Ecuaciones de 2º grado

Definición.- Ecuación de 2º grado es aquella que, después de hechas todas las reducciones, el mayor exponente de la incógnita es 2.

Su forma general es:

  \bg_black ax^{2}+bx+c=0  

En la que a, b, y c son cantidades conocidas, numéricas o literales, positivas o negativas, monomios o polinomios.

Ejemplos: Sean las ecuaciones:

  6x^{2}-15=x^{2}-2x  
  x^{3}+mx^{2}+nx=12+3x^{2}+x^{\textrm{3}}  

Después de transponer términos y reducir se convierte en:

  5x^{2}-2x-15=\mathrm{0}      (1)
  (m-3)x^{2}+nx-12=\mathrm{0}      (2)

ambas tienen la forma:

  \bg_black ax^{2}+bx+c=0  
     

ecuación (1): a = 5; b = -2; c = -15
ecuación (2): a = m-3; b = +n; c = -12

Ecuación completa.- La ecuación de 2º grado es completa cuando ninguno de los coeficientes a, b, c es nulo. Comprende por tanto un término de la segunda potencia de la incógnita, otro con la primera y otro independiente de la incógnita.

Ejemplo: x^{2}+5x-6=\textrm{0}  

Ecuación incompleta.- La ecuación es incompleta cuando los términos b o c son nulos. Toma una de estas formas:

ax^{2}+bx=\mathrm{0}   Ejemplo:   3x^{2}+6x=0
ax^{2}+c=0   Ejemplo:   2x^{2}-8=0

Resolver una ecuación de 2º grado es hallar los números positivosn negativos o nulos que verifican la ecuación. Estos números se llaman raices de la ecuación.

Resolución de la ecuación incompleta

Sea la ecuación incompleta:

  ax^{2}+c=0  

Pasamos c al segundo miembro y dividimos por a:

  ax^{2}=-c\; \; \; \; \; ;\; \; \; \; \; x^{2}=-\frac{c}{a}  
de donde: x=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}  

Si -c/a es positivo, la ecuación tiene dos raices de igual valor absoluto y signos contrarios.
Si -c/a es negativo, la ecuación no tiene solución real.

Ejemplo I: Resuélvase:

  2x^{2}-8=0  
  2x^{2}=8\: \: \: ;\: \: \: x^{2}=4\: \: \: ;\: \: \: x=\pm \sqrt{4}=\pm 2  

Las raices so: x = +2 y y = -2

Ejemplo II: Resuélvase:

  \frac{2x}{2}\: .\: \frac{x}{4}=-6  
  2x^{2}=-72\; \; \; \; \; ;\; \; \; \; \; x^{2}=-36  
  x=\pm \sqrt{-36}  

La ecuación no tiene solución.

Sea la ecuación incompleta:

  ax^{2}+bx= 0  

Sacamos factor común:

  x(ax+b)=0  

Ahora bien, para que un producto de como resultado cero, basta con que uno de los factores lo sea. La ecuación se verificará por tanto:

1.º para x = 0
2.º para ax+b = 0, lo que da x = -b/a

La ecuación tiene dos raices, una es cero y la otra es el coeficiente de x con signo contrario dividido por el coeficiente de .

Ejemplo: Resuélvase:

  3x^{2}+6x=0  
  x(3x+6)=0  

Igualando a cero cada factor resulta:

x = 0     x’ = -2

Resolución de la ecuación completa

Dijimos antes que la ecuación completa tiene la forma :

  \bg_black ax^{2}+bx+c=0  

Pasemos c al segundo miembro y multipliquemos los dos miembros por 4a.

  4a^{2}x^{2}+4abx=-4acc  

Añadamos ahora a ambos miembros

  4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=b^{2}-4ac  

El 1.er miembro resulta ser el cuadrado de (2ax+b) por lo tanto:

  \bg_black \left ( 2ax+b \right )^{2}=b^{2}- 4ac  

Extraemos la raiz cuadrada a ambos miembros:

  2ax+b=\pm \sqrt{b^{2}-4ac}  

Pasamos b al segundo miembro:

  2ax=-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}  

Despejando x nos queda:

  x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}  

Separando las raices tenemos:

  x=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}  
  x'=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}  

Por tanto: Las raices de la ecuación completa de 2º grado son iguales al coeficiente de x con signo contrario, más o menos la raiz cuadrada de dicho coeficiente menos cuatro veces el coeficiente de por el término independiente, partido todo ello por el doble del coeficiente de a.

