Ecuaciones de primer grado

Igualdad.

Es la expresión que resulta de unir con el signo de igual ( = ) dos cantidades de igual valor que pueden o no contener cantidades desconocidas representadas por letras.

\large 5\, .\, 4=20\: \: \: ; \: \: \: (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}

Ecuaciones de primer grado es toda una igualdad en la que entran una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas.

En toda igualdad se llama primer miembro la parte que va delante del signo igual, y segundo miembro la parte que va detrás de dicho signo.

\large 3\, .\, 8=8\, .\, 3\: \: \: ;\: \: \: a^{2}+bx=a^{2}+bx

Ejemplos de ecuaciones de primer grado:

\large 3x+3=15\: \: \: ;\: \: \: x^{2}-7x=-12

Las ecuaciones solo se verifican para uno o varios valores determinados de la incógnita. Tales valores se llaman raíces de la ecuación.

Clasificación de las ecuaciones de primer grado.

Ecuación determinada es la que tiene un número limitado de raíces, es indeterminada en caso contrario; literal es aquélla en que las cantidades conocidas están representadas por letras, y numérica es en la que las cantidades conocidas están representadas por números.

\large ax+b=cx+dliteral y determinada
\large 5x-4=3x+4numérica y determinada
\large 4x-5y=5numérica e indeterminada

Grado de una ecuación.

El grado de una ecuación es el grado del término que lo tenga mayor con relación a las incógnitas.

\large 7x+4=3x+10es de primer grado
\large x^{2}-5x+10=0
son ambas de segundo grado
\large 3xy-5x-8y=0

Transformaciones en una ecuación de primer grado.

Se basan en que si con cantidades iguales se hacen operaciones iguales, los resultados son iguales.

Principio primero.- El valor de las raíces de una ecuación no varía añadiendo o quitando una misma cantidad a los dos miembros de la ecuación.
Por tanto, en una ecuación se puede pasar uno o más términos de un miembro a otro, con signo contrario, pues es lo mismo que si a los dos miembros de la ecuación se les suma, o resta una misma cantidad.

Sea la ecuación:

\large 16x-2=9x+33se cumple para  x = 5

Si multiplicamos ambos miembros por 4 tendremos:

\large 64x-8=36x+132donde  x = 5

Toda ecuación que tenga términos fraccionarios se puede transformar en otra cuyos términos sean todos enteros, lo cual se hace con la siguiente regla.

Regla.- Para quitar los denominadores de una ecuación se reducen los términos fraccionarios a común denominador y luego se multiplican todos los términos , enteros o fraccionarios, por dicho denominador común.

Sea la ecuación:

\large \frac{x}{3}-\frac{1}{6}+x=\frac{x}{4}+3+\frac{x}{2}-\frac{1}{4}

Reduciendo las fracciones al m.c.m tendremos:

\large \frac{4x}{12}-\frac{2}{12}+x=\frac{3x}{12}+3+\frac{6x}{12}-\frac{3}{12}

Y multiplicando todos los términos por 12 tendremos:

\large 4x-2+12=3x+36+6x-3

Si se multiplican o dividen los dos términos de una ecuación por una cantidad dependiente de la incógnita, se pueden introducir o suprimir raíces.

Sea la ecuación:

\large 3x-45=0\: \; \; \; \; \; (1)

a) Multiplicando sus dos términos por (x-4) se obtiene la nueva ecuación.

\large (3x-45)(x-4)=0\; \; \; \; \; (2)

La ecuación (1) no tiene más raíz que: x=15

La ecuación (2) tiene dos raíces: x=15 y x=4

b) Si a la ecuación (2), que tiene dos raíces, le dividimos sus dos miembros por (x-4) nos da la ecuación (1) que no tiene más que una raíz. Se ha perdido una raíz

Resolver una ecuación es hallar el valor de la incógnita que satisfaga dicha ecuación.

Regla.- Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita se procede del siguiente modo:

1.º Se quitan los denominadores.
2.º Se efectúan las operaciones indicadas en ambos miembros si la incógnita se halla dentro de algún paréntesis.
3º. Se pasan a un miembro todas las cantidades conocidas y al otro las que tengan la incógnita.
4.º Se reducen los términos semejantes reduciendo la ecuación a Ax=B
5.º Se dividen ambos miembros por el coeficiente de la incógnita.

Ejemplo. I Resolver la ecuación:

\large \frac{x}{3}-\frac{1}{6}+x=\frac{x}{4}+3+\frac{x}{2}-\frac{1}{4}

Aplicando la regla anterior tenemos sucesivamente:

\large 4x-2+12x=3x+36+6x-3
\large 4x+12x-3x-6x=36-3+2
\large 7x=35
\large x=\frac{35}{7}=5

Ejemplo. II Resolver la ecuación:

\large \frac{x+1}{2}+\frac{x+2}{3}=16-\frac{x+3}{4}

El m.c.m de los denominadores es 12. Multiplicamos por 12 los dos miembros para quitar denominadores.

\large 6(x+1)+4(x+2)=16\, .\, 12-3(x+3)
\large 6x+6+4x+8=192-3x-9
\large 6x+4x+3x=192-9-8-6
\large 13x=169
\large x=\frac{169}{13}=13

Practique con algunos ejercicios…

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