Problemas de primer grado con más de una incógnita

En este tema veremos varios ejemplos de problemas de primer grado con más de una incógnitas para ir acostumbrándonos a su resolución.

Problemas de primer grado con más de una incógnita

Problema I.- Hallar dos números cuya diferencia y cociente sean 5.

Sea x el mayor e y el menor. Tenemos:

\large x-y=5

\large \frac{x}{y}=5

Llevando este valor de x a la primera ecuación resulta:

\large 5x-y=5\: \: ;\: \: 4y=5\: \: ;\: \: y=\frac{5}{4}

Y llevando ahora este valor de y a la primera ecuación , tendremos:

\large x-\frac{5}{4}=5\: ;\: 4x=20+5\: ;\: x=\frac{25}{4}

Nota.- También se podría haberse llevado el valor de y a la segunda ecuación y entonces hubiese resultado:

\large x:\frac{5}{4}=5\: \: ;\: \: x=5\, .\, \frac{5}{4}=\frac{25}{4}

Solución:     \frac{25}{4}\; \; \; \; \; \mathrm{y}\; \; \; \; \; \frac{5}{4}

Problema II.- La suma de dos números es 28 y el duplo de su diferencia es igual al mayor menos 2. ¿Cuáles son esos números?

Representando por x al mayor y por y al menor. Tendremos:

\large x+y=28
\large 2(x-y)=x+2

Quitamos el paréntesis y pasamos las incógnitas al primer miembro:

\large 2x-2y=x-2\: \: \: ;\: \: \: x-2y=-2

El sistema será:

\large x+y=28
\large x-2y=-2

que restando da:

\large 3y=30\:\: ;\:\: y=10\: \: ;\: \: x=28-10=18

Solución: Los números son 18 y 10

Problema III.- ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en un corral si entre todos juntas 42 cabezas y 144 patas?

Sea x el número de gallinas e y el de conejos. Tendremos:

\large x+y=42
\large 2x+4y=144

Igualando los coeficientes de x multiplicando la primera por 2 tenemos:

\large 2x+2y=\; 84
\large 2x+4y=144

Restando ordenadamente estas ecuaciones resulta:

\large 2y=60

por lo tanto:

\large y=\frac{60}{2}=30\: \: \: ;\: \: \: x=42-30=12

Solución: En el corral hay 12 gallinas y 30 conejos

Problema IV.- Una persona coloca parte de su dinero al 5% y el resto al 6%. Obtiene así 7.200 € de interés anual. Si la suma que colocó al 5% lo hubiera sido al 6% y recíprocamente, el interés hubiera sido de 7.100 €. ¿Cuál era su capital?

Primer supuesto:

Parte que colocó al 5% sea x, parte al 6% sea y, sus intereses serán:

\large I_{1}=\frac{x\, .\, 5}{100}\: \: \: \: ;\:\: \: I_{2}=\frac{y\, .\, 6}{100}

Nos queda la ecuación así: (1)

\large \frac{5x}{100}+\frac{6y}{100}=7200

Segundo supuesto:

Parte que colocó al 5% sea y, parte al 6% sea x, sus intereses serán:

\large I_{3}=\frac{y\, .\, 5}{100}\: \: \: ;\: \:\: I_{4}=\frac{x\, .\, 6}{100}

Nos queda la ecuación así: (2)

\large \frac{5y}{100}+\frac{6x}{100}=7100

Resolvemos el sistema formado por (1) y (2) y quitando denominadores nos queda:

\large 5x+6y=720000
\large 6x+5y=710000

Multiplicamos la primera ecuación por 6 y la segunda por 5, aplicamos el método reducción;

\large 30x+36y=4320000
\large 30x+25y=3550000
——————————–
             \large 11y=\; 770000

\large y=\frac{770000}{11}=70000

De forma análoga:

\large x=60000

Solución: El capital será de 130.000 €

Problema V.- En un circulo de 12 m. de radio una cuerda de 20 m. está cortada por un diámetro de modo que el punto de intersección está a igual distancia del centro que de un extremo de la cuerda. Hallar los dos segmentos de la cuerda.

Sea PB = PO = x

Por la propiedad de las cuerdas que se cortan tenemos:

\large \mathrm{AP\, . \,\, PB = CP\, .\,\, PD}
\large x(20-x)=(12-x)(12+x)
\large 2x-x^{2}=144-x^{2}
\large x=\frac{144}{20}=7,2

Solución: Los segmentos miden 7,2 m. y 12,8m.

Problema VI.- La suma de las edades de tres personas es 101; 1/2 de la edad de la primera, más 1/4 de la segunda, más 1/3 de la tercera suman 35; y 1/4 de la primera, 1/2 de la segunda y 1/5 de la tercera dan 31. ¿Qué edad tiene cada una de las personas?

Sean  x, y   y   z, en orden ascendente las edades pedidas. Tendremos:

\large \: x+\: y+\: z=101
\large \frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{3}=\: 35
\large \frac{x}4{}+\frac{y}{2}+\frac{z}{5}=\: 31

Quitando denominadores de (2) y (3) el sistema será:

\large \: x\: +\: y\: +\: x=101
\large 6x+3y+4z=420
\large 5x+10y+4z=620

Multiplicando la primera ecuación por 4 tenemos:

\large 4x+\:\: 4y+4z=404
\large 6x+3y+4z=420
\large 5x+10y+4z=620

Restando la séptima de la octava y octava de novena se reduce a:

\large \: \: 2x-\: \: y=\: \: 16
\large -x+7y=200

Sumando entre sí estas últimas, tenemos:

\large 13y=416\: \: \: ;\: \: \: y=\frac{416}{13}=32

Llevando este valor de y a la décima hallamos:

\large 2x-32=16\: \: ;\: \: 2x=48\: \: ;\: \: x=24

Y llevando estos valores de  y  y de  x  a la ecuación primera tendremos:

\large 24+32+z=101\: \: \: ;\: \: \: z=45

Solución: Las edades son 24, 32 y 45 años.

Veremos más contenido de problemas de primer grado con más de una incógnita cuando estudiemos los temas

Practique con algunos ejercicios…

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