Podemos decir: Las raices de la ecuación completa de 2º grado son iguales a “menos b, mas menos la raiz cuadrada de b al cuadrado menos cuatro a c dividido todo de dos a”.

Ejemplo I.   Resolver:

  3x^{2}-15x+18=0  
  x=\frac{15\pm \sqrt{15^{2}-4.3(+18)}}{2.3}=  
   

Solución: x = 3     y     x’= 6

Ejemplo II. Resolver:

  4x^{2}+12x-72=0  
  x=\frac{-12\pm \sqrt{12^{2}-4.4(-72)}}{2.4}=  
   

Solución: x = 3     y     x’= -6

Discución.- En la fórmula que nos da las raices:

  x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}  

podemos distingir tres caso:

I.   – 4ac > 0.   La ecuacion tiene dos raices desiguales. Pues al ser – 4ac positivo tiene raiz cuadrada, que llamaremos m.

  x=\frac{-b+m}{2a}   x'=\frac{-b-m}{2a}  

Ejemplo: Resolver:

  2x^{2}-14x-16=0  
  b^{2}-4ac=14^{2}-14x-16=0  
   

II.   – 4ac = 0.   La ecuación tiene dos raices iguales. Como la raiz cuadrada de – 4ac es cero, tendremos:

  x=\frac{-b+0}{2a}=-\frac{b}{2a}   x'=\frac{-b-0}{2a}=-\frac{b}{2a}  

En realidad no hay más que unvalor que resuelve la ecuación por lo que también se le da el nombre de raiz doble.

Ejemplo: Resolver:

  9x^{2}-6x+1=0  
  b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4.9.1=0  
  x=\frac{6\pm \sqrt{0}}{18}=\frac{6\pm 0}{18}=\frac{1}{3}  

III.   – 4ac < 0.   La ecuación tiene dos raices imaginarias. La cantidad subradical es negativa, por tanto, cantidad imaginaria, no hay ningún valor positivo o negativo que satisfaga la ecuación.

Ejemplo: Resolver:

  \bg_black 2x^{2}+4x+10=0  
   

Observaciones.-   1ª El valor – 4ac se llama discriminante o realizante porque de él depende la naturaleza de las raices.
2ª Cuando a y c son de signos contrarios tendremos siempre dos raices reales y desiguales porque – 4ac es positivo y por tanto: – 4ac > 0.

Casos particulares

I.   Cuando el coeficiente de x es par, en la formula +bx+x=0 haciendo b = 2b’ y sustituyendo en la formula que nos da el valor de las dos raices nos queda:

  x=\frac{-2b'\pm \sqrt{4b'^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-2b'\pm \sqrt{4(b'^{2}-ac)}}{2a}=  
  =\frac{2b'\pm 2\sqrt{b'^{2}-ac}}{2a}=  
  x=\frac{-b'\pm \sqrt{b'^{2}-ac}}{a}  

II.   Si además el coeficiente de = 1 la formula se simplifica aún más:

  x=-b'\pm \sqrt{b'^{2}-c}  

que se lee: x es igual a la mitad del coeficiente de x con signo contrario más o menos la raiz cuadrada de dicha mitad menos el coeficiente de x por el término independiente.

Ejemplo I. Resolver:

  16x^{2}-16x+3=0  
   

Solución: x = 3/4     y     x’= 1/4

Ejemplo II. Resolver:

  x^{2}-14x+13=0  
  x=7\pm \sqrt{7^{2}-13}= \left\{\begin{matrix} x=7+6=13\\ \\ x'=7-6=\; \; 1 \end{matrix}\right.  

Solución: x = 13     y     x’= 1