Soluciones: Resolución de triángulos rectángulos

54.
\large Datos\left\{\begin{matrix} B=50^{0}\: \: \: \: \\ C=40^{0}\: \: \: \: \: \\ a=20\, m.\end{matrix}\right.\: \: \: ;\: \: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} b\\ c\\ \end{matrix}\right.
\large b=a\, sen\, B\: \: \: ;\: \: \: c=a\, sen\, C
\large log\, b=log\, a+log\, sen\, B\: \: \: ;   \large log\, c=log\, a+log\: sen\, C
Solución:
b = 15,321 m.    y    c = 12,856 m.
55.
\large Datos\left\{\begin{matrix} B=50^{0}\: \: \: \: \: \\ C=40^{0}\: \: \: \: \: \\ a=30\, m.\end{matrix}\right.\: \: \: ; \: \: \: Inc\acute{o}gnitas \left\{\begin{matrix} a\\ c\end{matrix}\right.
\large b=a\, sen\, B\: \: \: ;\: \: \: c=b\, tg\, C
\large log\, a=log\, b-log\, sen\, B\: \: \: ;   \large log\, c=log\, b+log\, tg\, C 
Solución:
b = 39,16 m.    y    c = 25,173 m.
56.
\large Datos\left\{\begin{matrix} B=50^{0}\: \: \: \: \: \\ C=40^{0}\: \: \: \: \: \\ c=40\, m.\end{matrix}\right. \: \: \: ;\: \: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} a\\ b\\ \end{matrix}\right.
\large a=\frac{c}{sen\, C}\: \: \: ;\: \: \: b=c\: tg\, B
\large log\: a=log\: c-log\: sen\, C\: \: \: ;   \large log\: b=log\: c+log\: tg\, B   
Solución:
a = 62,23 m.    y    c = 47,67 m.
57.
\large Datos\left\{\begin{matrix} a=325\, m.\\ B=45^{0}\, 30'\: \end{matrix}\right. \: \: \: ;\: \: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} C\\ b\\ c\end{matrix}\right.
\large C=90^{0}-45^{0}\, 30'=44^{0}\, 30'
\large b=a\: sen\, B\: \: \: ;\: \: \: c=a\: cos\, B
      
Solución:
b = 231,862,23 m.    ,    c = 227,847,67 m.   y   C = 44º 30′
58.
\large Datos\left\{\begin{matrix} a=25\, m.\: \: \: \: \\ b=21,2\: m.\end{matrix}\right. \: \: \: ;\: \: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} B\\ C\\ c\end{matrix}\right.
\large b=a\: sen\, B
\large log\: sen\, B=log\: 21,2-log\: 25
      \large B=58^{0}\: \: \: ;\: \: \: C=32^{0}
\large c=a\: cos\, B
\large log\: c=log\: 21,2+log\: tg\: 32^{0}\: \: ;\: \: c=13,25
Otro método de resolución
\large c^{2}=a^{2}-b^{2}\: \: \: ;\: \: \: c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=13,25
\large cos\: C=\frac{c}{a}=\frac{21,2}{25}\: \: \: ;\: \: \: C=32^{0}\, 20'
\large B=90^{0}-32^{0}\, 20'=57^{0}\, 20''
Solución:
B = 57º 59′ 40″    ,    C = 32º 20″   y   c = 13,25 m.
59.
\large Datos\left\{\begin{matrix} b=18\, m.\\ c=14,5\: \: \end{matrix}\right. \: \: \: ;\: \: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} B\\ C\\ a\end{matrix}\right.
\large b=c\: tg\, B\: \: ;\: \: tg\, B=\frac{18}{14,5}\: \: ;\: \: B=51^{0}\, 9'
\large C=90^{0}-51^{0}\, 9'=38^{0}\, 51'
\large a=b\: sen\, B=18\: sen\, B=23,115
Podemos utilizar el método alternativo del ejercicio 58
Solución:
B = 51º 9′    ,    C = 38º 51′   y   a = 23,115 m.
60.
\large Datos\left\{\begin{matrix} B=32^{0}\, 57'\\ b=48\, m.\, \end{matrix}\right. \: \: \: ;\: \: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} C\\ a\\ c\end{matrix}\right.
