Ecuaciones de segundo grado

Las ecuaciones de segundo grado son aquellas que, después de simplificar y reducir términos, tiene como mayor exponente de la incógnita el número 2.

La forma general de las ecuaciones de segundo grado es:

$\large ax^{2}+bx+c=0$

En la que a, b, y c son cantidades conocidas, numéricas o literales, positivas o negativas, monomios o polinomios.

Ejemplo:

$6 x^{2} - 15 = x^{2} + 2 x$

Después de transponer términos y reducir se convierte en:

$5 x^{2} - 2 x - 15 = 0$

Tiene la forma:

$\large ax^{2}+bx+c=0$

Tipos de ecuaciones de segundo grado.

Ecuación de segundo grado completa.

La ecuación de 2.º grado es completa cuando ninguno de los coeficientes a, b, c es nulo. Aparecen, por tanto, los tres términos.

$\large ax^{2}+bx+c=0$

Ejemplo:

$\large x^{2}+5x-6=0$

Resolver la ecuación de segundo grado completa.

$\large ax^{2}+bx+c=0$

Tras completar cuadrados se obtiene la fórmula general:

$\large x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Despejando x:

$\large x=\frac{-b+m}{2a}\: \: \: ;\: \: \: x'=\frac{-b-m}{2a}$

Podemos decir: Las raíces de la ecuación completa de 2.º grado son iguales a «menos b, más menos la raíz cuadrada de b al cuadrado menos cuatro a por c dividido todo de dos a».

Ejemplo I.

$\large 3x^{2}-15x+18=0$

$\large x=\frac{15\pm \sqrt{15^{2}-4.3(+18)}}{2.3}=\frac{15\pm \sqrt{9}}{6}$

$\large \frac{15\pm \sqrt{9}}{6}= \left\{\begin{matrix} x=\frac{15+3}{6}=3\\ \\ x'=\frac{15-3}{6}=2\, \, \end{matrix}\right.$

Solución: x = 3 y x’ = 2

Ejemplo II.

$\large 4x^{2}+12x-72=0$

$\large x=\frac{-12\pm \sqrt{12^{2}-4.4(-72)}}{2.4}=\frac{-12\pm \sqrt{1296}}{8}$

$\large \frac{-12\pm \sqrt{1296}}{8}=\left\{\begin{matrix} x\: =\: \frac{-12+36}{8}=\: \: 3\\ \\ x'=\frac{-12-36}{8}=-6\end{matrix}\right.$

Solución: x = 3 ; x’ = -6

Ecuación de segundo grado incompleta.

Una ecuación es incompleta cuando falta alguno de los términos $b$ o $c$ . Se presentan en dos formas principales:

Ejemplos de ecuaciones incompletas:

$\large ax^{2}+bx=0\: \: \leftrightarrow \: \: 3x^{2}+6x=0$

$\large ax^{2}+\: \: c=0\: \: \leftrightarrow \: \: 2x^{2}-\: \: 8=0$

Resolver la ecuación de segundo grado incompleta.

Resolver una ecuación de 2º grado es hallar los números positivos, negativos o nulos que verifican la ecuación. Estos números se llaman raíces de la ecuación.

Sea la ecuación incompleta:

$\large ax^{2}+c=0$

Pasamos c al segundo miembro y dividimos por a:

$\large ax^{2}=-c\: \: \: ;\: \: \: x^{2}=-\, \frac{c}{a}\: \: \: ;\: \: \: x=\pm \sqrt{-\, \frac{c}{a}}$

Si -c/a es positivo, la ecuación tiene dos raíces de igual valor absoluto y signos contrarios.
Si -c/a es negativo, la ecuación no tiene solución real.

Ejemplo.

$\large \frac{2x}{3}\, .\, \frac{x}{4}=-6$

$\large 2x^{2}=-72\: \: \: ;\: \: \: x^{2}=-36$

$\large x=\pm \, \sqrt{-36}$

La ecuación no tiene solución.

Sea la ecuación incompleta:

$\large ax^{2}+bx=0$

Sacamos factor común:

$\large x\, (ax+b)=0$

Ahora bien, para que un producto de como resultado cero, basta con que uno de los factores lo sea. La ecuación se verificará por tanto:

1.º para x = 0
2.º para ax + b = 0, lo que da x = – b/a

La ecuación tiene dos raíces, una es cero y la otra es el coeficiente de x con signo contrario dividido por el coeficiente de x².

