Fracciones

Fracción algebraica es el cociente indicado de dos cantidades, de las cuales una por lo menos es literal.

La diferencia de la división en que no asigna una operación que se deba de efectuar sino un cociente expresado en forma implícita.

En ARITMÉTICA se han generalizado las transformaciones y reglas de las operaciones que se efectuan con las fracciones. En ALGEBRA hay que considerar, además, la cualidad, y para eso basta ampliar el concepto de las operaciones extendiendolo a las cantidades algebraicas lo dicho de las númericas.

Redordaremos los principios y reglas más importantes de las fracciones aritméticas haciendo aplicación a las algebraicas.

Propiedad fundamental.- Si se multiplican o dividen los dos términos de una fracción por un mismo número, no varía.

  \frac{5ax^{2}}{8a^{2}x^{3}}=\frac{5ax^{2}\: .\:\: 3a^{2}x}{8a^{2}x^{3}\: .\:\: 3a^{2}x}=\frac{15a^{3}x^{3}}{24a^{4}x^{4}}    
  \frac{12a^{2}b^{3}c}{16ab^{2}c^{2}}=\frac{4ab^{2}c\: .\: 3ab}{4ab^{2}c\: .\: 3ab}=\frac{3ab}{4c}    

Para simplificar una fracción algebraica se suprimen los factores comunes del numerador y del denominador.

  \frac{15a^{3}b^{2}c}{20a^{3}b^{3}c^{4}}=\frac{5a^{2}b^{2}c\: .\: 3a}{5a^{2}b^{2}c\: .\: 4abc^{3}}=\frac{3a}{4abc^{3}}    
  \frac{10ax^{2}-25x^{2}b^{2}}{20a^{2}x^{2}+15cx^{2}}=\frac{5x^{2}(2a-5b^{2})}{5x^{2}(4a^{2}+3c)}=\frac{2a-5b^{2}}{4a^{2}+3c}    
  \frac{3ax^{2}-12y^{2}a}{5xy+10y^{2}}=\frac{3a(x^{2}-4y^{2}{})}{5y(x+2y)}=\frac{3a(x-2y)}{5y}    
  \frac{x^{2}+2x-15}{x^{2}-5x+6}=\frac{(x-3)(x-5)}{(x-3)(x-2)}=\frac{x+5}{x-2}    

Para reducir fracciones a común denominador se multiplican los dos términos de cada fracción por los denominadores de los demás.

  \frac{2x}{3y^{2}},\; \frac{5y}{4a},\; \frac{6z}{bc}=\frac{8abcx} {12abcy^{2}},\; \frac{15bcy^{3}}{12abcy^{2}},\; \frac{72ay^{2}z}{12abcy^{2}}    
  \frac{3x}{x-y},\; \frac{5y^{2}}{x+y},\; \frac{8xy}{x^{2}-y^{2}}=    
    =\frac{3x(x+y)}{x^{2}-y^{2}},\; \frac{5y^{2}(x-y)}{x^{2}-y^{2}},\; \frac{8xy}{x^{2}-y^{2}}    

Adició y sustracción.- Para sumar o restar fracciones añgebraicas, se reducen a común denominador, después se suman o restan los numeradores poniendo como denominador el denominador común.

Si hubiere términos semejantes o factores comunes se reducen o simplifican.

  \frac{5a}{a^{2}b}-\frac{3b}{ab^{2}}+\frac{8ac}{3a^{2}b^{2}}=\frac{15ab-9ab+8ac}{3a^{2}b^{2}}=    
    =\frac{6ab+8ac}{3a^{2}b^{2}}=\frac{2(3b+4c)}{3ab^{2}}    
  \frac{3x}{5(x+4)}+\frac{6y}{4(x-4)}-\frac{8xy}{2x^{2}-32}=    
    =\frac{12x(+-4)+30y(x+4)-80xy}{20(x^{2}-16)}=    
    =\frac{6x(x-4)+5y(12-5x)}{10(x^{2}-16)}    

Multiplicación.- Para multiplicar fracciones algebraicas se multiplican los numeradores y denominadores entre sí, simplificando después del resultado.

  \frac{5xy}{8y^{2}z}.\frac{6bz^{2}}{15ay}=\frac{30bxyz^{2}}{120ay^{3}z}=\frac{bxz}{4ay^{2}}    
  \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}.\frac{x+y}{x^{2}-y^{2}}.\frac{5(x^{2}+y^{2})}{3(x+y)}=\frac{5}{3(x+y)}    

División.- Para dividir fracciones algebraicas se multiplica la fracción dividendo por la fracción divisor invertidad.

  \frac{5x^{2}y}{4ab^{2}}:\frac{10x^{2}y^{3}}{6a^{2}b}=\frac{5x^{2}y}{4ab^{2}}.\frac{6a^{2}b}{10x^{2}y^{3}}=\frac{3a}{4by^{2}}    
  \frac{x^{3}-y^{3}}{x+y}:\frac{x^{2}-2xy+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}=    
    =\frac{x^{3}-y^{3}}{x+y}.\frac{x^{2}-y^{2}}{(x-y)^{2}}=x^{2}+xy+y^{2}