Sistemas con tres o más incógnitas

Los métodos anteriores son generales; por tanto no se pueden emplear en los sistemas de tres o más ecuaciones.

Lo que se pretende siempre es hacer desaparecer una de las incógnitas para así reducir el sistema a otro que tenga una ecuación y una incógnita menos que la anterior. Esta operación se repite con las ecuaciones que vayan quedando en el sistema hasta llegar a una ecuación con una sola incógnita.

Hallado el valor de una de las incógnitas, se lleva a una de las ecuaciones anteriores en el que solo haya dos incógnitas, hallado el de estas dos se llevan a una ecuación que tenga tres incógnitas, y así sucesivamente.
Véanse estos ejemplos:

Ejemplo I. Por sustitución. Sea el sistema.

4x-3y+2z=9     (1)
2x+5y-3z=4     (2)
5x+6y-2z=18    (3)
Despejamos x en (1) x=\frac{9+3y-2z}{4}  

Sistituimos en las otras dos ecuaciones y tendremos:

  2\left ( \frac{9+3y-2z}{4} \right )+5y-3z=4  
  5\left ( \frac{9+3y-2z}{4} \right )+6y-2z=18  

9+3y-2z+109+3y-2z+10y-6z=8

45+15y-10z+24y-8z=72

Estas dos últimas se transforman en estas otras:

13y-8z=-1       -13y+8z=1
39y-18z=27 dividimos por 3        13y-6z=9

Que restadas miembro a miembro se reducen a:

2z=10;\; \; \; \; \; z=\frac{10}{2}=5

Llevando este valor a cualquiera de la dos últimas anteriores hallaremos que y = 3, y llevando los valores y y z a una de la ecuaciones del sistema propuesto hallaremos que x = 2.

Los valores que satisfacen al sistema son:   x=2\: \: \: y=3\: \: \: z=5

Ejemplo II. Por igualación. Sea el sistema:

2x-2y+3x=16    (1)
3x+5y-2z=\: 6     (2)
4x+5y-4z=\: 1     (3)

Despejando x en cada una de la ecuaciones, en función de la otras incógnitas, tendremos:

x=\frac{16+2y-3z}{2}     (4) x=\frac{6-5y+2z}{3}     (5)

x=\frac{1-5y+4z}{4}     (6)

Igualando (5) a (4) y (6), tendremos:

\frac{6-5y+2z}{3}\: =\: \frac{1-5y+4z}{4}

Quitando denominadores y pasando todos los términos con incógnita al primer mienbro, el sistema dado se reduce a:

16y-13z=-36
  5z+\; \; 4z=\; \; 21

que, resuelto por cualquiera de los métodos ordinarios, da:

y\; =\; 1\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \mathrm{y}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x\; =\; 4

Estos valores, llevados a una de las ecuaciones del sistema propuesto da 3 por valor de x.

Los valores de las incógnitas son:     x\: =\: 3\; \; \; \; \; y\: =\: 1\; \; \; \; \; z\: =\: 4

Ejemplo III. Por reducción. Sea el sistema:

x+y+z=11        (1)
2x-y+z=5        (2)
3x+2y+z=24     (3)

Como en las tres ecuaciones el coeficiente de z es la unidad, lo más sencillo sería restar la 1ª ecuación de cada una de las otras dos y así desaparecería dicha incógnita

Pero para que se vea mejor el procedimiento a aplicar eliminaremos la x, para lo cual lo primero que se ha de hacer es igualar los coeficientes en las tres ecuaciones, esto se consigue multiplicando la primera por 6, la segunda por 3 y la tercera por 2, lo que da:

6x+6y+6z=66
6x-3y+3z=15
6x+4y+2z=48

Restamos ahora la segunda de cada una de las otras dos:

9y+3z=51     (4)
7y-\; z=33      (5)

Con esto queda ya eliminada una incógnita. Para eliminar otra y reducir el sistema a una sola ecuación con una incógnita multiplicaremos la (5) por 3 y la sumamos con la (4):

  9y+3z=51
21y-3z=99  
————————
30y          =150
 

y=\frac{150}{30}=5

Llevando el valor de y a (5), tenemos:

35-z=33;\; \; \; \; \; \; z=35-33=2

Del mismo modo, llevando el valor de y y z a (1), resulta:

x+5+2=11;\; \; \; \; \; \; \; x=11-7=4

Los valores de las incognitas son:    x=4\; \; \; \; \; y=5\; \; \; \; \; x=2