Ecuaciones de primer grado

Una ecuación de primer grado es una igualdad matemática en la que aparece una incógnita elevada a la primera potencia.
Resolver una ecuación de primer grado consiste en hallar el valor de la incógnita que hace verdadera dicha igualdad.

Forma General

$a x + b = 0$

Donde a y b son números reales y a ≠ 0

Igualdad.

Es la expresión que resulta de unir con el signo de igual ( = ) dos cantidades de igual valor que pueden o no contener cantidades desconocidas representadas por letras.

$\large 5\, .\, 4=20\: \: \: ; \: \: \: (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

En toda igualdad se llama:

primer miembro a la parte situada a la izquierda del signo igual.
segundo miembro a la parte situada a la derecha.

Por ejemplo:

$\large 3\, .\, 8=8\, .\, 3\: \: \: ;\: \: \: a^{2}+bx=a^{2}+bx$

Ejemplos de ecuaciones de primer y segundo grado:

$\large 3x+3=15\: \: \: ;\: \: \: x^{2}-7x=-12$

Las ecuaciones solo se verifican para uno o varios valores determinados de la incógnita. Tales valores se llaman raíces de la ecuación.

Clasificación de las ecuaciones de primer grado.

Según la naturaleza de sus coeficientes y de sus soluciones, las ecuaciones pueden clasificarse en:

• Numéricas, si las cantidades conocidas son números.

• Literales, si las cantidades conocidas están representadas por letras.

• Determinadas, si tienen un número limitado de soluciones.

• Indeterminadas, si tienen infinitas soluciones.

$\large ax+b=cx+d$

literal y determinada

$\large 5x-4=3x+4$

numérica y determinada

$\large 4x-5y=5$

numérica e indeterminada

Grado de una ecuación.

El grado de una ecuación es el mayor grado de los términos que contienen incógnitas.

$\large 7x+4=3x+10$

es de primer grado

$\large x^{2}-5x+10=0$

es de segundo grado

$\large 3xy-5x-8y=0$

es de primer grado

Transformaciones en una ecuación de primer grado.

Las transformaciones de una ecuación se basan en el siguiente principio:

Se basan en que si con cantidades iguales se hacen operaciones iguales, los resultados son iguales.

Si se realizan las mismas operaciones en ambos miembros de una ecuación, la igualdad se mantiene.

De este modo, el valor de las soluciones no cambia al sumar, restar, multiplicar o dividir ambos miembros por un mismo número distinto de cero.

Por tanto, en una ecuación se puede pasar uno o más términos de un miembro a otro, con signo contrario, pues es lo mismo que si a los dos miembros de la ecuación se les suma, o resta una misma cantidad.

Sea la ecuación:

$\large 16x-2=9x+33$ $\large \leftrightarrow$ de cumple para x = 5

Si multiplicamos ambos miembros por 4 tendremos:

$\large 64x-8=36x+132$ $\large \leftrightarrow$ donde x = 5

Eliminación de denominadores.

Si una ecuación contiene fracciones, puede transformarse en otra equivalente con términos enteros.

Regla.- Para eliminar los denominadores, se reducen los términos fraccionarios a común denominador y luego se multiplican todos los términos , enteros o fraccionarios, por dicho denominador común.

Sea la ecuación:

$\large \frac{x}{3}-\frac{1}{6}+x=\frac{x}{4}+3+\frac{x}{2}-\frac{1}{4}$