Problemas de 2º grado

Estos problemas de 2º grado se plantean como los de primer grado. Después de quitar denominadores y simplificar resultará una ecuación de segundo grado.

La resolución de esta ecuación suele dar una o dos raíces.
Como en muchos casos no satisfarán las condiciones del problema, habrá que comprobar si las raíces obtenidas están conformes con el enunciado del problema y desechar la raíz que no lo estubiese.

Problemas de 2º grado.

Problema I. Hállense tres números pares consecutivos cuyo producto sea igual a 32 veces su suma.

Representamos por   x   el número intermedio, tendremosla ecuación:

\large x(x-2)(x+2)=32[x+(x-2)+(x+2)]
\large x^{3}-4x=96x\: \: ;\: \: x^{2}=100
\large x=\sqrt{100}=10

Solución:   8,  10   y   12   ó   -8,   -10   y   -12

Problema II. La diferencia de dos números es 6 y su producto 261. Hállense esos números.

Si uno de los números es  x,  el otro será   x + 6   y tendremos:

\large x(x+6)=216\: \: ;\: \: x^{2}+6=216
\large x^{2}+6x-216=0
\large x=12\: \: \: ;\: \: \: x'=-18

Solución: Los números:   12 y 18   ó   -12 y -18

Problema III. Al vender un objeto en 24 num. se ha ganado por ciento tanto como había costado. ¿Cuál fue el precio de compra?

Llamando  x  al precio de compra, la ganancia será:

\large x(\frac{x}{100})=\frac{\: \: x^{2}}{100}

y la venta

\large x+\frac{\: \: x^{2}}{100}

De donde:

\large 24=x+\frac{\: \: x^{2}}{100}\: \: ;\: \: x^{2}+100x-2400=0
          \large x=20\: \: \: ;\: \: \: x'=-120

luego:   x’ = 20   y    x’ ‘ = -120,  la segunda solución es inadmisible.

Solución:   El objeto costó   20 num.

Problema IV. La diferencia de dos número es 3 y la suma de sus cuadrados es 117. Hállense esos números.

Si el menor es   x,   el otro será   x+3,   y sus cuadrados   x2   y   (x+3)2

Tenemos pues:

\large (x+3)^{2}+x^{2}=17
\large x^{2}+3x-54=0
\large x=6\: \: \: ;\: \: \: x'=-6

Siendo  6  uno de los números el otro será  9 , y siendo  -9  el otro será  -9 + 3 = -6

Solución: Los números son     6   y   9;     -9   y   -6

Problema V. Se reparten 6000 num. entre varias personas pero si hubiese tres personas más le tocaría a cada uno 100 num. menos. ¿Cuántas son las personas?

Si el número de personas es   x. Le tocaría a cada uno:

\large \frac{6000}{x}

si fueran   x+3   les tocaría:

\large \frac{6000}{x}-100

Luego podemos poner:

\large \frac{6000}{x+3}=\frac{6000}{x}-100
\large x^{2}+3x-180=0
\large x=12\: \: \: ;\: \: \: x'=-15

luego:   x’ = 12   y    x’ ‘ = -15,  la segunda solución es inadmisible.

Solución: Las personas son 12

Problema VI. ¿Cuántos metros de tela se pueden comprar con 7.200 num. sabiendo que si el metro costara 90 num. menos se comprarían 4 metros más.

Sea   x  el número de metros pedido.

Precio del metro en el primer caso:

\large \frac{7200}{x}

Precio del metro en el segundo caso:

\large \frac{7200}{x+4}

Este segundo precio es inferior al primero en 90 num. por tanto:

\large \frac{7200}{x}=\frac{7200}{x+4}+90
\large x^{2}+4x-320=0\left\{\begin{matrix} x=16\; \; \; \\ \\ x'=-20\end{matrix}\right.

Solución: El número de metros es de 16

Problema VII. Se colocan a interés simple dos capitales cuya suma es igual a 13.000 num., que producen respectivamente 25 y 240 num. de interes anual. Sabiendo que la suma de las tantos por cientos es 8 se pregunta cuánto importa cada capital.

