Operaciones con exponentes fraccionarios o negativos

Según está entendido, en ALGEBRA una letra puede representar cualquier cantidad, sea entera, fraccionaria, posiyiva o negativa; luego las mismas reglas que deimos antes para la multiplicación, división,elevación a potencias y extración de raices, nos serviran en el caso de que los exponentes sean fracionarios o negativos.
Además, recuerdece el significado de exponente negativo y exponente fraccionario.

Operaciones con exponentes fraccionarios.

1. \dpi{100} \large a^{\frac{m}{n}}\: .\: a^{\frac{r}{s}}=a^{\frac{m}{n}+\frac{r}{s}}=a^{\frac{ms+nr}{ns}}  
     
puesto que: \dpi{100} \large \sqrt[n]{a^{m}}\: .\: \sqrt[s]{a^{r}}=\sqrt[ns]{a^{ms+nr}}  
2. \dpi{100} \large a^{\frac{m}{n}}:a^{\frac{r}{s}}=a^{\frac{m}{n}-\frac{r}{s}}=a^{\frac{ms+mr}{ns}}  
     
puesto que: \dpi{100} \large \sqrt[n]{a^{m}}:\sqrt[s]{a^{r}}=\sqrt[ns]{a^{ms-nr}}  
3. \dpi{100} \large \left ( a^{\frac{m}{n}} \right )^{\frac{r}{s}}=a^{\frac{m}{n}.\frac{r}{s}}=a^{\frac{nr}{ns}}  
     
puesto que: \dpi{100} \large \sqrt[s]{(\sqrt[n]{a^{m}})^{r}}=\sqrt[ns]{a^{mr}}  
4. \dpi{100} \large \sqrt[\frac{r}{s}]{a^{\frac{m}{n}}}=a^{\frac{m}{n}:\frac{r}{s}}=a^{\frac{ms}{nr}}  
     
puesto que: \dpi{100} \large \sqrt[r]{(\sqrt[n]{a^{m}})^{s}}=\sqrt[rn]{a^{ms}}  
5. \dpi{100} \large a^{m}.a^{\frac{r}{s}}=a^{m+\frac{r}{s}}=a^{\frac{ms+r}{s}}  
     
puesto que: \dpi{100} \large \sqrt[s]{a^{ms}}.\sqrt[s]{a^{r}}=\sqrt[s]{a^{ms+r}}  
6. \dpi{100} \large a^{\frac{m}{n}}.a^{r}=a^{\frac{m}{n}+r}=a^{\frac{m+rn}{n}}  
     
puesto que: \dpi{100} \large \sqrt[n]{a^{3}}.\sqrt[n]{a^{rn}}=\sqrt[n]{a^{m+nr}}  

Operaciones con exponentes negativos.

1. \dpi{100} \large a^{-m}.a^{-n}=a^{-m-n}=a^{-(m+n)}  
puesto que \dpi{100} \large \frac{1}{a^{m}}.\frac{1}{a^{n}}=\frac{1}{a^{m+n}}  
2. \bg_black a^{-m}\, .\, a^{n}=a^{-m+n}  
puesto que \dpi{100} \large \frac{1}{a^{m}}\: .\: a^{n}=\frac{a^{n}}{a^{m}}  
3. \dpi{100} \large a^{m}:a^{-n}=a^{m-(-n)}=a^{m+n}  
puesto que \dpi{100} \large a^{m}:\frac{1}{a^{n}}=a^{m}.\: a^{n}=a^{m+n}  
4. \dpi{100} \large (a^{m})^{-n}=a^{-mn}  
puesto que \dpi{100} \large (a^{m})^{-n}=\frac{1}{(a^{m})^{n}}=\frac{1}{a^{mn}}=a^{-mn}  
5. \dpi{100} \large \sqrt[-n]{a^{m}}=a^{-\frac{m}{n}}  
puesto que \dpi{100} \large \sqrt[-n]{a^{m}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=a^{-\frac{m}{n}}