\large C=90^{0}-32^{0}\, 57'=57^{0}\, 3'
\large b=a\: sen\, B\: \: \: ;\: \: \: a=\frac{48}{0,5439}=88,25
\large c=b\: cotg\, B\: \: \: ;\: \: \: c=48\: cotg\,B= 74,055
Recordad que la tg de un ángulo es la cotg de su complementario
también podemos averiguar el valor de c así:
\large c=a\: sen\, C\: \: \: ;\: \: \: c=48\: sen\, C=74,055
Solución:
C = 57º 3′   ,    a = 88,25 m.   y   c = 74,055 m.
61.
\large Datos\left\{\begin{matrix} 32^{0}\, 57'\\ 450\, m.\end{matrix}\right. \: \: \: ;\: \: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} a\\ b\\ C\end{matrix}\right.
\large b=c\: tg\, B\: \: ;\: \: b=480\: tg\, B=610,64
\large c=a\: cos\, B\: \: \: ;\: \: \: a=\frac{c}{cos\, B}=\frac{450}{cos\, b}=610,64
Podemos utilizar el método:
\large C=90^{0}-47^{0}\: 28'=42^{0}\: 32'
\large b=c\: tg\, B\: \: \: ;\: \: \: b=450\, tg\, b=412,78
\large a^{2}=b^{2}+c^{2}\: \: \: ;\: \: \: a=\sqrt{b^{2}+c^{2}}=610,64
Solución:
C = 42º 32′    ,    a = 610,64 m.   y   b = 412,78 m.
62.
\large Datos\left\{\begin{matrix} a=500\, m.\\ B=50,67^{0}\, \, \end{matrix}\right. \: \: \: ;\: \: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} C\\ b\\ c\end{matrix}\right.
\large C=90^{0}-50,67^{0}=39,33^{0}
\large b=a\: sen.B\: \: \: ;\: \: \: a=500.0,7735=386,75
  \large c=a\: cosB\: \: \: ;\: \: \: c=500.0,6338=316,89
Solución:
C = 50,67º    ,    c = 316,89 m.   y   b = 386,75 m.
63.
\large Datos\left\{\begin{matrix} a=3.000\, m.\\ b=2.500\, m.\end{matrix}\right. \: \: \: ;\: \: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} C\\ b\\ c\end{matrix}\right.
\large b=a\: sen\, B\: \: ;\: \: sen\, B=\frac{b}{a}=\frac{2500}{3000}\: \: ;\: \: B=56,44^{0}
\large C=90^{0}-56,44^{0}=33,56^{0}
  \large c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{3000^{2}-2500^{2}}=1658,31
Solución:
B = 56,44º    ,    C = 33,56º   y   b = 1.658,31 m.
64.
\large Datos\left\{\begin{matrix} b=386,46\, m.\\ C=39,38^{0}\: \: \: \: \: \: \: \: \end{matrix}\right. \: \: \: ;\: \: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} B\\ a\\ c\end{matrix}\right.
\large B=90^{0}-39,38^{0}=50,62^{0}
\large b=a\: cos\, C\: \: ;\: \: a=\frac{b}{cos\, C}=\frac{386,46}{0,7729}=500
  \large c=b\: cotg\, C\: \: \: ;\: \: \: c=\frac{b}{cotg\, C}=\frac{386,46}{1,2183}=317,21
Recordad que la tg de un ángulo es la cotg de su complementario
Solución:
B = 50,62º    ,    a = 500 m.  y   c = 317,21 m.
65.
\large Datos\left\{\begin{matrix} b=2.500\, m.\: \: \: \: \: \: \\ c=1.658,31\, m.\end{matrix}\right. \: \: ;\: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} B\\ C\\ a\end{matrix}\right.
\large b=c\: tg\, B\: \: ;\: \: tg\, B=\frac{b}{c}=\frac{2500}{1658,31}\: \: ;\: \: B=56,45^{0}
\large C=90^{0}-46,45^{0}=33,55^{0}
  \large b=a\: cos\, B\: \: ;\: \: a=\frac{b}{cos\, B}=\frac{1658,31}{0,5527}=3000
Solución:
B = 56,45º    ,    a = 3000 m.  y   C = 33,55º
66.
\large Datos\left\{\begin{matrix} B=48,48^{0}\: \: \: \: \: \\ a=22,75\, m.\end{matrix}\right. \: \: \: ;\: \: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} C\\ b\\ c\end{matrix}\right.
