Problemas de 2º grado

Estos problemas se plantean como los de primer gado. Después de quitar denominadores y simplificar resultará una ecuación de segundo grado.

La resolución de esta ecuación suele dar una o dos raíces.
Como en muchos casos no satisfarán las condiciones del problema, habrá que comprobar si las raíces obtenidas están conformes con el enunciado del problema y desechar la raíz que no lo estubiese.

Problema I. Hállense tres números pares consecutivos cuyo producto sea igual a 32 veces su suma.

Representamos por   x   el número intermedio, tendremosla ecuación:

  (x-2)x(x+2)=32\left [ (x-2)+x+(x+2)) \right ]  

en la cual, efectuadas las operaciones queda:

  x^{3}-4x=96x\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: x^{3}=100x  

como ha de ser   x ≠ 0,   dividimos por x :    x2 = 100

de donde: x=\sqrt{100}=\pm 10  

Solución:   8,  10   y   12   ó   -8,   -10   y   -12

Problema II. La diferencia de dos números es 6 y su producto 261. Hállense esos números.

Si uno de los números es  x,  el otro será   x + 6   y tendremos:

  x(x+6)=216\: \: \: ;\: \: \: x^{2}+6x=216\: \: \:;\: \: \: x^{2}+6x-216=0  

que, resuelta da:    x’=12    y    x’ ‘ = 18

Solución: Los números:   12 y 18   ó   -12 y -18

Problema III. Al vender un objeto en 24 num. se ha ganado por ciento tanto como había costado. ¿Cuál fue el precio de compra?

Llamando  x  al precio de compra, la ganancia será:

  x.\frac{x}{100}=\frac{x^{2}}{100}  
y la venta x+\frac{x^{2}}{100}  

De donde:

  24=x+\frac{x^{2}}{100}\: \:\: \: ;\: \:\: \: 2400=100x+x^{2}  
  x^{2}+100x-2400=0  

luego:   x’ = 20   y    x’ ‘ = -120,  la segunda solución es inadmisible.

Solución:   El objeto costó   20 num.

Problema IV. La diferencia de dos número es 3 y la suma de sus cuadrados es 117. Hállense esos números.

Si el menor es   x,   el otro será   x+3,   y sus cuadrados   x2   y   (x+3)2

Tenemos pues:

  (x+3)^{2}+x^{2}=117\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: x^{2}+3x-54=0  

cuyas raíces son:    x’= 6   y   x’ ‘ = -9

Siendo 6 uno de los números el otro será 9, y siendo -9 el otro será -9+3= -6

Solución: Los números son     6   y   9;     -9   y   -6

Problema V. Se reparten 6000 num. entre varias personas pero si hubiese tres personas más le tocaría a cada uno 100 num. menos. ¿Cuántas son las personas?

Si el número de personas es   x

le tocaría a cada uno:

  \frac{6000}{x}  

si fueran   x+3   les tocaría:

  \frac{6000}{x}-100  

Luego podemos poner:

  \frac{6000}{x+3}=\frac{6000}{x}-100\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: x^{2}+3x-180=0  

luego:   x’ = 12   y    x’ ‘ = -15,  la segunda solución es inadmisible.

Solución: Las personas son 12

Problema VI. ¿Cuántos metros de tela se pueden comprar con 7.200 num. sabiendo que si el metro costara 90 num. menos se comprarían 4 metros más.

Sea   x  el número de metros pedido.

Precio del metro en el primer caso:

  \frac{7200}{x}  

Precio del metro en el segundo caso:

  \frac{7200}{x+4}  

Este segundo precio es inferior al primero en 90 num. por tanto:

  \frac{7200}{x}=\frac{7200}{x+4}+90  
  x^{2}+4x-320=0\left\{\begin{matrix} x'=16\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ x''=-20\: (\mathrm{inadmisible}) \end{matrix}\right.  

Solución: El número de metros es de 16

Problema VII. Se colocan a interés simple dos capitales cuya suma es igual a 13.000 num., que producen respectivamente 25 y 240 num. de interes anual. Sabiendo que la suma de las tantos por cientos es 8 se pregunta cuánto importa cada capital.

