Problemas de segundo grado

Los problemas de segundo grado se plantean como los de primer grado.
Después de quitar denominadores y simplificar resultará una ecuación de segundo grado.

Resolver estos problemas consiste en:

1. Plantear la ecuación a partir del enunciado.
2. Resolver la ecuación usando métodos algebraicos.
3. Interpretar la solución en el contexto del problema.

Método general para resolver problemas de segundo grado.

1. Elegir la incógnita y representarla por $x$ .
2. Traducir el enunciado a una ecuación de segundo grado.
3. Ordenar y simplificar la ecuación hasta llegar a la forma:

$a x^{2} + b x + c = 0$

4. Resolver la ecuación (fórmula general, factor común, etc.).
5. Comprobar las soluciones en el contexto del problema.

Siempre hay que verificar que las soluciones obtenidas tengan sentido real en el enunciado original.

La resolución de esta ecuación suele dar una o dos raíces.
Como en algunos casos no satisfarán las condiciones del problema, habrá que comprobar si las raíces obtenidas están conformes con el enunciado del problema y desechar la raíz que no lo estuviese.

Resolución de problemas de segundo grado.

Problema 1
Hállense tres números pares consecutivos cuyo producto sea igual a 32 veces su suma.

Representamos por x el número intermedio, tendremosla ecuación:

$\large x(x-2)(x+2)=32[x+(x-2)+(x+2)]$

$\large x^{3}-4x=96x\: \: ;\: \: x^{2}=100$

$\large x=\sqrt{100}=10$

Solución: 8, 10 y 12 ó -8, -10 y -12

Problema 2
La diferencia de dos números es 6 y su producto 261. Hállense esos números.

Si uno de los números es x, el otro será x + 6 y tendremos:

$\large x(x+6)=216\: \: ;\: \: x^{2}+6=216$

$\large x^{2}+6x-216=0$

$\large x=12\: \: \: ;\: \: \: x'=-18$

Solución: Los números: 12 y 18 ó -12 y -18

Problema 3
Al vender un objeto en 24 num. se ha ganado por ciento tanto como había costado. ¿Cuál fue el precio de compra?

Llamando x al precio de compra, la ganancia será:

$\large x(\frac{x}{100})=\frac{\: \: x^{2}}{100}$

y la venta

$\large x+\frac{\: \: x^{2}}{100}$

De donde:

$\large 24=x+\frac{\: \: x^{2}}{100}\: \: ;\: \: x^{2}+100x-2400=0$

$\large x=20\: \: \: ;\: \: \: x'=-120$

luego: x’ = 20 y x’ ‘ = -120, la segunda solución es inadmisible.

Solución: El objeto costó 20 num.

Problema 4
La diferencia de dos número es 3 y la suma de sus cuadrados es 117. Hállense esos números.

Si el menor es x, el otro será x+3, y sus cuadrados x² y (x+3)²

Tenemos pues:

$\large (x+3)^{2}+x^{2}=17$

$\large x^{2}+3x-54=0$

$\large x=6\: \: \: ;\: \: \: x'=-6$

Siendo 6 uno de los números el otro será 9 , y siendo -9 el otro será -9 + 3 = -6

Solución: Los números son 6 y 9; -9 y -6

Problema 5
Se reparten 6000 num. entre varias personas pero si hubiese tres personas más le tocaría a cada uno 100 num. menos. ¿Cuántas son las personas?

Si el número de personas es x. Le tocaría a cada uno:

$\large \frac{6000}{x}$

si fueran x+3 les tocaría:

$\large \frac{6000}{x}-100$

Luego podemos poner:

$\large \frac{6000}{x+3}=\frac{6000}{x}-100$

$\large x^{2}+3x-180=0$

$\large x=12\: \: \: ;\: \: \: x'=-15$

luego: x’ = 12 y x’ ‘ = -15, la segunda solución es inadmisible.

Solución: Las personas son 12

Problema 6
¿Cuántos metros de tela se pueden comprar con 7.200 num. sabiendo que si el metro costara 90 num. menos se comprarían 4 metros más.

Sea x el número de metros pedido.

