Desigualdades e Inecuaciones

Desigualdades-Inecuaciones

Una desigualdad es una relación matemática en la que se comparan dos expresiones y se indica que una es mayor o menor que la otra.

En las desigualdades utilizan los signos siguientes.

$>$ mayor que
$<$ menor que
$\ge$ mayor o igual que
$\le$ menor o igual que

a > b se lee “a mayor que b“.
a < b se lee “a menor que b”.

Inecuaciones de primer grado.

Una inecuación de primer grado es aquella en la que la incógnita aparece elevada a la primera potencia. Su resolución consiste en hallar todos los valores de la incógnita que verifican la desigualdad.

A diferencia de las ecuaciones, la solución de una inecuación no suele ser un único número, sino un conjunto de valores.

Propiedades fundamentales de las desigualdades.

Las desigualdades cumplen una serie de propiedades que permiten transformarlas sin alterar su solución.

Suma y resta de desigualdades.

Si se suma o se resta una misma cantidad a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la desigualdad no cambia.

Ejemplo:

$x–3>5 \Rightarrow x>8$

Multiplicación y división de desigualdades.

• Si se multiplican o dividen ambos miembros por un número positivo, la desigualdad mantiene su sentido.
• Si se multiplican o dividen ambos miembros por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte.

Consecuencias:

I. Se puede pasar un término cualquiera de un miembro a otro cambiándole de signo.

Ejemplo:

si añadimos   8   a los dos miembros y restando   2x   tendremos:

 

Si se cambian todos los términos de miembro hay que cambiar el sentido de la desigualdad.

II.- Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desigualdad por un número positivo resulta otra desigualdad del mismo sentido.

Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desigualdad por un número negativo resulta otra desigualdad de sentido contrario.

Ejemplo:

Multiplicando los términos sucesivamente por 4 y por -4 da:

Dividiendo los términos sucesivamente por 3 y -3 da:

Consecuencias.- Se pueden quitar denominadores multiplicando los dos términos de la desigualdad por el m.c.m de los denominadores con tal de saber el signo del m.c.m y aplicar la propiedad anterior.

III.- Si se suman miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido resulta otra desigualdad de idéntico sentido

Si son de sentido contrario, no se puede predecir el resultado.

IV.- Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de distinto sentido resulta otra igualdad del sentido del minuendo.

Si son del mismo sentido, no se puede predecir el resultado.

V.- La potencia de una desigualdad es otra desigualdad del mismo sentido si sus dos miembros son positivos.

Resolución de inecuaciones de primer grado.

Para resolver una inecuación de primer grado se sigue un procedimiento similar al de una ecuación:

Pasos generales:

1. Quitar paréntesis y denominadores si los hubiera.
2. Agrupar en un mismo miembro los términos con incógnita y en el otro los términos conocidos.
3. Reducir términos semejantes.
4. Despejar la incógnita, teniendo especial cuidado al multiplicar o dividir por números negativos.

Ejemplo:

$3x–1<8$

Restamos −1 en ambos miembros:

$3x<9$

Dividimos entre 3:

$x<3$

Solución: todos los valores de $x$ menores que 3.

Representación de la solución.

La solución de una inecuación puede expresarse de varias formas:

• Mediante la desigualdad:

$x<3$

• En forma de intervalo:

$(–\infty ,3)$

• Sobre la recta numérica, marcando el punto 3 con un círculo abierto y sombreando hacia la izquierda.

Ejemplos de inecuaciones de primer grado.

Ejemplo 1.

Pasamos de un miembro al otro:

$20>x$

Solución: Para todo valor de x menor de 20 se cumplirá la desigualdad.

Ejemplo 2.

Quitando denominadores tenemos:

Pasamos de un miembro al otro:

Solución: Todos los números mayor de tres la cumplen.

Inecuaciones con dos incógnitas.

Las inecuaciones con dos incógnitas tienen la forma general:

$ax+by<c$

Su solución no es un conjunto de puntos aislados, sino una región del plano.

Representación gráfica de inecuaciones con dos incógnitas.

1. Se sustituye el signo de desigualdad por el de igualdad y se representa la recta correspondiente.
2. Se determina qué lado de la recta verifica la desigualdad probando un punto sencillo.
3. El conjunto solución es el semiplano que cumple la condición.

Sistemas de inecuaciones.

Un sistema de inecuaciones está formado por dos o más inecuaciones que deben cumplirse simultáneamente.
La solución del sistema es la intersección de las regiones solución de cada inecuación.

Recuerda

• Una inecuación es una desigualdad que contiene una incógnita.
• Su solución suele ser un conjunto de valores, no un único número.
• Al multiplicar o dividir por un número negativo, el signo de la desigualdad cambia.
• Las soluciones pueden representarse con intervalos o en la recta numérica.
• En dos incógnitas, la solución es una región del plano.

Practique con algunos ejercicios

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