Ecuaciones de primer grado

Igualdad es la expresión que resulta de unir con el signo de igual ( = ) dos cantidades de igual valor.

5 . 4=20 ; \left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+a^{2}

En toda igualdad se llama primer miembro la parte que va delante del signo igual, y segundo miembro la parte que va detrás de dicho signo.

3.8=8.3 ; a^{2}+bx=a^{2}+bx

Ecuación es una igualdad en la que entran una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas.

3x+3=15 ; x^{2}-7x=-12

Las ecuaciones solo se verifican para uno o varios valores determinados de la incógnita. Tales valores se llaman raices de la ecuación.

Clasificación.-Ecuación determinada es la que tiene un número limitado de raices, es indeterminada en caso contrario; literal es aquélla en que las cantidades conocidas están representadas por letras, y numérica es en la que las cantidades conocidas están representadas por números.

ax+b=cx+d literal y determinada
5x-4=3x+4 numérica y determinada
4x-5y=5 numérica e indeterminada

Grado.- El grado de una ecuación es el grado del término que lo tenga mayor con relacción a las incógnitas.

7x+4=3x+10 es de primer grado
x^{2}-5x+10=0 es de segundo grado

Transformaciones.- Se basan en que si con cantidades iguales se hacen operaciones iguales, los resultados son iguales.

Principio primero.- El valor de las raices de una ecuación no varía añadiendo o quitando una misma cantidad a los dos miembros de la ecuación.
Por tanto, en una ecuación se puede pasar uno o más términos de un miembro a otro, con signo contrario, pues es lo mismo que si a los dos miembros de la ecuación se les suma, o resta una misma cantidad.

  la ecuación 6x-2=9x+33 se cumple para x=5

Si multiplicamos ambos miembros por 4 tendremos:

  64x-8=36x+132   donde x=5

Por tanto, toda ecuación que tenga términos fraccionarios se puede tramsformar en otra cuyos términos sean todos enteros, lo cual se hace con la siguiente regla.

Regla.- Para quitar los denominadores de una ecuación se reducen los términos fraccionarios a común denominador y luego se multiplican todos los términos , enteros o fraccionarios, por dicho denominador común.

\frac{x}{3}-\frac{1}{6}+x=\frac{x}{4}+3+\frac{x}{2}-\frac{1}{4}

Reduciendo las fracciones al m.c.m tendremos:

\frac{4x}{12}-\frac{2}{12}+x=\frac{3x}{12}+3+\frac{6x}{12}-\frac{3}{12}

Y multiplicando todos los términos por 12 tendremos:

4x-2+12x=3x+36+6x-3

Si se multiplican o dividen los dos términos de una ecuación por una cantidad dependiente de la incógnita, se pueden introducir o suprimir raices.

Sea la ecuación 3x-45=0           (1)

a) Multiplicando sus dos términos por (x-4) se obtiene la nueva ecuación.

\left ( 3x-45 \right )\left ( x-4 \right )=0             (2)

La ecuación (1) no tiene más raiz que: x=15

La ecuación (2) tiene dos raices: x=15 y x=4

b) Si a la ecuación (2), que tiene dos raices, le dividimos sus dos miembros por (x-4) nos da la ecuación (1) que no tiene más que una raiz. Se ha perdido una raiz

Resolver una ecuación es hallar el valor de la incónita que satisfaga dicha ecuación.

Regla.- Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnota se procede del sihuiente modo:

1º Se quitan los denominadores.
2º Se efectuan las operaciones indicadas en ambos miembros si la incógnita se halla dentro de algun paréntesis.
3º Se pasan a un miembro todas las cantidades conocidasy al otro las que tengan la incógnita.
4º Se reducen los términos semejantes reduciendo la ecuación a Ax=B
5º Se dividen ambos miembros por el coeficiente de la incógnita.

Ejemplo I :


4x-2+12x=3x+36+6x-3

\frac{x}{3}-\frac{1}{6}+x=\frac{x}{4}+3+\frac{x}{2}-\frac{1}{4}

4x+12x-3x-6x=36-3+2

7x=35

x=\frac{35}{7}=5

Ejemplo II :


\frac{x+1}{2}+\frac{x+2}{3}=16-\frac{x+3}{4}

El m.c.m. de los denminadores es 12. Multiplicamos por 12 los dos miembros para quitar denominadores:

6(x+1)+4(x+2)=16.12-3(x+3)

x+6+4x+8=192-3x-9

6x+4x+3x=192-9-8-6

13x=169

x=\frac{169}{13}=13