Sistemas de primer grado con dos incógnitas

Toda ecuación de primer grado con dos incógnita se reduce a la forma ax+by=k, en la que a, b y k son cantidades constantes y conocidas, x e y son las incógnitas.

Sistema de ecuaciones.- Cuando hay varias ecuaciones distintas que se resuelven con los mismos valores de las incónitas al conjunto de dichas ecuaciones de le llama sistema.

Clases.- Un sistema de ecuaciones puede ser determinado, indeterminado e imposible.

Sistema determinado es el que tiene un número limitado de soluciones.

       6x-5y=8    
    -2x+7y=8    

en la que   x=3\:\: \: e\:\: \: y=2      son las únicas soluciones.

Sistema indeterminado es aquel que tiene un número infinito de soluciones.

    3x-y=5    
    6x-2y=10    

cuyas soluciones son lasparejas de valores:

  x=0 x=1 x=2 ……….  
  y=-5 y=-2 y=1 ……….  

Sistema imposible es el que no tiene ninguna solución.

    3x-2y=8    
    6x-4y=26    

No hay ningún par de valores que satisfagan a la vez ambas ecuaciones.

Eliminar una incógnita en un sistema de ecuaciones es transformarlo en otro sistema equivlaente en la que no aparezca dicha incógnita.

Despejar una incónota es hallar el valor de dicha incógnota en función de otras cantidades.

Métodos.- Los más ordinarios son tres: por sustitución, por igualación y por reudcción.

Eliminación por sustitución.- Consiste en reemplazar en una cualquiera de las ecuaciones una de la incógnitas por su valor despejado en la otra ecuación.

1º Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de la ecuaciones.

2º Se sustituye este valor en la otra ecuación.

Se tiene así una ecuación con una sola incógnita.

Se resuelve esta ecuación y el valor hallado de su incógnita se lleva a la otra ecuación, la cual. una vez resuelta, tendremos el valor de cada una de las incógnita que satisfacen al sistema.

  ax+by=k (1)
  a'x+b'y=k' (2)

Despejando x en la (2), tendremos:

a'x=k'-b'y,\: \: \: \: \: x=\frac{k'-b'y}{a'}

llevando este valor de x a la eciación (2), tendremos:

a\left ( \frac{k'-b'y}{a'} \right )+by=k

que, resuelta, da sucesivamente:

ak'-ab'y+a'by=a'k\: \: \: ;\: \: \: ak'-a'k=ab'y-a'by

ak'-a'k=(ab'-a'b)y

y=\frac{ak'-a'k}{ab'-a'b}

Reemplazando y por este valor en la ecuación (2) da:

(ab'-a'b)ax+abk'-a'bk=ab'k-a'bk

(ab'-a'b)ax=ab'k-abk'

(ab'-a'b)x=b'k-bk'

x=\frac{b'k-bk'}{ab'-a'b}

Aplicando lo anterior a un sistema de ecuaciones numéricas:

 x-3y=1   (1)
3x-4y=8   (2)

Despejando x en la ecuación (1), tenemos:   x=1+3y

Levando este valor a la ecuación (2), tenemos:

3(1+3y)-4y=8;\; \; 3+9y-4y=8;\; \; 9y-4y=8-3

5y=5;\; \; \; \; \; y=\frac{5}{5}=1

Llevando este valor de ya la ecuación (1), tenemos:

x-3=1;\; \; \; x=1+3=4

x = 4 e y = 1, valores que satisfacen la ecuación.

Eliminación por igualación.- Consiste en hallar una igualdad cuyos dos miembros expresan el valor de una misma incónita. Para ello:

1º Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones.

2º Se igualan los resultados obtenidos.

Con esto se tiene una ecuación con una sola incógnitacuyo valor se hallará resolviendo la eciación.

Para hallar el valor de la 2ª incógnita se reemplaza el valor obtenido en cualquiera de ls eciacuines del sistema y se resuelve.

ax+by=k          (1)
a'x+b'y=k'        (2)

Despejamos x en ambas ecuaciones:

x=\frac{k-by}{a}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: x=\frac{k'-b'y}{a'}

Estos dos valores iguales de xdan la ecuación:

\frac{k-by}{a}=\frac{k'-b'y}{a'}

Resolviendo la eciación tenemos:

a'k-a'by=ak'-ab'y\: \: \: ;\: \: \: ab'y-a'by=ak'-a'k
y(ab'-a'b)=ak'-a'k
y=\frac{ak'-a'k}{ab'-a'b}

Para hallar el valor de la otra incógnita se procede como en el caso anterior.

Aplicación a un sistema de ecuaciones numérica.

4x+5y=17     (1)
3x-2y=\: 7      (2)

Tendremos en (1):   x=\frac{17-5y}{4}

Tendremos en (2):   x=\frac{7+2y}{3}

Y por consiguiente:   \frac{17-5y}{4}=\frac{7+2y}{3}

Resolviendo tenemos:

51-15y=28+28y\: \: \: ;\: \: \: 25-28=8y+15y

23=23y\: \: \: ;\: \: \: y=1

Este valor llevado a la ecuació (1) da:

4x+5=17\: \: \: ;\: \: \: 4x=17-5\: \: \: ;\: \: \: 4x=12

de donde:     x=\frac{12}{4}=3

Por tanto, x = 3 e y = 1, valores que satisfacen al sistema.

Eliminación por reducción.- Consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en las dos ecuaciones. Para ello:

1º Se multiplicanlos dos miembros de cada ecuación por el coeficiente que en la otra tenga la incógnita que se quiere hacer desaparecer.

2º Si los coficientes igualados tienen signos contrarios se suman miembro a miembro las nuevas ecuaciones, si tienen signos iguales, se restan.

Hechas esta operaciones queda una ecuación con una sola incógnita, que resolvemos por el procedimiento ordinario.

ax+by=k          (1)
a'x+b'y=k'        (2)

Multiplicando (1) por a’ y (2) por a dan respectivamente.

a'ax+a'by=a'k     (3)
aa'x+ab'y=ak'     (4)

Restando miembro a miembro (3) de (4) se reduce a:

ab'y-a'by=ak'-a'k\: \: \:;\: \: \: (ab'-a'b)y=ak'-a'k
y=\frac{ak'-a'k}{ab'-a'b}

El valor de la otra incógnita se halla como en el primer caso.

Aplicación a un sistema de ecuaciones numéricas:

5x-2y=11     (1)
    \: x-3y=\: 9     (2)

Multiplicando (1) por 3 y (2) por 2, se tiene:

15x-6y=33     (3)
   \: 2x+6y=18     (4)

Sumando miembro a miembro se reduce a:    17x=51

de donde:          x=\frac{51}{17}=3

Rreemplazando x por su valor en cualquira de las ecuaciones hallaremos que y = 2.

Por tanto, x = 3 e y = 2, valores que satisfacen al sistema.