Radicación

Extración de raices es una operación que tiene por objeto hallar la base de una potencia cuando se conoce ésta y su grado, la base lleva el nombre de raiz y el exponente es el índice.

   b^{n}=P la extración de raices consistirá en hallar la raiz n de P para obtener b.  

De otro modo: Raiz n-ma de una cantidad es otra cantidad que elevada a la potencia n reproduce la primera.

  \sqrt{9a^{2}b^{4}}=3ab^{2};   \sqrt[3]{64a^{6}b^{3}}=4a^{2}b  

La raiz n-ma de un producto es igual al producto de las raices n-ma de cada uno de los factores.

    {\sqrt[n]{abc}}=\sqrt[n]{a}\, .\sqrt[n]{b}\, .\sqrt[n]{c}    

pues elevando los dos miembros a la potencia n da el mismo resultado.

La raiz n-ma de un cociente es igual a la raiz n-ma del numerador dividida por la raiz n-ma del denominador.

  \sqrt[m]{\frac{a}{b}} si\; hacemos\; \; \; a=x^{m}\; \; y\; \; b=y^{m}    
    \sqrt[m]{\frac{a}b{}}=\sqrt[m]{\frac{x^{m}}{y^{m}}}=\frac{x}{y}    
puesto\; que:   (\frac{x}{y})^{m}=\frac{x^{m}}{y^{m}}=\frac{a}{b}    

Para extraer la raiz de una potencia se divide el exponente por el índice de la raiz.

\sqrt[4]{a^{8}}=a^{8:4}=a^{^{2}} porque (a^{2})^{4}=a^{2.4}=a^{8}

Exponentes fraccionarios.- Toda cantidad con expomente fraccionario representa un radical cuyo índice es el denominador y el numerador es el esponente de la cantidad subradical.

  a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}  

si elevamos los dos miembros a la potencia n tendremos:

      (a^{\frac{m}{n}})^{n}=a^{\frac{m.n}{n}}=a^{m}    
  por lo tanto: a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}
  (\sqrt[n]{a^{m}})^{n}=a^{m}    

Para extraer la raiz n-ma de un monomio se extrae la raiz n-ma del coeficiente, se dividen los exponentes de las letras por m; el resultado llevará ± si m es par, y el signo del radicando si m es impar. Si m es par y el radicando lleva el signo negativo se dice que la raiz es imaginaria.

               1. \sqrt[4]{16a^{8}b^{12}}=\pm\, 2a^{2}b^{3}  
               2. \sqrt[3]{27a^{6}b^{12}c^{9}}=3a^{2}b^{4}c^{3}  
               3. \sqrt[5]{-32a^{15}b^{10}c^{5}}=-2a^{3}b^{2}c  

Si el monomio no tiene raiz exacta se saca fuera del radical la parte que se pueda dejando lo demás debajo del radical o bien se ponen con exponentes fraccionarios.

1. \sqrt[3]{54a^{5}a^{5}b^{4}c^{8}}=3abc^{2}\sqrt[3]{2a^{2}bc^{2}}=3\sqrt[3]{2}\: a^{\frac{5}{3}}b^{\frac{4}{3}}c^{\frac{8}{3}}  
2. \sqrt{27x^{3}y^{2}-45a^{2}y^{3}}=\sqrt{9x^{2}y^{2}(3x-5y)}=3xy\sqrt{3x-5y}  

Reciprocamente si en un monomio compuesto de parte racional y parte irracional se quiere poner todo dentro del radical, se eleva la parte racional a la potencia que indica el índice de la raiz efectando después el producto.

1. 4a^{2}bc^{3}\sqrt{3ac}=\sqrt{16a^{4}b^{2}c^{6}.3ac}=\sqrt{48a^{5}b^{2}c^{7}}  
2. 2ac^{2}\sqrt[3]{3a^{2}b^{2}}=\sqrt[3]{8a^{3}c^{6}.\, 3a^{2}b^{2}}=\sqrt[3]{24a^{5}b^{2}c^{6}}  

Se ha dicho que cuando el redicando es negativo si el índice de la raiz es impar la raiz es negativa, pero si elíndice es par la raiz se llama imaginaria y es imposible hallar su raiz exacta.

