Resolución gráfica de la ecu. de 1º grado

Sistema cartesiano o de representación.- Para situar un punto en un plano se tazan dos rectas perpendiculares, a las que se dan el nombre de ejes cartesianos.

Eje de abscisas o de las x es la recta xx’.

Eje de ordenadas o de las y es la recta yy’.

Origen de coordenadas es el punto o donde se cortan los ejes.

Coordenadas de un punto:

Abscisa de un punto es la distancia al eje de ordenadas.
Ordenada de un punto es la distancia al eje de abscisas.

La distancia de un punto a una recta se obtiene trazando una perpendicular desde dicho punto a la recta.

En la figura anterior tenemos:

La abscisa de P es NP = OM
La ordenada de P es MP =ON

Signo de las coordenadas de un punto.- Las abscisas son positivas cuando el punto está a la derecha del eje yy’ y negativas cuando están a su izquierda.

Las ordenadas son positivas cuando el punto está encima del eje xx’ y negativas cuando están debajo.

Notación.- Para indicar que dos valores son las coordenadas de un punto se les encierra dentro de un paréntesis separados por una coma, se escribe en primer lugar el valor de la abscisa.

Ejemplo: Si un punto tiene de abscisa x = 2 y de ordenada y =3 escribiremos P (2,3).

Puntos sobre los ejes.-
1.º Los puntos sobre el eje de abscisas tienen ordenada nula, son nulos los puntos E y G de la figura siguiente.
2.º Los puntos sobre el eje de ordenadas tienen abscisa nula, son nulos los puntos F y H de la figura siguiente.
3.º El origen O tiene las coordenadas nulas.

Aplicación. Hallar las coordenadas de los puntos A, B, C, D, E, F, G. Tómese como unidad el lado del cuadradito.

Respuesta:
A(2,3), B(-3,4), C(-4,-2), D(1,-3), E(3,0), F(0,5), G(-2,0), H(0,4)

Representación gráfica de funciones.- Se llama representación gráfica de una función la línea formada por todos los puntos cuyas coordenadas sustituidas en la función la satisfacen.

Para obtenerla se forma un cuadro de valores dando valores arbitrarios a la x y hallando los de y.

Los valores de x se llevan al eje de las abscisas y los de y al de ordenadas. Cada par de estos valores determina un punto, uniéndolos se obtiene la gráfica.

Hallar la gráfica de:     y=x^{3}

Función de 1er grado con una variable

Forma.- Su forma general es :     y=ax+b

Gráfica.- La gráfica de la función de primer grado en una recta.

Sea la función:     y=2x+1

Damos valores a x, enteros y consecutivos para obtener los puntos A, B, C, D..

Unimos A con B, B con C, C con D….Por A, B, C,…. Trazamos AM, BN, CP,… paralelas al eje Ox.

Los triángulos rectángulos así formados son iguales, por tanto son también iguales los ángulos agudos BAM, CBN, DCP,… y como tienen la disposición de ángulos correspondientes, los puntos A, B, C, D,… están en línea recta.

Casos particulares.

1.º La recta pasa por el origen. y = ax.
2.º La ordenada b es constante, la reccta es paralela al eje Ox. y = b.
3.º La abscisa c es constante, la recta es paralela al eje Oy. x = c.

   

Construcción práctica.- Como la gráfica es una línea recta basta con calcular dos puntos. El cuadro queda reducido a dos valores que pueden ser los correspondientes a x=0 y a y=0.

Ejemplos: Hallar las gráficas de :

1.º   y=3x  (A)

 
 
   
 

2.º  y=4x-2  (A)

 
 
   
 

3.º     2x+3r=6  (fig. C)

Despejamos:  y=\frac{6-2x}{3}

Sistemas de ecuaciones con dos incógnita.- Se construye por separado la recta de cada ecuación y las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas darán los valores de x e y que satisfacen el sistema.

Ejemplo: Sea resolver:

  2x-3y=-5 (1)
  3x-\: \: y=\: \: 9 (2)
En la ecuación (1) para y = 0 x=-\frac{5}{2}
y para x = 0 y=\; \; \; \frac{5}{2}

Uniendo estos dos puntos tenemos la recta MN.

En la ecuación (2) para y = 0, x = 3; para x = 0, y = 9. De la unión de estos puntos resulta la recta RS.

La intersección P de las dos rectas MN y RS tiene como abscisa 2 y de ordenada 3. La solución es: x = 2 e y = 3.