Ecuaciones de 2º grado

Definición.- Ecuación de 2º grado es aquella que, después de hechas todas las reducciones, el mayor exponente de la incógnita es 2.

Su forma general es:

$\bg_black ax^{2}+bx+c=0$

En la que a, b, y c son cantidades conocidas, numéricas o literales, positivas o negativas, monomios o polinomios.

Ejemplos: Sean las ecuaciones:

	$6x^{2}-15=x^{2}-2x$
	$x^{3}+mx^{2}+nx=12+3x^{2}+x^{\textrm{3}}$

Después de transponer términos y reducir se convierte en:

	$5x^{2}-2x-15=\mathrm{0}$	(1)
	$(m-3)x^{2}+nx-12=\mathrm{0}$	(2)

ambas tienen la forma:

	$\bg_black ax^{2}+bx+c=0$

ecuación (1): a = 5; b = -2; c = -15
ecuación (2): a = m-3; b = +n; c = -12

Ecuación completa.- La ecuación de 2º grado es completa cuando ninguno de los coeficientes a, b, c es nulo. Comprende por tanto un término de la segunda potencia de la incógnita, otro con la primera y otro independiente de la incógnita.

Ejemplo:

$x^{2}+5x-6=\textrm{0}$

Ecuación incompleta.- La ecuación es incompleta cuando los términos b o c son nulos. Toma una de estas formas:

$ax^{2}+bx=\mathrm{0}$		Ejemplo:		$3x^{2}+6x=0$
$ax^{2}+c=0$		Ejemplo:		$2x^{2}-8=0$

Resolver una ecuación de 2º grado es hallar los números positivosn negativos o nulos que verifican la ecuación. Estos números se llaman raices de la ecuación.

Resolución de la ecuación incompleta

Sea la ecuación incompleta:

$ax^{2}+c=0$

Pasamos c al segundo miembro y dividimos por a:

$ax^{2}=-c\; \; \; \; \; ;\; \; \; \; \; x^{2}=-\frac{c}{a}$

de donde:

$x=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$

Si -c/a es positivo, la ecuación tiene dos raices de igual valor absoluto y signos contrarios.
Si -c/a es negativo, la ecuación no tiene solución real.

Ejemplo I: Resuélvase:

$2x^{2}-8=0$

$2x^{2}=8\: \: \: ;\: \: \: x^{2}=4\: \: \: ;\: \: \: x=\pm \sqrt{4}=\pm 2$

Las raices so: x = +2 y y = -2

Ejemplo II: Resuélvase:

$\frac{2x}{2}\: .\: \frac{x}{4}=-6$

$2x^{2}=-72\; \; \; \; \; ;\; \; \; \; \; x^{2}=-36$

$x=\pm \sqrt{-36}$

La ecuación no tiene solución.

Sea la ecuación incompleta:

$ax^{2}+bx= 0$

Sacamos factor común:

$x(ax+b)=0$

Ahora bien, para que un producto de como resultado cero, basta con que uno de los factores lo sea. La ecuación se verificará por tanto:

1.º para x = 0
2.º para ax+b = 0, lo que da x = -b/a

La ecuación tiene dos raices, una es cero y la otra es el coeficiente de x con signo contrario dividido por el coeficiente de x².

Ejemplo: Resuélvase:

$3x^{2}+6x=0$

$x(3x+6)=0$

Igualando a cero cada factor resulta:

x = 0 x’ = -2

Resolución de la ecuación completa

Dijimos antes que la ecuación completa tiene la forma :

$\bg_black ax^{2}+bx+c=0$

Pasemos c al segundo miembro y multipliquemos los dos miembros por 4a.