\large b=a\: sen\, B\: \: ;\: \: b=22,75\, .\, 0,7487=17,03
\large c=a\: cos\, B\: \: ;\: \: c=22,75\, .\, 0,6629=15,08
  \large C=90^{0}-48,48^{0}=41,52^{0}
Solución:
b = 17,03 m.    ,    c = 15,08 m.  y   C = 41,52º
67.
\large Datos\left\{\begin{matrix} a=8926\\ b=7400\end{matrix}\right. \: \: \: ;\: \: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} c\\ B\\ C\end{matrix}\right.
\large b=a\: sen\, B\: \: ;\: \: sen\, B=\frac{b}{a}=\frac{7400}{8926}\: \: ;\: \: B=56^{0}
\large c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{8926^{2}-7400^{2}}=4991,34
  \large C=90^{0}-B=90^{0}-56^{0}=34^{0}
Solución:
c = 4.991,34 m.    ,    B = 56º  y   C = 34º
70.
\large x=50\, cos.26^{0}=50\, .\, 0,8988=44,94
\large log\, x=log\, 50+log\, cos.60=44,94
Solución:
La base de la rampla medirá 44,94 m.
71.
\large sen.B=\frac{120}{x}\: \: \: ;\: \: \: x=\frac{120}{sen.B}=3126
\large log\: x=log\: 120-log\, 2,20^{0}=3126
Solución:
El camino mide 3.126 m.
72.
\large tg\, 36^{0}=\frac{12}{x}\: \: ;\: \: x=\frac{12}{tg\, 36^{0}}=16,52
\large log\, x=log\, 12-log\: sen.36=16,52
Solución:
La sombra mide 16,52 m.
73.
Llamando B al ángulo superior y C a la base, tenemos:
\large tg.B=\frac{150}{67}\: \: \: ;\: \: \: B=65,93^{0}
\large C=90^{0}-65,93^{0}=24,07^{0}
Solución:
Los ángulos miden 65,93º y 24,07º
74.
\large AC=AB\: tg.B=182\: tg.43,60^{0}=173,31
\large log\: AC=log\: 182+log\: tg.43,60^{0}\: \: ;\: \: AC=173,31
Solución:
Tiene de ancho 173,31 m.
75.
La cuerda BB’ = 2 AB’ y en el triángulo CAB’ tenemos:
\large c=b\: tg.\frac{C}{2}\: \: ;\: \: c=17\: tg.43^{0}\: \: ;\: \: c=16,78
\large log\: c=log\: b+log\: sen.43^{0}\: \: ;\: \: c=16,78
Solución:
La cuerda mide 33,56 m.
76.
\large D=\frac{1}{2}(180^{0}-33,48^{0})=73,26^{0}
\large sen\: \frac{A}{2}=\frac{BC}{AC}\: \: ;\: \: AC=\frac{82}{sen.16,73^{0}}=284,85
\large S=\frac{AC^{2}\: sen.33,47}{2}=22.365
Solución:
C = D = 73,26º ; AC= 284,85 y S = 22.365 m2
77.
\large AH=IB=\frac{AB-DC}{2}=\frac{92-65}{2}=18,5
\large AI=92-18,5=73,50
\large tg\, CAB=\frac{CI}{AI}=\frac{54}{73,5}\: \: ;\: \: CAB=36,30^{0}
\large AOB=2\, . \, 36,30^{0}=72,60^{0}
Solución:
72,60º
78.
Siendo las diagonales bisectrices de los ángulos, tendremos en A dos ángulos iguales y mitad del del rombo.
Llamando d’ a estas diagonales, tenemos:
\large sen\frac{A}{2}=\frac{\frac{1}{2}d}{190}\: \: \: ;\: \: \: cos\frac{A}{2}=\frac{\frac{1}{2}d'}{2}
\large d=380\: sen\frac{A}{2}=380\: sen.28,20^{0}=179,57
\large d'=380\: cos\frac{A}{2}=380\: cos.28,20^{0}=334,89
Solución:
Las diagonales mide 179,57 y 334,89 m.
79.
El ángulo OBE = 1/2 ABE
En el triángulo OBE:
\large tg\,OBE=\frac{OE}{BE}=\frac{18,85}{24,80}\: \: ;\: \: OBE=37,24^{0}
\large ABE=2\, .\, 37,24^{0}=74,48^{0}
\large BAC=180-(2\, .\, 74,48^{0})=31,04^{0}
Solución:
Los ángulos miden 74,48º y 31,04º

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