo que no están en el divisor pasan al cociente con el mismo exponente que tienen, las que estén en el divisor y no en el dividendo pasan al cociente cambiando el sigo del exponente.

\bg_black 12a^{2}b^{2} : \bg_black 4a^{2}b=3ab
     
\bg_black -15a^{4}b^{3} : \bg_black 3x^{2}y^{2}=-5x^{2}y
     
\bg_black 20a^{5}b^{2}c^{2} : \bg_black -5a^{2}b^{2}=-4a^{3}c^{2}
     
\bg_black -35x^{3}y^{4} : \bg_black -5x^{2}y^{3}z=7xyz^{-1}

División de un polinomio por un monomio.- Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio.

En efecto: el polinomio es una suma indicada y sabemos que para dividir una suma por una cantidad se divide cada sumando por dicha cantidad.

  20x^{4}y^{2}-12x^{3}y^{3}+8x^{2}y^{4}-16xy^{5}:-4xy^{2}  
     
  =-5x^{3}+3x^{2}y-2xy^{2}+4y^{3}  

Tanto en la división de dos monomios como en la de un polinomio por un monomio, cuando la división no da un cociente exacto, se deja la operación en forma de fracción.

División de un polinomios por otro.- Para dividir dos polinomios :

1º Se ordenan ambos respecto a las potencia decrecientes de una misma letra.

2º Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor y se obtiene así el primer término del cociente.

3º Se multiplica este témino por todo el divisor y el producto obtenido se resta de todo el dividendo.

4º Se divide el término del resto que tenga el mayor exponente de la letra ordenatriz por el primero del divisor y así tenemos el segundo término del cociente.

5º Se multiplica este segundo término por todo el divisor y se resta este producto del primer resto.

Se continua hasta llegar a un resto cero, o bien hasta que el mayor exponente de la letra ordenatriz sea menor que el del primer término de divisor. Si el resto es cero el cociente es exacto, en caso contrario no lo es.

Cociente completo.- Cuando la división es inexacta se llama cociente completo al resultado de añadir al cociente que resulte una fracción que tenga como numerador el restoy por denominador el divisor de la misma división.

El cociente completo de la división anterior sera:

  x^{2}-5x+6+\frac{2x-8}{x^{2}-5x+6}  

Resto de la división de un polinomio en x por el binomio x±a.- Para hallar el resto de la división de un polinomio en x por el binomio (x±a) se reemplaza en el polinomio x por a con signo contrario, el resultado será el resto pedido.

  5x^{4}-7x^{3}+8x^{2}-4x+10\: :\: x-2  

Reemplazando x por 2 tendremos:

           
  5.2^{4}-7.2^{3}+8.2^{2}-4.2+10=122-64=58  

58 será el resto de la división.

Cociente de la división de un polinomio en x por el binomio x±a.- Para hallarlo se adopta la disposición siguiente que recibe el nombre de Regla de Ruffini.

1º Se ordena el dividendo y se completa con ceros los términos que falten.

2º Se escriben en línea horizontal los coeficientes del dividendo con sus signos, en otra línea un poco adelantado se escribe el valor de a con signo contrario.

3º Se traza una línea horizontal y debajo de ella se repite el primer coeficiente del dividendo.

4º Se multiplica a por el último coeficiente escrito debajo de la raya, este producto se escribe encima y se suma con el correspondiente coeficiente del dividendo.

5º El último resultado es el resto y los anteriores son los coeficientes del cociente.
La parte literal se obtiene escribiendo a continuación de los coeficientes las potencias decrecientes de x a partir de la inmediata inferior a la mayor del dividendo.

  -5x^{2}+x^{4}+12\: :\: x-2  
     
  Se ordena y completa  
     
  x^{4}+0x^{3}-5x^{2}+0x+12  
            1        0       -5       0     +12  
         +2     +2      +4     -2       -4  
        ———————————————  
            1    +2       -1    -2        +8  

El cociente es:

  x^{3}+2x^{2}-x-2\; \; \; \; Resto=\: 8  

Teorema del resto(ampliación).- El teorema del resto nos dice que el resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a, es decir P(a).

Según el ejemplo anterior, donde se ha aplicado la regla de Ruffini, se ha logrado saber que el resto es, R = 8, aplicando el teorema del resto a ese mismo polinomio tenemos:

x^{4}-5x^{2}+12:x-2
 
hacemos x =2
 
(-2)^{4}-5(-2)^{2}+12=16-20+12=8

Realmente lo que se ha hecho para obtener que x = 2, es despejar el valor de x en el divisor igualando dicho divisor a cero.
Así x – 2 = 0 ; x = 2.

Cocientes notables.- Las reglas anteriores son también aplicables aun cuando el polinomio dividendo sea incompleto.
Consideremos los casos siguiente que reciben el nombre de cocientes notables.