Llamando   x   a uno de los capitales, el otro será:   13000 – x

Llamando   y   a uno de los tantos, el otro será:   8 – y

Los intereses serán:

\large \frac{x(8-y)}{100}=250\: \: ;\: \: \frac{y(13000-x)}{100}=240

Quitando denominadores:

\large x(8-y)=25000\, (1)\: \: ;\: \: 13000y-xy=24000\, (2)

Despejando   x   en (1) tenemos:

\large x=\frac{25000}{8-y}

Llevando este valor a (2) resulta:

\large 13000y-y(\frac{25000}{8-y})=24000

De donde

\large 13y^{2}-103y+192=0\left\{\begin{matrix} y=3\\ \\ \: y'=\frac{64}{13}\end{matrix}\right.

Los tantos por ciento serán:

\large 3 \, \mathrm{y}\, 5\: \: \mathrm{o}\: \: \frac{64}{13}\, \frac{40}{13}

Un capital será:

\large x=\frac{25000}{5}=5000\: \: \: \mathrm{o}\: \: \: \frac{25000}{40/13}=8125

Y el otro será:

\large 13000-5000=8000\: \: ;\: \: 18000-8125=4875

Solución: Los capitales serán 5000  y  8000 num.   o   4875  y  8125 num.

Problemas de Geometría

Problema I. La diagonal de un rectángulo tiene 30 metros y la altura es a la longitud como 4 es 5. ¿Cuánto miden estas dos dimenciones?

llamando   x   a su altura, su longitud será:    5 x / 4

\large x^{2}+(\frac{5x}{4})^{2}=30^{2}
\large x=\sqrt{\frac{14400}{41}}=18,74\: ;\: \frac{5x}{4}=23,43

Solución:    23,43 m.    y    28,74 m.

Problema II. Una tangente y una secante parten desde un mismo punto, la tangente tiene 18 m. y el segmento interior de la secante 23. ¿Cuál es el segmento exterior?

Llamando x al segmento interior tendremos:

\large x(x+23)=18^{2}\: \: ;\: \: x^{2}+23x-18^{2}=0
\large x=9,86

de donde:    x = 9,86

Solución: El segmento exterior mide 9,86 metros

Problema III. Cuando se alarga 20m. una cuerda que da la vuelta a un cuadrado , el cuadrado que se puede rodear tiene 225 m2 más que el anterior. ¿Cuánto medía al principio la cuerda?

Llamando   x   al lado de primer cuadraco, el perímetro medirá   4x,   el perímetro del segundo cuadrado medirá   4x + 20,   y su lado será:

\large \frac{4x+20}{4}=x+5
\large x^{2}+10x+25=x^{2}+225
\large x=20

Solución: La cuerda mide 80 metros

Problema IV. Hallar el área de un rombo de 5 m. de lado si su diagonal mayor es el duplo de la menor.

En el triángulo rectángulo   AOD   llamamos  x  al segmento   OD,   por hipótisis :

AO =2x

luego:

\large (2x^{2})^{2}+x^{2}=5^{2}\:\: \: ;\:\: \: x^{2}=5

Como el área del rombo es igual a:

\large \frac{2x\, .\, 4x}{2}=4x^{2}\: \: ;\: \: 4x^{2}=4.5=20

Tendremos que:   4x2  =  4 . 5  =  20

Solución: El área del rombo es de 20 m2

Problema V. Dadas dos cuerdas paralelas cuyas longitudes son 24 y 32 cm. y la distancia entre ellas 4 cm. hallar el radio del circulo al que pertenecen y a la distancia que están del centro.

Hacemos   OF=x;   tenemos dos triángulos: OEB y OFD

De los que resulta:

\large \overline{OE^{2}}+\overline{EB^{2}}=\overline{OB^{2}}
\large \overline{OF^{2}}+\overline{FD^{2}}=\overline{OD^{2}}

Reemplazando por sus valores tendremos:

\large (X+4)^{2}+12^{2}=r^{2}\: \: ;\: \: x^{2}+16^{2}=r^{2}
\large (x+4)^{2}+144=x^{2}+256\: \: ;\: \: x=12

Para hallar   r   reemplazamos   x   por su valor en (1).

\large r^{2}=12^{2}+16^{2}=400\: \: ;\: \: r=\pm 20

Solución: El radio mide   20 cm.   y las distancias de las cuerdas al centro son   12  y  16 cm.

Practique con algunos ejercicios…

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