Así: \sqrt{-a} no tiene raiz exacta pues no hay ninguna cantidad que elevada al cuadrado nos de (-a).

Las raices imaginarias se representa por i o afectandolas de raiz de menos uno.

  \sqrt{-a^{2}}=\sqrt{a^{2}.(-1)}=\sqrt{a^{2}}.\sqrt{-1}=a\sqrt{-1}=ai  

NOTA.- La expresiones imaginarias no siguen en todo las reglas ordinarias, sino que se admiten convencionalmente.

  (\sqrt{-1})^{2}=-1;\; \;\, \, \, \, \sqrt{2a}.\sqrt{-a^{2}}=-a^{2}  
Potencias de    \sqrt{-1}  
  (\sqrt{-1})^{1}=\sqrt{-1}  
  (\sqrt{-1})^{2}=-1  
  (\sqrt{-1})^{3}=(\sqrt{-1})^{2}(\sqrt{-1})=-\sqrt{-1}  
  (\sqrt{-1})^{4}=[(\sqrt{-1})^{2}]^{2}=-1^{2}=1  

y como 5=4+1; 6=4+2; 7=4+3…. etc., estas potencias van repitiendo las cuatro primeras.

Valor aritmético y valor algebraico.- En ÁLGEBRA, al extraer cualquier raiz hay que atendre a su valor numérico y a su signo.

Raiz cuadrada de 25 tiene como valor numérico 5 pero atendiando al signo es ±5, puesto que (±5)² = 25. Este valor se llama algebraico.

Radicales semejantes son los que tienen el mismo índice y la misma cantidad subradical.

  5a\sqrt{ab;}\; \; \; -3b\sqrt{ab};\; \; \; 4\sqrt{ab}  

Para sumar y restar cantidades radicales se procede como se ondicó para las cantidades algebraicas.

  5b^{2}\sqrt{a},\: \: -3a\sqrt{b},\: \: -4ab\sqrt{a},\: \: 8a^{2}b\sqrt{b},\: \: 6a^{2}b^{2}\sqrt{a},  

Sumados dan:

  =5b^{2}\sqrt{a}-3a\sqrt{b}-4ab\sqrt{a}+8a^{2}b\sqrt{a}+6a^{2}b^{2}\sqrt{a}=  
  =(5b^{2}\sqrt{a}-4ab+6a^{2}b^{2})\sqrt{a}+(8a^{2}b-3a)\sqrt{b}  

Si queremos restar de:

  10\sqrt[3]{a^{2}b}\; \; \; el\: binomio\; \; \; (3\sqrt[3]{a^{2}b}-\sqrt[3]{a^{2}b})  
  10\sqrt[3]{a^{2}b}-3\sqrt[3]{a^{2}b}+\sqrt[3]{a^{2}b}=8\sqrt[3]{a^{2}b}  

Asi mismo tendremos que:

  (a\sqrt{ab}-2b\sqrt{ab})-(c^{2}d\sqrt{ab})=(a-2b-c^{2}d)\sqrt{ab}  

Se ha dicho anteriormente que la raiz de un producto es igual al producto de las raices de cada factor, y que la raiz de un cociente es igual al cociente de la raiz del dividendo partida de la raiz del divisor.

Se deduce que para multiplicar o dividir radicales de mismo índice se multiplican o dividen las cantidades subradicales poniendo el resultado debajo de un radical del mismo índice.

1. \sqrt{ab}.\sqrt{3ac}=\sqrt{2ab.3ac}=\sqrt{6a^{2}bc}=a\sqrt{6bc}  
2. 3\sqrt[3]{a^{2}c}.(-5\sqrt[3]{ab^{2}})=-15\sqrt[3]{a^{3}b^{2}c}=-15a\sqrt[3]{6bc}  
3. \frac{a^{2}\sqrt[3]{b^{2}c}}{b\sqrt[3]{a^{2}b^{2}}}=\frac{a^{2}}{b}.\sqrt[3]{\frac{b^{2}c}{a^{2}b^{2}}}=\frac{a^{2}}{b}\sqrt[3]{\frac{c}{a^{2}}}  

Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número la raiz no varía.

  \sqrt[3]{a^{2}}=\sqrt[6]{a^{4}}   \sqrt[mn]{b^{n}}=\sqrt[m]{b}  

Para reducir dos o más radicales a un índice común se multiplican el índice y el exponente de cada uno por los índice de los demás.

