Ecuaciones de 2º grado
Definición.- Ecuación de 2º grado es aquella que, después de hechas todas las reducciones, el mayor exponente de la incógnita es 2.
Su forma general es:
En la que a, b, y c son cantidades conocidas, numéricas o literales, positivas o negativas, monomios o polinomios.
Ejemplos: Sean las ecuaciones:
Después de transponer términos y reducir se convierte en:
(1) | ||
(2) |
ambas tienen la forma:
ecuación (1): a = 5; b = -2; c = -15
ecuación (2): a = m-3; b = +n; c = -12
Ecuación completa.- La ecuación de 2º grado es completa cuando ninguno de los coeficientes a, b, c es nulo. Comprende por tanto un término de la segunda potencia de la incógnita, otro con la primera y otro independiente de la incógnita.
Ejemplo: |
Ecuación incompleta.- La ecuación es incompleta cuando los términos b o c son nulos. Toma una de estas formas:
Ejemplo: | ||||
Ejemplo: |
Resolver una ecuación de 2º grado es hallar los números positivosn negativos o nulos que verifican la ecuación. Estos números se llaman raices de la ecuación.
Resolución de la ecuación incompleta
Sea la ecuación incompleta:
Pasamos c al segundo miembro y dividimos por a:
de donde: |
Si -c/a es positivo, la ecuación tiene dos raices de igual valor absoluto y signos contrarios.
Si -c/a es negativo, la ecuación no tiene solución real.
Ejemplo I: Resuélvase:
Las raices so: x = +2 y y = -2
Ejemplo II: Resuélvase:
La ecuación no tiene solución.
Sea la ecuación incompleta:
Sacamos factor común:
Ahora bien, para que un producto de como resultado cero, basta con que uno de los factores lo sea. La ecuación se verificará por tanto:
1.º para x = 0
2.º para ax+b = 0, lo que da x = -b/a
La ecuación tiene dos raices, una es cero y la otra es el coeficiente de x con signo contrario dividido por el coeficiente de x².
Ejemplo: Resuélvase:
Igualando a cero cada factor resulta:
x = 0 x’ = -2
Resolución de la ecuación completa
Dijimos antes que la ecuación completa tiene la forma :
Pasemos c al segundo miembro y multipliquemos los dos miembros por 4a.
Añadamos ahora a ambos miembros b²
El 1.er miembro resulta ser el cuadrado de (2ax+b) por lo tanto:
Extraemos la raiz cuadrada a ambos miembros:
Pasamos b al segundo miembro:
Despejando x nos queda:
Separando las raices tenemos:
Por tanto: Las raices de la ecuación completa de 2º grado son iguales al coeficiente de x con signo contrario, más o menos la raiz cuadrada de dicho coeficiente menos cuatro veces el coeficiente de x² por el término independiente, partido todo ello por el doble del coeficiente de a.
Podemos decir: Las raices de la ecuación completa de 2º grado son iguales a “menos b, mas menos la raiz cuadrada de b al cuadrado menos cuatro a c dividido todo de dos a”.
Ejemplo I. Resolver:
Solución: x = 3 y x’= 6
Ejemplo II. Resolver:
Solución: x = 3 y x’= -6
Discución.- En la fórmula que nos da las raices:
podemos distingir tres caso:
I. b² – 4ac > 0. La ecuacion tiene dos raices desiguales. Pues al ser b² – 4ac positivo tiene raiz cuadrada, que llamaremos m.
Ejemplo: Resolver:
II. b² – 4ac = 0. La ecuación tiene dos raices iguales. Como la raiz cuadrada de b² – 4ac es cero, tendremos:
En realidad no hay más que unvalor que resuelve la ecuación por lo que también se le da el nombre de raiz doble.
Ejemplo: Resolver:
III. b² – 4ac < 0. La ecuación tiene dos raices imaginarias. La cantidad subradical es negativa, por tanto, cantidad imaginaria, no hay ningún valor positivo o negativo que satisfaga la ecuación.
Ejemplo: Resolver:
Observaciones.- 1ª El valor b² – 4ac se llama discriminante o realizante porque de él depende la naturaleza de las raices.
2ª Cuando a y c son de signos contrarios tendremos siempre dos raices reales y desiguales porque – 4ac es positivo y por tanto: b² – 4ac > 0.
Casos particulares
I. Cuando el coeficiente de x es par, en la formula x²+bx+x=0 haciendo b = 2b’ y sustituyendo en la formula que nos da el valor de las dos raices nos queda:
II. Si además el coeficiente de x² = 1 la formula se simplifica aún más:
que se lee: x es igual a la mitad del coeficiente de x con signo contrario más o menos la raiz cuadrada de dicha mitad menos el coeficiente de x por el término independiente.
Ejemplo I. Resolver:
Solución: x = 3/4 y x’= 1/4
Ejemplo II. Resolver:
Solución: x = 13 y x’= 1