Precio del metro en el primer caso:

$\large \frac{7200}{x}$

Precio del metro en el segundo caso:

$\large \frac{7200}{x+4}$

Este segundo precio es inferior al primero en 90 num. por tanto:

$\large \frac{7200}{x}=\frac{7200}{x+4}+90$

$\large x^{2}+4x-320=0\left\{\begin{matrix} x=16\; \; \; \\ \\ x'=-20\end{matrix}\right.$

Solución: El número de metros es de 16

Problema 7
Se colocan a interés simple dos capitales cuya suma es igual a 13.000 num., que producen respectivamente 25 y 240 num. de interés anual. Sabiendo que la suma de las tantos por cientos es 8 se pregunta cuánto importa cada capital.

Llamando x a uno de los capitales, el otro será: 13000 – x

Llamando y a uno de los tantos, el otro será: 8 – y

Los intereses serán:

$\large \frac{x(8-y)}{100}=250\: \: ;\: \: \frac{y(13000-x)}{100}=240$

Quitando denominadores:

$\large x(8-y)=25000\, (1)\: \: ;\: \: 13000y-xy=24000\, (2)$

Despejando x en (1) tenemos:

$\large x=\frac{25000}{8-y}$

Llevando este valor a (2) resulta:

$\large 13000y-y(\frac{25000}{8-y})=24000$

De donde

$\large 13y^{2}-103y+192=0\left\{\begin{matrix} y=3\\ \\ \: y'=\frac{64}{13}\end{matrix}\right.$

Los tantos por ciento serán:

$\large 3 \, \mathrm{y}\, 5\: \: \mathrm{o}\: \: \frac{64}{13}\, \frac{40}{13}$

Un capital será:

$\large x=\frac{25000}{5}=5000\: \: \: \mathrm{o}\: \: \: \frac{25000}{40/13}=8125$

Y el otro será:

$\large 13000-5000=8000\: \: ;\: \: 18000-8125=4875$

Solución: Los capitales serán 5000 y 8000 num. o 4875 y 8125 num.

Problemas de Geometría

Problema 8
La diagonal de un rectángulo tiene 30 metros y la altura es a la longitud como 4 es 5. ¿Cuánto miden estas dos dimenciones?

llamando x a su altura, su longitud será: 5 x / 4

$\large x^{2}+(\frac{5x}{4})^{2}=30^{2}$

$\large x=\sqrt{\frac{14400}{41}}=18,74\: ;\: \frac{5x}{4}=23,43$

Solución: 23,43 m. y 28,74 m.

Problema 9
Una tangente y una secante parten desde un mismo punto, la tangente tiene 18 m. y el segmento interior de la secante 23. ¿Cuál es el segmento exterior?

Llamando x al segmento interior tendremos:

$\large x(x+23)=18^{2}\: \: ;\: \: x^{2}+23x-18^{2}=0$

$\large x=9,86$

Solución: El segmento exterior mide 9,86 metros

Problema 10
Cuando se alarga 20m. una cuerda que da la vuelta a un cuadrado , el cuadrado que se puede rodear tiene 225 m² más que el anterior. ¿Cuánto medía al principio la cuerda?

Llamando x al lado de primer cuadraco, el perímetro medirá 4x, el perímetro del segundo cuadrado medirá 4x + 20, y su lado será:

$\large \frac{4x+20}{4}=x+5$

$\large x^{2}+10x+25=x^{2}+225$

$\large x=20$

Solución: La cuerda mide 80 metros

Problema 11
Hallar el área de un rombo de 5 m. de lado si su diagonal mayor es el duplo de la menor.

En el triángulo rectángulo AOD llamamos x al segmento OD, por hipótisis :

AO =2x

luego:

$\large (2x^{2})^{2}+x^{2}=5^{2}\:\: \: ;\:\: \: x^{2}=5$

Como el área del rombo es igual a:

$\large \frac{2x\, .\, 4x}{2}=4x^{2}\: \: ;\: \: 4x^{2}=4.5=20$

Solución: El área del rombo es de 20 m²

Problema 12
Dadas dos cuerdas paralelas cuyas longitudes son 24 y 32 cm. y la distancia entre ellas 4 cm. hallar el radio del circulo al que pertenecen y a la distancia que están del centro.