Ejemplo.

$\large 3x^{2}+6x=0\: \leftrightarrow \: x\, (3x+6=0)$

Igualando a cero cada factor resulta:

x = 0 x’ = – 2

Discusión de la ecuación de segundo grado.

$\large x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Podemos distinguir tres casos:

I. b² – 4ac > 0. La ecuación tiene dos raíces desiguales. Pues al ser b² – 4ac positivo tiene raíz cuadrada, que llamaremos m.

$\large x=\frac{-b+m}{2a}\: \: \: ;\: \: \: x'=\frac{-b-m}{2a}$

Ejemplo 1:

$\large 2x^{2}-14x-16=0$

$\large b^{2}-4ac=14^{2}-4.2.(-16)=324>0$

$\large x=\frac{+14\pm \sqrt{324}}{4}=\left\{\begin{matrix} x\: =\: \frac{14+18}{4}\: =\: 8\\ \\ x'=\frac{14-18}{4}=-1\end{matrix}\right.$

II. b² – 4ac = 0. La ecuación tiene dos raíces iguales. Como la raíz cuadrada de b² – 4ac es cero, tendremos:

$\large x=\frac{-c+0}{2a}=-\frac{b}{2a}\: \: ;\: \: x'=\frac{-b-2}{2a}=-\frac{b}{2a}$

En realidad no hay más que un valor que resuelve la ecuación por lo que también se le da el nombre de raíz doble.

Ejemplo: Resolver:

$\large 9x^{2}-6x+1=0$

$\large b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4.9.1=0$

$\large x=\frac{6\pm \sqrt{0}}{18}=\frac{6\pm 0}{18}=\frac{1}{3}$

III. b² – 4ac < 0. La ecuación tiene dos raíces imaginarias. La cantidad subradical es negativa, por tanto, cantidad imaginaria, no hay ningún valor positivo o negativo que satisfaga la ecuación.

Ejemplo: Resolver:

$\large 2x^{2}+4x+10=0$

$\large b^{2}-4ac=4^{2}-4.2.10=64$

$\large x=\frac{-4\pm \sqrt{-64}}{4}=\left\{\begin{matrix} x=\frac{-4+\sqrt{-64}}{4}\\ \\ x'=\frac{-4-\sqrt{-64}}{4}\end{matrix}\right.$

Observaciones.- 1ª El valor b² – 4ac se llama discriminante porque de él depende la naturaleza de las raíces.
2ª Cuando a y c son de signos contrarios tendremos siempre dos raíces reales y desiguales porque – 4ac es positivo y por tanto: b² – 4ac > 0.

Casos particulares

I. Cuando el coeficiente de x es par, en la formula x²+bx+x=0 haciendo b = 2b’ y sustituyendo en la formula que nos da el valor de las dos raíces nos queda:

$\large x=\frac{-2b'\pm \sqrt{4b'^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-2b'\pm \sqrt{4(b'^{2}-ac)}}{2a}=$

$\large x=\frac{-b'\pm \sqrt{b'^{2}-ac}}{a}$

II. Si además el coeficiente de x² = 1 la formula se simplifica aún más:

$\large x=-b'\pm \sqrt{b'^{2}-c}$

que se lee: x es igual a la mitad del coeficiente de x con signo contrario más o menos la raíz cuadrada de dicha mitad menos el coeficiente de x por el término independiente.

Ejemplo I. Resolver:

$\large 16x^{2}-16+3=0$

$\large x=\frac{8\pm \sqrt{8^{2}-16.3}}{16}=\left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{8+4}{16}=\frac{3}{4}\\ \\ x_{2}=\frac{8-4}{16}=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.$

Solución: x = 3/4 y x’= 1/4

Recuerda

• Una ecuación de segundo grado tiene como mayor exponente el 2.
• Puede ser completa o incompleta según falten términos.
• La fórmula general permite resolver cualquier ecuación completa.
• El discriminante indica si hay dos soluciones, una o ninguna real.
• Sacar factor común es clave en las ecuaciones incompletas.

Practique con algunos ejercicios…

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