$4a^{2}x^{2}+4abx=-4acc$

Añadamos ahora a ambos miembros b²

$4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=b^{2}-4ac$

El 1.^er miembro resulta ser el cuadrado de (2ax+b) por lo tanto:

$\bg_black \left ( 2ax+b \right )^{2}=b^{2}- 4ac$

Extraemos la raiz cuadrada a ambos miembros:

$2ax+b=\pm \sqrt{b^{2}-4ac}$

Pasamos b al segundo miembro:

$2ax=-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}$

Despejando x nos queda:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Separando las raices tenemos:

$x=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$x'=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Por tanto: Las raices de la ecuación completa de 2º grado son iguales al coeficiente de x con signo contrario, más o menos la raiz cuadrada de dicho coeficiente menos cuatro veces el coeficiente de x² por el término independiente, partido todo ello por el doble del coeficiente de a.

Podemos decir: Las raices de la ecuación completa de 2º grado son iguales a “menos b, mas menos la raiz cuadrada de b al cuadrado menos cuatro a c dividido todo de dos a”.

Ejemplo I. Resolver:

$3x^{2}-15x+18=0$

$x=\frac{15\pm \sqrt{15^{2}-4.3(+18)}}{2.3}=$

Solución: x = 3 y x’= 6

Ejemplo II. Resolver:

$4x^{2}+12x-72=0$

$x=\frac{-12\pm \sqrt{12^{2}-4.4(-72)}}{2.4}=$

Solución: x = 3 y x’= -6

Discución.- En la fórmula que nos da las raices:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

podemos distingir tres caso:

I. b² – 4ac > 0. La ecuacion tiene dos raices desiguales. Pues al ser b² – 4ac positivo tiene raiz cuadrada, que llamaremos m.

$x=\frac{-b+m}{2a}$

$x'=\frac{-b-m}{2a}$

Ejemplo: Resolver:

$2x^{2}-14x-16=0$

$b^{2}-4ac=14^{2}-14x-16=0$

II. b² – 4ac = 0. La ecuación tiene dos raices iguales. Como la raiz cuadrada de b² – 4ac es cero, tendremos:

$x=\frac{-b+0}{2a}=-\frac{b}{2a}$

$x'=\frac{-b-0}{2a}=-\frac{b}{2a}$

En realidad no hay más que unvalor que resuelve la ecuación por lo que también se le da el nombre de raiz doble.

Ejemplo: Resolver:

$9x^{2}-6x+1=0$

$b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4.9.1=0$

$x=\frac{6\pm \sqrt{0}}{18}=\frac{6\pm 0}{18}=\frac{1}{3}$

III. b² – 4ac < 0. La ecuación tiene dos raices imaginarias. La cantidad subradical es negativa, por tanto, cantidad imaginaria, no hay ningún valor positivo o negativo que satisfaga la ecuación.

Ejemplo: Resolver:

$\bg_black 2x^{2}+4x+10=0$

Observaciones.- 1ª El valor b² – 4ac se llama discriminante o realizante porque de él depende la naturaleza de las raices.
2ª Cuando a y c son de signos contrarios tendremos siempre dos raices reales y desiguales porque – 4ac es positivo y por tanto: b² – 4ac > 0.

Casos particulares

I. Cuando el coeficiente de x es par, en la formula x²+bx+x=0 haciendo b = 2b’ y sustituyendo en la formula que nos da el valor de las dos raices nos queda:

$x=\frac{-2b'\pm \sqrt{4b'^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-2b'\pm \sqrt{4(b'^{2}-ac)}}{2a}=$

$=\frac{2b'\pm 2\sqrt{b'^{2}-ac}}{2a}=$

$x=\frac{-b'\pm \sqrt{b'^{2}-ac}}{a}$

II. Si además el coeficiente de x² = 1 la formula se simplifica aún más:

$x=-b'\pm \sqrt{b'^{2}-c}$

que se lee: x es igual a la mitad del coeficiente de x con signo contrario más o menos la raiz cuadrada de dicha mitad menos el coeficiente de x por el término independiente.

Ejemplo I. Resolver:

$16x^{2}-16x+3=0$

Solución: x = 3/4 y x’= 1/4

Ejemplo II. Resolver:

$x^{2}-14x+13=0$

$x=7\pm \sqrt{7^{2}-13}= \left\{\begin{matrix} x=7+6=13\\ \\ x'=7-6=\; \; 1 \end{matrix}\right.$

Solución: x = 13 y x’= 1