Problemas de 1º grado con más de una incógnita
Problema I.- Hallar dos números cuya diferencia y cociente sean 5.
Sea x el mayor e y el menor. Tenemos:
(1) | ||||||
|
(2) |
Despejando x en (2) resulta: x =5y
Llevamdo este valor de x a (1) resulta:
Y llevando ahora este valor de y a (1), tendremos:
Nota.- También se podría haberse llevado el valor de y a (2) y entonces hubiese resultado:
Solución:
Problema II.- La suma de dos números es 28 y el duplo de su diferencia es igual al mayor menos 2. ¿Cuáles son esos números?
Representando por x al mayor y por y al menor. Tendremos:
(1) | ||
(2) |
En (2) quitamos el paréntesis y pasamos las incógnitas al primer miembro:
El sistema será:
que restando una de otra da:
de donde:
Solución: Los números son 18 y 10
Problema III.- ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en un corral si entre todos juntas 42 cabezas y 144 patas?
Sea x el número de gallinas e y el de conejos. Tendremos:
Igualando los coeficientes de x:
Restando una de la otra queda:
de donde:
Solución: En el corral hay 12 gallinas y 30 conejos
Problema IV.- Una persona coloca parte de su dinero al 5% y el resto al 6%. Obtiene así 7.200 € de interés anual. Si la suma que colocó al 5% lo hubiera sido al 6% y recíprocamente, el interés hubiera sido de 7.100 €.¿Cuál era su capital?
Primer supuesto:
Parte que coloco a 5%: x Interés:
Parte que colocó al 6 %: y Interés:
Nos queda la ecuación así:
(1) |
Segundo supuesto:
Parte que colocó a 5 %: y Interés:
Parte que colocó a 6 %: x Interes:
Nos queda la ecuación así:
(2) |
Resolvemos el sistema formado por (1) y (2) :
Quitando denominadores:
Restando (4) de (3):
De forma análoga:
Solución: El capital será de 130.000 €
Problema V.- En un circulo de 12 m. de radio una cuerda de 20 m. está cortada por un diámetro de modo que el punto de intersección está a igual distancia del centro que de un extremo de la cuerda. Hallar los dos segmentos de la cuerda.
Sea PB = PO = x
![]() |
Por la propiedad de las cuedas que se cortan tenemos:
AP X PB = CP X PD
Solución: Los segmentos miden 7,2 m. y 12,8m.
Problema VI.- La suma de las edades de tres personas es 101; 1/2 de la edad de la primera, más 1/4 de la segunda, más 1/3 de la tercera suman 35; y 1/4 de la primera, 1/2 de la segunda y 1/5 de la tercera dan 31. ¿Qué edad tiene cada una de las personas?
Sean x, y y z, en orden ascendente las edades pedidas. Tendremos:
(1) |
(2) |
(3) |
Quitando denominadores de (2) y (3) el sistema será:
(4) | ||
(5) | ||
(6) |
Multiplicando (4) por 4 tenemos:
(7) | ||
(8) | ||
(9) | ||
Restando (7) de (8) y (8) de (9) se reduce a:
|
Sumando entre sí estas últimas, tenemos:
Llevando este valor de y a (10) hallamos:
Y llevando estos valores de y y de x a (1) tendremos:
Solución Las edades son 24, 32 y 45 años.