Ecuaciones de 2º grado

Ecuaciones de 2º grado.

Definición.- Ecuaciones de 2º grado son aquella que, después de hechas todas las reducciones, el mayor exponente de la incógnita es 2.

La forma general de las ecuaciones de 2º grado es:

\large ax^{2}+bx+c=0

En la que a, b, y c son cantidades conocidas, numéricas o literales, positivas o negativas, monomios o polinomios.

Ejemplos: Sean las ecuaciones:

\large ax^{2}+bx+c=0
\large x^{3}+mx^{2}+nx=12+3x^{2}+x^{3}

Después de transponer términos y reducir se convierte en:

\large 5x^{2}-2x-15=0
\large x^{2}(m-3)+nx-12=0

ambas tienen la forma:

\large ax^{2}+bx+c=0

en la ecuación (1): a = 5; b = -2; c = -15
en la ecuación (2): a = m-3; b = +n; c = -12

Ecuación de segundo grado completa.

La ecuación de 2.º grado es completa cuando ninguno de los coeficientes a, b, c es nulo. Comprende por tanto un término de la segunda potencia de la incógnita, otro con la primera y otro independiente de la incógnita.

Ejemplo:

\large x^{2}+5x-6=0

Ecuación de segundo grado incompleta.

La ecuación es incompleta cuando los términos b o c son nulos. Toma una de estas formas:

Ejemplos de ecuaciones incompletas:

\large ax^{2}+bx=0\: \: \leftrightarrow \: \: 3x^{2}+6x=0
\large ax^{2}+\: \: c=0\: \: \leftrightarrow \: \: 2x^{2}-\: \: 8=0

Resolver la ecuación de segundo grado.

Resolver una ecuación de 2º grado es hallar los números positivosn negativos o nulos que verifican la ecuación. Estos números se llaman raices de la ecuación.

Resolución de la ecuación incompleta

Sea la ecuación incompleta:

\large ax^{2}+c=0

Pasamos c al segundo miembro y dividimos por a:

\large ax^{2}=-c\: \: \: ;\: \: \: x^{2}=-\, \frac{c}{a}\: \: \: ;\: \: \: x=\pm \sqrt{-\, \frac{c}{a}}

Si -c/a es positivo, la ecuación tiene dos raices de igual valor absoluto y signos contrarios.
Si -c/a es negativo, la ecuación no tiene solución real.

Ejemplo I: Resuélvase:

\large 2x^{2}-8=0
\large 2x^{2}=8\: \: \: ;\: \: \: ;x^{2}=4\: \: \: ;\: \: \: x=\pm \sqrt{4}=\pm 2

Las raíces son: x =  + 2    y    y =  – 2

Ejemplo II: Resuélvase:

\large \frac{2x}{3}\, .\, \frac{x}{4}=-6
\large 2x^{2}=-72\: \: \: ;\: \: \: x^{2}=-36
\large x=\pm \, \sqrt{-36}

La ecuación no tiene solución.

Ecuación incompleta:

\large ax^{2}+bx=0

Sacamos factor común:

\large x\, (ax+b)=0

Ahora bien, para que un producto de como resultado cero, basta con que uno de los factores lo sea. La ecuación se verificará por tanto:

1.º para x  =  0
2.º para ax + b  =  0, lo que da x  =  – b/a

La ecuación tiene dos raíces, una es cero y la otra es el coeficiente de   x   con signo contrario dividido por el coeficiente de   x².

Ejemplo: Resuélvase:

\large 3x^{2}+6x=0\: \leftrightarrow \: x\, (3x+6=0)

Igualando a cero cada factor resulta:

x  =  0     x’  =  – 2

Resolución de la ecuación completa

Dijimos antes que la ecuación completa tiene la forma :

\large ax^{2}+bx+c=0

Pasemos    c   al segundo miembro y multipliquemos los dos miembros por   4a.

\large 4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac

Añadamos ahora a ambos miembros   b²

\large 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=b^{2}-4ac

El 1.er miembro resulta ser el cuadrado de (2ax+b) por lo tanto:

\large (2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac

Extraemos la raiz cuadrada a ambos miembros:

\large 2ax+b=\pm \sqrt{b^{2}-4ac}

Pasamos  b  al segundo miembro:

\large 2ax=-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}

Despejando  x  nos queda:

\large x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

Separando las raices tenemos:

\large x'=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\: \: ;\: \: x''=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

Por tanto: Las raices de la ecuación completa de 2º grado son iguales al coeficiente de x con signo contrario, más o menos la raiz cuadrada de dicho coeficiente menos cuatro veces el coeficiente de x² por el término independiente, partido todo ello por el doble del coeficiente de a.

Podemos decir: Las raíces de la ecuación completa de 2.º grado son iguales a «menos b, más menos la raíz cuadrada de b al cuadrado menos cuatro a c dividido todo de dos a».