  1.º x^{m}\: -\: a^{m}    

siempre es divisible por x-a porque hallando el resto reemplazando x por a, tendremos:

    r=a^{m}-a^{m}= 0    
  2.º x^{m}+a^{m}    

nunca es divisible por x-a, porque:

    r=a^{m}+a^{m}=2a^{m}    
  3.º x^{m}\: -\: a^{m}    

es divisible por x-a cuando m es par.

en efecto, se puede poner     (x+a)=x-(-a)

luego     r=(-a)^{m}-a^{m}  

Si m es par dará:     a^{m}-a^{m}=0

Si m es impar tendremos:    -a^{m}-a^{m}=-2a^{m}

  4.º x^{m}+a^{m}    

es divisible por x+a cuando m es impar.

en efecto:     r=(-a^{m})+a^{m}

si m es impar tendremos:     r=-a^{m}+a^{m}=0

y si m es par dará:     r=a^{m}+a^{m}=2a^{m}

Observaciones.- 1ª El cociente es homogéneo y de un grado inferior en una unidad al del dividendo.

2ª.- Si el segundo término del divisor tiene sigo negativo, todos los términos del cociente serán alternativamente positivos y negativos.

Descomposición en factores.- Los principales procedimientos para para descomponer en factores son: el sacar factor común y ciertos artificios que indicamos a continuación.

Sacar factor común.- Para sacar factor común de un polinomio :

1º Se escribe el factor común fuera del paréntesis.

2º Dentro del paréntesis se escriben los cocientes de cada uno de los términos del polinomio por el factor común.

  5a^{2}b+10ab^{2}-5b^{3}=5b(a^{2}+2ab+b^{2})  
  2a(x-y)+b(y-x)=2a(x-y)-b(x-y)=  
  =(x-y)(2a-b)  

Artificios de descomposición.

A) Por medio de esta identidades y por productos notables.

1. \bg_black \left ( x+y \right )^{2}-4xy = \bg_black \left ( x-y \right )^{2}  
         
2. \bg_black \left ( x-y \right )^{2}+4xy = \bg_black \left ( x+y \right )^{2}  
         
3. \bg_black \left ( x+y \right )^{2}+\left ( x-y \right )^{2} = \bg_black 2(x^{2}+y^{2})  
         
4. \bg_black \left ( x+y \right )^{2}-\left ( x-y \right )^{2} = \bg_black 4xy  

B) Agrupando los términos.

1. xa+ay-bx-by=a(x+y)-b(x+y)=  
  =(a-b)(x+y)  
2. \bg_black a^{2}b-a^{2}c-b^{2}a+b^{2}c+c^{2}a-c^{2}b  
     
  ordenando respecto de a tenemos:  
     
  a^{2}(b-c)-a(b^{2}-c^{2})+bc(b-c)=  
  (b-c)[a^{2}-a(b+c)+bc]=  
  =(b-c)[a^{2}-ab-ac+bc]=  
  (b-c)[a(a-b)-c(a-b)]=  
  (b-c)(a-b)(a-c)  

C) Añadiendo y quitando una misma cantidad:

1. x^{2}-a^{2}=x^{2}-ax+ax-a^{2}=  
  =x(x-a)+a(x-a)=(x-a)(x+a)  
2. x^{4}+y^{4}=x^{4}+2x^{2}y^{2}-2x^{2}y^{2}+y^{4}=  
  =(x^{2}+y^{2}+\sqrt{2xy})(x^{2}+y^{2}-\sqrt{2xy})  
3. x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2}=  
  =x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2}+x^{2}y^{2}-x^{2}y^{2}=  
  =(x^{2}y^{2})^{2}-x^{2}y^{2}=  
  =(x^{2}+y^{2}+xy)(x^{2}+y^{2}-xy)  

D) Por medio de la descomposición de uno de los términos:

1. x^{2}-7x+12=  
  =x^{2}-3x-4x+12=  
  =x(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x-4)  
     
2. x^{3}+3ax^{2}+3a^{2}x+a^{3}=  
  =x^{3}+ax^{2}+2ax^{2}+a^{2}x+2a^{2}x+a^{3}=  
  =x^{2}(x+a)+2ax(x+a)+a^{2}(x+a)=  
  =(x+a)(x^{2}+2ax+a^{2})=(x+a)^{3}  
3. x^{3}+9x^{2}+26x+24=  
  =x^{3}+4x^{2}+5x^{2}+20x+6x+24=  
  =x^{2}(x+4)+5x(x+4)+6(x+4)=  
     
  x^{2}+5x+6=(x+3)(x+2)  
  luego quedará  
  (x+4)(x+3)(x+2)