Problemas de 1º grado con más de una incógnita

Problema I.- Hallar dos números cuya diferencia y cociente sean 5.

Sea x el mayor e y el menor. Tenemos:

      x-y=5   (1)  
     

\frac{x}{y}=5

  (2)  

Despejando x en (2) resulta:          x =5y

Llevamdo este valor de x a (1) resulta:

5y-y=5\; \; \; \; \; 4y=5\; \; \; \; \; y=\frac{5}{4}

Y llevando ahora este valor de y a (1), tendremos:

x-\frac{5}{4}=5;\; \; \; \; 4x-5=20;\; \; \; \; 4x=20;\; \; \; \; x=\frac{25}{4}

Nota.- También se podría haberse llevado el valor de y a (2) y entonces hubiese resultado:

x:\frac{4}{5}=5;\: \: \:\; \; x=5.\frac{5}{5}=\frac{25}{4}

Solución:     \frac{25}{4}\; \; \; \; \; \mathrm{y}\; \; \; \; \; \frac{5}{4}

Problema II.- La suma de dos números es 28 y el duplo de su diferencia es igual al mayor menos 2. ¿Cuáles son esos números?

Representando por x al mayor y por y al menor. Tendremos:

  x+y=28 (1)
  2(x-y)=x-2 (2)

En (2) quitamos el paréntesis y pasamos las incógnitas al primer miembro:

2x-2y=x-2\; \; \; \; \; ;\; \; \; \; \; x-2y=-2

El sistema será:

  x+y=28  
  x-2y=-2  

que restando una de otra da:          3y=30

de donde:          y=\frac{30}{3}=10\; \; \; \; \; \mathrm{y}\; \; \; \; \; x=28-10=18

Solución: Los números son 18 y 10

Problema III.- ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en un corral si entre todos juntas 42 cabezas y 144 patas?

Sea x el número de gallinas e y el de conejos. Tendremos:

  x+y=42  
  2x+4y=144  

Igualando los coeficientes de x:

  2x+2y=84  
  2x+4y=144  

Restando una de la otra queda:     2x=60

de donde:       y=\frac{60}{2}=30\; \; \; \; \; \mathrm{y}\; \; \; \; \; x=42-30=12

Solución: En el corral hay 12 gallinas y 30 conejos

Problema IV.- Una persona coloca parte de su dinero al 5% y el resto al 6%. Obtiene así 7.200 € de interés anual. Si la suma que colocó al 5% lo hubiera sido al 6% y recíprocamente, el interés hubiera sido de 7.100 €.¿Cuál era su capital?

Primer supuesto:

Parte que coloco a 5%:  x       Interés:  I_{1}=\frac{x\: \mathrm{x}\: 5}{100}

Parte que colocó al 6 %:  y       Interés:  I_{2}=\frac{y\: \mathrm{x\: 6}}{100}

Nos queda la ecuación así:

  \frac{5x}{100}+\frac{6y}{100}=7200 (1)

Segundo supuesto:

Parte que colocó a 5 %:  y       Interés:  I_{3}=\frac{y\: \mathrm{x}\: 5}{100}

Parte que colocó a 6 %:  x       Interes:  I_{4}=\frac{x\: \mathrm{x}\: 6}{100}

Nos queda la ecuación así:

  \frac{5y}{100}=\frac{6x}{100} (2)

Resolvemos el sistema formado por (1) y (2) :

Quitando denominadores:

Restando (4) de (3):     11y=770.000\; \; \; \; \; y=70.000

De forma análoga:     x=60.000

Solución: El capital será de 130.000 €

Problema V.- En un circulo de 12 m. de radio una cuerda de 20 m. está cortada por un diámetro de modo que el punto de intersección está a igual distancia del centro que de un extremo de la cuerda. Hallar los dos segmentos de la cuerda.

Sea PB = PO = x

   

Por la propiedad de las cuedas que se cortan tenemos:

AP X PB = CP X PD

(20-x)x=(12-x)(12+x)

20x-x^{2}=144-x^{2}

x=\frac{144}{20}=7,2

Solución: Los segmentos miden 7,2 m. y 12,8m.

Problema VI.- La suma de las edades de tres personas es 101; 1/2 de la edad de la primera, más 1/4 de la segunda, más 1/3 de la tercera suman 35; y 1/4 de la primera, 1/2 de la segunda y 1/5 de la tercera dan 31. ¿Qué edad tiene cada una de las personas?

Sean x, y y z, en orden ascendente las edades pedidas. Tendremos:

  x+y+z=101 (1)
  \frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{3}=35 (2)
  \frac{x}{4}+\frac{y}{2}+\frac{z}{5}=31 (3)

Quitando denominadores de (2) y (3) el sistema será:

  \: \: x+\: \: \: y+\: \: \: z=101    (4)
  6x+\: \: 3y+4z=420    (5)
  5x+10y+4z=620    (6)

Multiplicando (4) por 4 tenemos:

  4x +\: \: \: 4y+4z=404    (7)
  6x+\: \: \: 3y+4z=420    (8)
  5x+10y+4z=620    (9)
        

Restando (7) de (8) y (8) de (9) se reduce a:

   \: \: \: 2x-\: \: \: \: y=\: \: 16
-2x+14y=400

Sumando entre sí estas últimas, tenemos:

13y=416\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: y=\frac{416}{13}=32

Llevando este valor de y a (10) hallamos:

2x-32=16\: \: ;\; \; 2x=48\; \; ;\; \; x=\frac{48}{2}=24

Y llevando estos valores de y y de x a (1) tendremos:

24+32+z=101\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: z=101-24-32=45

Solución Las edades son 24, 32 y 45 años.