  \sqrt[m]{a}\: \: \: y\: \: \: \sqrt[n]{b} se convierten \sqrt[mn]{a^{n}}\: \: \: y\: \: \: \sqrt[mn]{b^{m}}  

Para multiplicar radicales que tienen distinti índice se reducen a común índice y se multiplican después las cantidades subradicales.

1.   \sqrt[3]{3a^{2}b}.\sqrt{ab}=\sqrt[6]{9a^{4}b^{2}}.\sqrt[6]{a^{3}b^{3}}=\sqrt[6]{9a^{7}b^{5}}=a\sqrt[6]{9ab^{5}}    
2.   (c-d)\sqrt[4]{a+b}\: .\: a\sqrt{a-b}=(c-d)\sqrt[4]{a+b}\: .\: a\sqrt[4]{(a-b)^{2}}=    
    =a(c-d)\sqrt[4]{(a+b)(a-b)^{2}}    

Para dividir dos radicales de distinti índice se reducen a común índice y después se dividen las cantidades subradicales.

1. a^{2}b\sqrt[3]{ab^{2}}\: :\: 5ab\sqrt{bc}=  
  =\frac{a^{2}b\sqrt[6]{a^{2}b^{4}}}{5ab\sqrt[6]{b^{3}c^{3}}}=\frac{a}{5}\sqrt[6]{\frac{a^{2}b}{c^{3}}}  
2. \frac{8\sqrt{a+b}}{-2\sqrt[4]{a+b}}=\frac{8\sqrt[4]{(a+b)^{2}}}{-2\sqrt[4]{a+b}}=-4\sqrt[4]{a+b}  

Para elevar un radical a una potencia se eleva la cantidad subradical a dicha potencia.

  (\sqrt[n]{a})^{m}=\sqrt[n]{a}. \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{a}.....\sqrt[n]{a^{m}}  
1.   (\sqrt[3]{2a^{2}c})^{2}=\sqrt[3]{(2a^{2}c)^{2}}=\sqrt[3]{4a^{4}c^{2}}=a\sqrt[3]{4ac^{2}}    
2.   (5\sqrt[4]{a-b})^{2}=25\sqrt[4]{(a-b)^{2}}=25\sqrt{a-b}    

Para extraer la raiz de otra raiz se sultiplican los índices.

1.   \sqrt[4]{\sqrt[3]{a^{2}b}}=\sqrt[12]{a^{2}b}    
2.   \sqrt{9\sqrt[3]{4a^{2}c^{2}}}=3\sqrt[6]{4a^{2}c^{2}}=3\sqrt[3]{2ac}    
3.   \sqrt[3]{a\sqrt{ab}}=\sqrt[3]{\sqrt{a^{3}b}}=\sqrt[6]{a^{3}b}    

El orden de extración de raices no altera el resultado.

Racionalización de los denominadores de una fracción.- Al operar con radicales, para facilitar y simplificar las operaciones se suele racionalizar el denominador, a esta operación se ñe llama racionalizar.

Consideremos los dos casos más sencillos:

1º Si el denominador es una raiz cuadrada de un número o de un monomio, se multiplica los dos términos de la fracción por ese radical.

1.   \frac{x}{\sqrt{y}}=\frac{x.\sqrt{y}}{\sqrt{y}.\sqrt{y}}=\frac{x\sqrt{y}}{y}    
2.   \frac{2R}{\sqrt{5}}=\frac{2R\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{5}}=\frac{2R\sqrt{5}}{5}    

Si el denominador es un binomio en el que uno de los términos es radical de 2º grado, se multiplican los dos términos de la fracción por el mismo binomio cambiado el sigo del medio. A estos binomios se les llama conjugados.

1.   \frac{x}{a+\sqrt{b}}=\frac{x(a-\sqrt{b})}{(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})}=\frac{x(a-\sqrt{b})}{a^{2}-b}    
2.   \frac{n}{\sqrt{x}-y}=\frac{n(\sqrt{x}+y)}{(\sqrt{x}-y)(\sqrt{x}+y)}=\frac{n(\sqrt{x}+5)}{x-y^{2}}    
3.   \frac{m}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{m(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\frac{m(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}