Problemas de primer grado con más de una incógnita

En esta página encontrarás problemas de primer grado con más de una incógnita, resueltos mediante sistemas de ecuaciones.
Todos los ejercicios están explicados paso a paso, combinando álgebra y razonamiento matemático y están orientados a ESO y Bachillerato.

Qué son los problemas de primer grado con más de una incógnita.

Un problema de primer grado con más de una incógnita es aquel en el que aparecen dos o más valores desconocidos, relacionados entre si por ecuaciones lineales.

Para resolverlos:
• Se plantean dos o más ecuaciones.
• Se forma un sistema de ecuaciones.
• Se resuelven utilizando métodos algebraicos.

En este tipo de problemas aparecen con frecuencia la edad, números, animales, dinero, geometría y movimiento.

Método general de resolución.

Antes de resolver cualquier problema, conviene seguir estos pasos:

• Elegir las incógnitas (x, y, z, …).
• Traducir el enunciado a ecuaciones.
• Resolver el sistema de ecuaciones.
• Comprobar la solución.
• Interpretar el resultado.

Problemas resueltos paso a paso.

Problema I.- Hallar dos números cuya diferencia y cociente sean 5.

Sea x el mayor e y el menor. Tenemos:

$\large x-y=5$

$\large \frac{x}{y}=5$

Llevando este valor de x a la primera ecuación resulta:

$\large 5x-y=5\: \: ;\: \: 4y=5\: \: ;\: \: y=\frac{5}{4}$

Llevando ahora este valor de y a la primera ecuación , tendremos:

$\large x-\frac{5}{4}=5\: ;\: 4x=20+5\: ;\: x=\frac{25}{4}$

Nota.- También se podría haberse llevado el valor de y a la segunda ecuación y entonces hubiese resultado:

$\large x:\frac{5}{4}=5\: \: ;\: \: x=5\, .\, \frac{5}{4}=\frac{25}{4}$

Conceptos clave:

• Sistema con dos incógnitas.
• Diferencia y cociente.
• Método de sustitución.

Solución: $\frac{25}{4}\; \; \; \; \; \mathrm{y}\; \; \; \; \; \frac{5}{4}$

Problema II.- La suma de dos números es 28 y el duplo de su diferencia es igual al mayor menos 2. ¿Cuáles son esos números?

Representando por x al mayor y por y al menor. Tendremos:

$\large x+y=28$

$\large 2(x-y)=x+2$

El sistema será:

$\large x+y=28$

$\large x-2y=-2$

Restando da:

$\large 3y=30\:\: ;\:\: y=10\: \: ;\: \: x=28-10=18$

Conceptos clave:

• Sistema lineal
• Eliminación por reducción
• Interpretación del enunciado

Solución: Los números son 18 y 10

Problema III.- ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en un corral si entre todos juntas 42 cabezas y 144 patas?

Sea x el número de gallinas e y el de conejos. Tendremos:

$\large x+y=42$

$\large 2x+4y=144$

Igualando los coeficientes de x multiplicando la primera por 2 tenemos:

$\large 2x+2y=\; 84$

$\large 2x+4y=144$

Restando ordenadamente estas ecuaciones resulta:

$\large 2y=60$

por lo tanto:

$\large y=\frac{60}{2}=30\: \: \: ;\: \: \: x=42-30=12$

Conceptos clave:

• Modelización de problemas reales.
• Sistema con coeficientes.
• Método de reducción

Solución: En el corral hay 12 gallinas y 30 conejos

Problema IV.- Una persona coloca parte de su dinero al 5% y el resto al 6%. Obtiene así 7.200 € de interés anual. Si la suma que colocó al 5% lo hubiera sido al 6% y recíprocamente, el interés hubiera sido de 7.100 €. ¿Cuál era su capital?

Primer supuesto:

Parte que colocó al 5% sea x, parte al 6% sea y, sus intereses serán:

$\large I_{1}=\frac{x\, .\, 5}{100}\: \: \: \: ;\:\: \: I_{2}=\frac{y\, .\, 6}{100}$

Nos queda la ecuación así: (1)

$\large \frac{5x}{100}+\frac{6y}{100}=7200$

Segundo supuesto:

Parte que colocó al 5% sea y, parte al 6% sea x, sus intereses serán:

$\large I_{3}=\frac{y\, .\, 5}{100}\: \: \: ;\: \:\: I_{4}=\frac{x\, .\, 6}{100}$

Nos queda la ecuación así: (2)

$\large \frac{5y}{100}+\frac{6x}{100}=7100$

Resolvemos el sistema formado por (1) y (2) y quitando denominadores nos queda:

$\large 5x+6y=720000$

$\large 6x+5y=710000$

Multiplicamos la primera ecuación por 6 y la segunda por 5, aplicamos el método reducción;

$\large 30x+36y=4320000$

$\large 30x+25y=3550000$
——————————–

$\large 11y=\; 770000$

$\large y=\frac{770000}{11}=70000$

Por lo tanto:

$\large x=60000$

Conceptos clave:

• Sistemas aplicados a economía.
• Porcentajes.
• Intercambio de incógnitas

Solución: El capital será de 130.000 €

Problema V.- En un circulo de 12 m. de radio una cuerda de 20 m. está cortada por un diámetro de modo que el punto de intersección está a igual distancia del centro que de un extremo de la cuerda. Hallar los dos segmentos de la cuerda.

Sea PB = PO = x

Por la propiedad de las cuerdas que se cortan tenemos:

$\large \mathrm{AP\, . \,\, PB = CP\, .\,\, PD}$

$\large x(20-x)=(12-x)(12+x)$

$\large 2x-x^{2}=144-x^{2}$

$\large x=\frac{144}{20}=7,2$

Conceptos clave:

• Propiedades geométricas.
• Ecuación con una incógnita.
• Interpretación geométrica.

Solución: Los segmentos miden 7,2 m. y 12,8m.

Problema VI.- La suma de las edades de tres personas es 101; 1/2 de la edad de la primera, más 1/4 de la segunda, más 1/3 de la tercera suman 35; y 1/4 de la primera, 1/2 de la segunda y 1/5 de la tercera dan 31. ¿Qué edad tiene cada una de las personas?

Sean x, y y z, en orden ascendente las edades pedidas. Tendremos:

$\large \: x+\: y+\: z=101$