Casos particulares. (Artificios)

Ejemplo I. Sea el sistema:

x+y=13
y+z=14
x+z=17

2x+2y+2z=44\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x+y+z=22

Restando de esta cada una de la tres del sistema hallaremos los valores de las incónitas.

Los valores de las incógnitas son:     x=8\; \; \; \; \; y=5\; \; \; \; z=9

Ejemplo II. Sea el sistema:

\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=\frac{z}{15}                 (1)

2x+3y-z=12        (2)

La igualdad (1) sepuede transformar en :

\frac{5x}{15}=\frac{3y}{15}=\frac{z}{15};\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 5x=3y=z

Despejando en (3) x e y en función de z y llebando estos valores a (2):

\frac{2z}{5}+z-z=12;\; \; \; \frac{2z}{5}=12;\; \; \; z=\frac{12.5}{2}=30

Llevando este valor a la última igualdad de (3), tendremos:

3y=30;\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; y=10

Para el valor de x no da:

5x=30\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x=6

Los valores de las incógnitas son:    \bg_black x=6\: \: \: y=10\: \: \: x=30

Ejemplo III. Sea el sistema:

  \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}  
 

\frac{1}{y}+\frac{1}{x}=\frac{1}{20}

 
  \frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{15}  

Reemplazamos:     \frac{1}{x}\; \; \mathrm{por}\: \: x',\; \; \frac{1}{y}\: \: \mathrm{por}\: \: y',\; \; \frac{1}{z}\: \: \mathrm{por}\: \: z'

\left.\begin{matrix} x'+y'=\frac{1}{12}\\ \\ y'+z'=\frac{1}{20}\\ \\ x'+z'=\frac{1}{15} \end{matrix}\right\}\mathrm{Sumamos\, miembro\, a\, miembro}

2x'+2y'+2z'=\frac{1}{5}

de donde:        x'+y'+z'=\frac{1}{10}

Restando de ésta cada una de las tres últimas resulta:

z'=\frac{1}{60}\; \; \; \; \; y'=\frac{1}{30}\; \; \; \; \; x'=\frac{1}{20}

Los valores de las incógnitas son:     x=20\; \; \; \; \; y=30\; \; \; \; \; z=60

Ejemplo IV. Sea el sistema:

\frac{xy}{x+y}=\frac{12}{5}

\frac{yz}{y+z}=\frac{18}{5}

\frac{xz}{x+z}=\frac{36}{13}

\left.\begin{matrix} \frac{xy}{x+y}=\frac{12}{5}\\ \\ \frac{yz}{y+z}=\frac{18}{5}\\ \\ \frac{xz}{x+z}=\frac{36}{13} \end{matrix}\right\}que, invertidas son: \left\{\begin{matrix} \frac{x+y}{xy}=\frac{5}{12}\\ \\ \frac{y+z}{yz}=\frac{5}{18}\\ \\ \frac{x+z}{xz}=\frac{13}{36} \end{matrix}\right.

Efectuando las divisiones de los primeros miembros de estas últimas tenemos:

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{12}

\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{5}{18}

\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{13}{36}

queda como el ejemplo III. Resolviendo queda:

Los valores de las incógnitas son:     x=4\;\; \; \; \; \; y=6\;\; \; \; \; z=9