Elevación a potencias

Potencia de una cantidad es el producto que resulta de multiplicar dicha cantidad por simisma cierto número de veces.

   

Como en ÁLGEBRA el exponente puede ser entero, fraccionario, positivo o negativo, podemos definir la potenciación diciendo que es una operación que tiene por objeto hallar una cantidad que esté formada por multiplicación respecto de la base como el exponente está por adición respecto de la unidad positiva.

Si en un producto hay varios factores iguales se abrevia la escritura empleando la notación de potencias.

Para elevar un producto a una potencia se eleva cada uno de los factores a esa potencia.

  (5ax)^{3}=5ax.5ax.5ax=5.5.5.a.a.a.x.x.x=5^{3}.a^{3}.x^{3}  

Para elevar una potencia de una cantidad a otra potencia se multiplican los exponentes.

  (a^{3})^{2}=a^{3}\: .\: a^{3}=a^{3+3}=a^{3.2}=a^{6}  

Para elevar un monomio a una potencia se eleva el coeficiente y cada una de las letras a dicha potencia.

Hay que tener en cuenta el signo del monomio: si es positivo al elevarlo cualquier potencia será siempre positivo. Si el monomio es negativo, al elevarlo a una potencia par el resultado será positivo, si el exponente es impar será negativo.

  (3a^{2}bx^{3})^{4}=3^{4}a^{8}b^{4}x^{12}  
  (-2x^{2}y^{3}z)^{3}=-2^{3}x^{6}y^{9}z^{3}  

Para elevar una fracción a una potencia se eleva a dicha potencia el numerador y el denominador.

  (\frac{a}{b})^{3}=\frac{a}{b}\: .\: \frac{a}{b}\: .\: \frac{a}{b}=\frac{a^{3}}{b^{3}}  

Potencias de binomios.- Tenemos que:

  (x+a)^{2}=(x+a)(x+a)x^{2}+2xa+a^{2}  
  (x+a^{3})=(x+a)^{2}(x+a)=(x^{2}+2xa+a^{2})(x+a)=  
  =x^{3}+3x^{2}a+3xa^{2}+b^{3}  
  (x+a)^{4}=(x^{3}+3x^{2}a+3xa^{2}+b^{3})(x+a)=  
  x^{4}+4x^{3}a+6x^{2}a^{2}+4xa^{3}+a^{4}  

Del mismo modo podríamos continuar con:

  (x+a)^{5}\; \; ,\; \; (x+a)^{6}.....  

Al hallar las diversas potencias de (x+a) obtendremos productos simétricos: todos los términos son homogéneos.

El primero y último terminos tienen por coeficiente la unidad y por exponente el mismo de la potencia que se quiere formar; las potencias de x decrecen y las de a aumentan pasando por todas las potencias sucesivas, incluso la potencia cero. Al hacer el desarrollo se ve que el coeficiente de cada término resulta de sumar el coeficiente del mismo orden con el que le precede en el desarrollo de la potencia anterior.

Así en (x+a) elevado a la cuarta, el tercer coeficiente es igual a la suma del segundo y tercer coeficiente del desarrollo de (x+a) elevado al cubo, o sea, 3+3=6.

Sin necesidad de recurrir al desarrollo anterior se pueden hallar los coeficientes mediante la siguiente regla:

El coeficiente de un término cualquiera se obtine multiplicando en el término anterior el coeficiente por el exponente de x y dividiendo el producto por el exponente se a aumentado en una unidad.

Comprobemos esto con:

  (x+a)^{3}=x^{3}+3x^{2}a+2xa^{2}+b^{3}  

para el segundo término tendremos: coeficiente del primer término es igual a 1 y el exponete de x es igual a 3, el exponente de a es igual a 0.

Tenemos pues: (1\: .\: 3):(0+1)=3:1=3  

para el tercer término tendremos: coeficiente del segundo término es igual a 3 y el exponente de x es igual a 2, el exponente de a es igual a 1.

Tenemos pues: (3\: .\: 2):(1+1)=6:2=3  

Y vemos que resulta correcto.

En el desarrolo de (x+a) elevado a n el número de términos es siempre n+1. Si n es par hay un término en medio cuyo coeficiente es el mayor, si n es impar hay en medio dos términos de igual coeficiente.

La ley de formación de los coeficientes nos permite construir el llamado Triángulo de Tartaglia.

 Exponente: 1   1 1        
2   1 2 1      
3   1 3 3 1    
4   1 4 6 4 1  
5   1 5 10 10 5 1

Se obtiene cada coeficiente sumando los dos últimos de su fila superior.
Para obtener el coeficiente tercero del exponente cuarta se suman los exponetes de la potencia cubo del segundo y tercer término y tendremos seis.

Si en lugar de (x+a) tenemos (x-a) el desarrollo es identico cambiando solo el signo de los términos que tiene potencia impar de a.

  (x+a)^{3}=x^{3}+3x^{2}a+2xa^{2}+b^{3}  
  (x-a^{3})=x^{3}-3x^{2}a+3xa^{2}-a^{3}  

Cuadrado de un polinomio.- Es igula al cuadrado de cada uno de sus términos más el doble producto de cada término por cada uno de los que siguen.

    (2a^{2}b-3ab^{3})^{2}=(2a^{2}b)^{2}-2(2a^{2}b)(3ab)^{3}+(3ab^{3})^{2}    
    =4a^{4}b^{2}-12a^{3}b^{4}-9a^{2}b^{6}    
    (2a^{2}+3ab^{2}-4ac-2b^{3})^{2}=    
    =(2a^{2})^{2}+(3ab^{2})^{2}+(-4ac)^{2}+(2b^{3})^{2}+    
    +2(2a^{2})(3ab^{2})+2(2a^{2})(-4ac)+2(2a^{2})(-2b^{3})+    
    +2(3ab^{2})(-4ac)+2(3ab^{2})(2b^{3})+2(4ac)(2b^{3})=    
    =4a^{2}9a^{2}b^{4}+16a^{2}c^{2}+4b^{6}+12a^{3}b^{2}-    
    -16a^{3}c-8a^{2}b^{3}-24a^{2}b^{2}c-12ab^{5}+16ab^{3}c