Ejemplo I.   Resolver:

\large 3x^{2}-15x+18=0
\large x=\frac{15\pm \sqrt{15^{2}-4.3(+18)}}{2.3}=\frac{15\pm \sqrt{9}}{6}
\large \frac{15\pm \sqrt{9}}{6}= \left\{\begin{matrix} x=\frac{15+3}{6}=3\\ \\ x'=\frac{15-3}{6}=2\, \, \end{matrix}\right.

Solución: x  =  3     y     x’ =  6

Ejemplo II. Resolver:

\large 4x^{2}+12x-72=0
\large x=\frac{-12\pm \sqrt{12^{2}-4.4(-72)}}{2.4}=\frac{-12\pm \sqrt{1296}}{8}
\large \frac{-12\pm \sqrt{1296}}{8}=\left\{\begin{matrix} x\: =\: \frac{-12+36}{8}=\: \: 3\\ \\ x'=\frac{-12-36}{8}=-6\end{matrix}\right.

Solución:  x  =  3     y     x’ =  – 6

Discusión.- En la fórmula que nos da las raíces:

\large x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

podemos distinguir tres caso:

I.   b² – 4ac > 0.   La ecuación tiene dos raíces desiguales. Pues al ser   b² – 4ac   positivo tiene raíz cuadrada, que llamaremos  m.

\large x=\frac{-b+m}{2a}\: \: \: ;\: \: \: x'=\frac{-b-m}{2a}

Ejemplo: Resolver:

\large 2x^{2}-14x-16=0
\large b^{2}-4ac=14^{2}-4.2.(-16)=324><noscript><img class=
\large x=\frac{+14\pm \sqrt{324}}{4}=\left\{\begin{matrix} x\: =\: \frac{14+18}{4}\: =\: 8\\ \\ x'=\frac{14-18}{4}=-1\end{matrix}\right.

II.   b² – 4ac = 0.   La ecuación tiene dos raíces iguales. Como la raíz cuadrada de   b² – 4ac   es cero, tendremos:

\large x=\frac{-c+0}{2a}=-\frac{b}{2a}\: \: ;\: \: x'=\frac{-b-2}{2a}=-\frac{b}{2a}

En realidad no hay más que un valor que resuelve la ecuación por lo que también se le da el nombre de raíz doble.

Ejemplo: Resolver:

\large 9x^{2}-6x+1=0
\large b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4.9.1=0
\large x=\frac{6\pm \sqrt{0}}{18}=\frac{6\pm 0}{18}=\frac{1}{3}

III.   b² – 4ac < 0.   La ecuación tiene dos raíces imaginarias. La cantidad subradical es negativa, por tanto, cantidad imaginaria, no hay ningún valor positivo o negativo que satisfaga la ecuación.

Ejemplo: Resolver:

\large 2x^{2}+4x+10=0
\large b^{2}-4ac=4^{2}-4.2.10=64
\large x=\frac{-4\pm \sqrt{-64}}{4}=\left\{\begin{matrix} x=\frac{-4+\sqrt{-64}}{4}\\ \\ x'=\frac{-4-\sqrt{-64}}{4}\end{matrix}\right.

Observaciones.-   1ª El valor   b² – 4ac   se llama discriminante o realizante porque de él depende la naturaleza de las raíces.
2ª Cuando   a   y   c   son de signos contrarios tendremos siempre dos raíces reales y desiguales porque   – 4ac   es positivo y por tanto:   b² – 4ac > 0.

Casos particulares

I.   Cuando el coeficiente de   x   es par, en la formula   x²+bx+x=0   haciendo   b = 2b’   y sustituyendo en la formula que nos da el valor de las dos raíces nos queda:

\large x=\frac{-2b'\pm \sqrt{4b'^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-2b'\pm \sqrt{4(b'^{2}-ac)}}{2a}=
\large x=\frac{-b'\pm \sqrt{b'^{2}-ac}}{a}

II.   Si además el coeficiente de  x² = 1  la formula se simplifica aún más:

\large x=-b'\pm \sqrt{b'^{2}-c}

que se lee: x es igual a la mitad del coeficiente de x con signo contrario más o menos la raíz cuadrada de dicha mitad menos el coeficiente de x por el término independiente.

Ejemplo I. Resolver:

\large 16x^{2}-16+3=0
\large x=\frac{8\pm \sqrt{8^{2}-16.3}}{16}=\left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{8+4}{16}=\frac{3}{4}\\ \\ x_{2}=\frac{8-4}{16}=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.

Solución:   x = 3/4     y     x’= 1/4

Ejemplo II. Resolver:

\large x^{2}-14+13=0
\large x=7\pm \sqrt{7^{2}-13}=\left\{\begin{matrix} x_{1}=7+6=13\\ \\ x_{2}=7-6=1\: \: \end{matrix}\right.

Solución:  x = 13     y     x’= 1

Practique con algunos ejercicios…

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