Llamando   x   a uno de los capitales, el otro será:   13000 – x

Llamando   y   a uno de los tantos, el otro será:   8 – y

Los intereses serán:

  \frac{x(8-y)}{100}=250\: \: \:\: ;\: \: \: \frac{13000-x}{100}=240  

Quitando denominadores:

  x(8-y)=25000\: \: \mathrm{(1)}\: \: \: \: ;13000y-xy=24000\: \: \mathrm{(2)}  

Despejando   x   en (1) tenemos:

  x=\frac{25000}{8-y}  

Llevando este valor a (2) resulta:

  13000y-\left ( \frac{25000}{8-y} \right )y=24000  

De donde

   
   

Los tantos por ciento serán:

  3\: \: \mathrm{y}\: \: 5\: \: \:\mathrm{o}\: \: \: \frac{64}{13}\: \: \mathrm{y}\: \: \frac{40}{13}  

Un capital será:

x=\frac{25000}{5}=5000 ó \frac{25000}{\frac{40}{13}}=8125

Y el otro será:

13000-5000=8000 ó 18000-8125=4875

Solución: Los capitales seran 5000  y  8000 num.
                                                     ó 4875  y  8125 num
.

Problemas de Geometría

Problema I. La diagonal de un rectángulo tiene 30 metros y la altura es a la longitud como 4 es 5. ¿Cuánto miden estas dos dimenciones?

llamando   x   a su altura, su longitud será:    5 x / 4

   luego x^{2}+\left ( \frac{5x}{4} \right )^{2}=30^{2}\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: 41x^{2}=14400
  x=\sqrt{\frac{14400}{41}}=18,74\; \;\; \; \; \; \; ;\; \;\: \: \; \; \; \frac{5x}{4}=23,43  

Solución:    23,43 m.    y    28,74 m.

Problema II. Una tangente y una secante parten desde un mismo punto, la tangente tiene 18 m. y el segmento interior de la secante 23. ¿Cuál es el segmento exterior?

Llamando x al segmento interior tendremos:

  (x+23)x=18^{2}\: \: \: \: \mathrm{o\: sea}\: \: \: \: x^{2}+23x-18^{2}=0  

de donde:    x = 9,86

Solución: El segmento exterior mide 9,86 metros

Problema III. Cuando se alarga 20m. una cuerda que da la vuelta a un cuadrado , el cuadrado que se puede rodear tiene 225 m2 más que el anterior. ¿Cuánto medía al principio la cuerda?

Llamando   x   al lado de primer cuadraco, el perímetro medirá   4x,   el perímetro del segundo cuadrado medirá   4x + 20,   y su lado será:

  \frac{4x+20}{4}=x+5  

De donde:

  (x+5)^{2}=x^{2}+225  
  x^{2}+10x+25=x^{2}+225\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: x=20  

Solución: La cuerda mide 80 metros

Problema IV. Hallar el área de un rombo de 5 m. de lado si su diagonal mayor es el duplo de la menor.

En el triángulo rectángulo   AOD   llamamos  x  al segmento   OD,   por hipótisis :

AO =2x

luego:

  \bg_black \left ( 2x^{2} \right )^{2}+x=5^{2}\: ;\: 5x^{2}=25\: ;\: x^{2}=5  

Como el área del rombo es igua a:

  \bg_black \frac{2x\, .\, 4x}{2}=4x^{2}  

Tendremos que:   4x2  =  4 . 5  =  20

Solución: El área del rombo es de 20 m2

Problema V. Dadas dos cuerdas paralelas cuyas longitudes son 24 y 32 cm. y la distancia entre ellas 4 cm. hallar el radio del circulo al que pertenecen y a la distancia que estan del centro.

Hacemos   OF=x;   tenemos dos triángulos: OEB y OFD

De los que resulta:

  OE^{2}+EB^{2}=OB^{2}  
  OF^{2}+FD^{2}=OD^{2}  

Reemplazando por sus valores tendremos:

  (x+4^{2})+12^{2}=r^{2}\: \: \: \: \: \mathit{y}\: \: \: \: \: x^{2}+16^{2}=r^{2} (1)
  (x+4)^{2}+144=x^{2}+256\: \: \: \: \: \mathrm{o\: sea}\: \: \: \: \: x=12  

Para hallar   r   reemplazamos   x   por su valor en (1).

  r^{2}=12^{2}+16^{2}\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: r=\sqrt{400}=\pm 20  

Solución: El radio mide   20 cm.   y las distancias de las cuerdas al centro son   12  y  16 cm.