Elevación a potencias

La potencia de una cantidad es el resultado de multiplicar dicha cantidad por sí misma un número determinado de veces.
A esta operación se la llama elevación a potencias o potenciación.

$\large a^{4}=a\, .\, a\, .\, a\, .\, a$

En Álgebra, el exponente puede ser entero, fraccionario, positivo o negativo, por lo que la potenciación se define como la operación que permite expresar productos repetidos de forma abreviada.

Notación de potencias.

Cuando en un producto aparecen factores iguales, se simplifica la escritura utilizando potencias:.

$\large 3\, .\, 3\, .\, 3\, .\, a\, .\, a\, .\, b\, .\, b\, .\, b\, .\, c=3^{3}.\, a^{2}.\, b^{3}.\, c$

Potencia de un producto.

Cuando en un producto aparecen factores iguales, se simplifica la escritura utilizando potencias:

$\large (5ax)^{2}=5^{2}.\, a^{2}.\, x^{2}$

Potencia de una potencia.

Para elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes:

$\large (a^{3})^{2}=a^{3}.\, a^{3}=a^{3+3} =a^{3.2}=a^{6}$

Potencia de un monomio.

Para elevar un monomio a una potencia:

• se eleva el coeficiente,
• y se eleva cada letra a dicha potencia.

El signo depende del exponente:

• si el monomio es positivo, el resultado siempre es positivo;
• si es negativo, el resultado es positivo si el exponente es par y negativo si es impar.

$\large (3a^{2}bx^{3})^{4}=3^{4}.\, a^{8}.\, b^{4}.\, x^{12}$

$\large (-2x^{2}y^{3})^{3}=-2^{3}.\, x^{6}.\, y^{9}$

Potencia de una fracción.

Para elevar una fracción a una potencia, se elevan a dicha potencia el numerador y el denominador:

$\large (\frac{a}{b})^{3}=\frac{a}{b}.\frac{a}{b}.\frac{a}{b}=\frac{a^{3}}{b^{3}}$

Potencias de un binomio.

Cuadrado y cubo de un binomio.

$\large (x+a)^{2}=(x+a)(x+a)=x^{2}+2xa+a^{2}$

$\large \left ( x+a \right )^{3}=\left ( x+a \right )^{2}\left ( x+a \right )=$ $\large (\large x^{3}+3x^{2}a+3xa^{2}+a^{3})$

$\large (x+a)^{4}=(x+a^{3})(x+a)=$ $\large (x^{4}+4ax^{3}+6a^{2}x^{2}+4a^{3}x+a^{4})$

En estos desarrollos:

   • Todos los términos son homogéneos.
   • Las potencias de x disminuyen.
   • Las potencias de a aumentan.
   •El número de términos es siempre n-1.

Coeficientes binomiales y Triángulo de Tartaglia (Pascal)

Al hallar las diversas potencias de (x+a) obtendremos productos simétricos: todos los términos son homogéneos.

El primero y último términos tienen por coeficiente la unidad y por exponente el mismo de la potencia que se quiere formar; las potencias de x decrecen y las de a aumentan pasando por todas las potencias sucesivas, incluso la potencia cero.

Al hacer el desarrollo se ve que el coeficiente de cada término resulta de sumar el coeficiente del mismo orden con el que le precede en el desarrollo de la potencia anterior.

Así en (x+a) elevado a la cuarta, el tercer coeficiente es igual a la suma del segundo y tercer coeficiente del desarrollo de (x+a) elevado al cubo, o sea, 3+3=6.

Sin necesidad de recurrir al desarrollo anterior se pueden hallar los coeficientes mediante la siguiente regla:

El coeficiente de un término cualquiera se obtiene multiplicando en el término anterior el coeficiente por el exponente de x y dividiendo el producto por el exponente de a aumentado en una unidad.

Comprobemos esto con:

$\large (a+x)^{3}=x^{3}+3x^{2}a+3a^{2}x+a^{3}$

para el segundo término tendremos: coeficiente del primer término es igual a 1 y el exponente de x es igual a 3, el exponente de a es igual a 0.

$(1\, .\, 3):(0+1)=3:1=3$

para el tercer término tendremos: coeficiente del segundo término es igual a 3 y el exponente de x es igual a 2, el exponente de a es igual a 1.

$(3\, .\, 2):(1+1)=6:2=3$

Y vemos que resulta correcto.

En el desarrollo de (x+a) elevado a n el número de términos es siempre n+1. Si n es par hay un término en medio cuyo coeficiente es el mayor, si n es impar hay en medio dos términos de igual coeficiente.

La ley de formación de los coeficientes nos permite construir el llamado Triángulo de Tartaglia.

Exponente:	1	1	1
«	2	1	2	1
«	3	1	3	3	1
«	4	1	4	6	4	1
«	5	1	5	10	10	5	1

Se obtiene cada coeficiente sumando los dos últimos de su fila superior.
Para obtener el coeficiente tercero del exponente cuarta se suman los exponentes de la potencia cubo del segundo y tercer término y tendremos seis.

Si en lugar de (x+a) tenemos (x-a) el desarrollo es idéntico cambiando solo el signo de los términos que tiene potencia impar de a.

$\large (a+x)^{3}=x^{3}+3x^{2}a+3a^{2}x+a^{3}$

$\large (x-a)^{3}=x^{3}-3ax^{2}+3a^{2}x-a^{3}$