Radicación de expresiones algebraicas

La radicación de expresiones algebraicas, o extracción de raíces, es la operación que tiene por objeto hallar la base de una potencia cuando se conocen dicha potencia y su exponente.

La base recibe el nombre de raíz, y el exponente el de índice.

$b^{n} = P \Leftrightarrow \sqrt[n]{P} = b$

Dicho de otro modo, la raíz n-ésima de una cantidad es otra cantidad que, elevada a la potencia $n$ , reproduce la primera.

Ejemplos:

$\large \sqrt{9a^{2}b^{4}}=3ab^{2}$

$\large \sqrt[3]{64a^{6}b^{3}}=4a^{2}b$

Raíz de un producto y de un cociente

La raíz n-ma de un producto es igual al producto de las raíces n-ma de cada uno de los factores.

$\large \sqrt[n]{abc}=\sqrt[n]{a}\, .\, \sqrt[n]{b}\, .\, \sqrt[n]{c}$

La raíz n-ma de un cociente es igual a la raíz n-ma del numerador dividida por la raíz n-ma del denominador.

\large \sqrt[m]{\; \frac{a}{b}}=\sqrt[m]{\; \frac{x^{m}}{y^{m}}}=\frac{x}{y}

puesto que:

$\large \left ( \frac{x}{y} \right )^{m}=\frac{x^{m}}{y^{m}}=\frac{a}{b}$

Raíz de una potencia.

Para extraer la raíz de una potencia se divide el exponente por el índice de la raíz.

$\large \sqrt[4]{a^{8}}=a^{8:4}=a^{2}$ $\large \Leftrightarrow$ $\large (a^{2})^{4}=a^{2.4}=a^{8}$

Exponentes fraccionarios.

Toda cantidad con exponente fraccionario representa un radical cuyo índice es el denominador y el numerador es el exponente de la cantidad subradical.

Un exponente fraccionario representa un radical cuyo:

• denominador es el índice,
• numerador es el exponente del radicando.

$\large a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$

si elevamos los dos miembros a la potencia n tendremos:

$\large (a^{\frac{m}{n}})^{n}=a^{\frac{m.n}{n}}=a^{m}$

$\large a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$

$\large (\sqrt[n]{a^{m}})^{n}=a^{m}$

Raíz de un monomio.

Para extraer la raíz n-ésima de un monomio:

Se extrae la raíz del coeficiente.2.
Se dividen los exponentes de las letras entre el índice.3.
El signo del resultado depende del índice:
• si el índice es par, la raíz es $\pm$ ;
• si es impar, conserva el signo del radicando.

Ejemplos:

$\large \sqrt[4]{16a^{8}b^{12}}=\pm 2a^{2}b^{3}$

$\large \sqrt[3]{27a^{6}b^{12}}=3a^{2}b^{4}$

$\large \sqrt[5]{-32a^{15}b^{10}}=-2a^{3}b^{2}$

Si la raíz no es exacta, se extrae la parte posible y se deja el resto bajo el radical:

Ejemplos:

$\large \sqrt[3]{54a^{5}b^{4}}=3ab\sqrt[3]{2a^{2}b}$

$\large \sqrt{27x^{3}y^{2}-45x^{2}y^{3}}=\sqrt{9x^{2}y^{2}}(3x-5y)=$ $\large 3xy\sqrt{3x-5y}$

Introducir y extraer factores del radical.

Para introducir una cantidad que está fuera del radical:

• se eleva dicha cantidad al índice que tiene el radical,
• y se introduce bajo el radical multiplicando.

$\large 4a^{2}c^{3}\sqrt{3ac}=\sqrt{16a^{4}c^{6}.\, 3ac}=$ $\large \sqrt{48a^{5}c^{7}}$

$\large 2a\sqrt[3]{3a^{2}b^{2}}=\sqrt[3]{8a^{3}c^{6}.\, 3a^{2}}=$ $\large \sqrt[3]{24a^{5}c^{6}}$

Para extraer factores, se realiza el proceso inverso.

Raíces de radicando negativo.

Si el radicando es negativo:

• y el índice es impar, la raíz es real y negativa;
• y el índice es par, la raíz es imaginaria.

Así: $\large \sqrt{-a}$ no tiene raíz exacta pues no hay ninguna cantidad que elevada al cuadrado nos de (-a).

Se define la unidad imaginaria.

$\sqrt{-1}$ = i

$\large \sqrt{-a^{2}}=\sqrt{a^{2}.\, (-1)}=\sqrt{a^{2}}\sqrt{-1}=a\sqrt{-1}=ai$

Potencias de $i$

$\large (\sqrt{-1})^{2}=-1\, ,\, \sqrt{a}\, .\, \sqrt{-a^{3}}=-a^{2}$

$\sqrt{-1}$

$\large (\sqrt{-1})^{1}=\sqrt{-1}$

$\large (\sqrt{-1})^{2}=-1$

$\large (\sqrt{-1})^{3}=(\sqrt{-1})^{2}(\sqrt{-1})=-\sqrt{-1}$

$\large (\sqrt{-1})^{4}=[(\sqrt{-1})^{2}]^{2}=(-1)^{2}=1$

Radicales semejantes

Son los que tienen el mismo índice y la misma cantidad subradical.

$\large 5a\sqrt{ab}\, ,\, -3b\sqrt{ab}\, ,\, 4\sqrt{ab}$

Suma y resta de radicales.

Solo pueden sumarse o restarse radicales semejantes:

$5 b^{2} \sqrt{a} - 3 b^{2} \sqrt{a} = 2 b^{2} \sqrt{a}$

Factorizando:

$\large (a\sqrt{x}-b\sqrt{x}-c\sqrt{x})=\sqrt{x}(a-b-c)$

Multiplicación y división de radicales.

Para multiplicar o dividir radicales de mismo índice se multiplican o dividen las cantidades subradicales poniendo el resultado debajo de un radical del mismo índice.

Ejemplos:

$\large \sqrt{2a^{2}}\, .\, \sqrt{3b}=\sqrt{2a^{2}\, .\, 3b}=a\sqrt{6b}$

$\large 3\sqrt[3]{a^{2}}\, .\, (-5\sqrt[3]{ab^{2}})=-15\sqrt[3]{a^{3}b^{2}}=-15a\sqrt[3]{b}$

$\large \frac{a^{2}\sqrt[3]{b^{2}c}}{b\sqrt[3]{a^{2}b^{2}}}=\frac{a^{2}}{b}\sqrt[3]{\frac{b^{2}c}{a^{2}b^{2}}}=$ $\large \frac{a^{2}}{b}\sqrt[3]{\frac{c}{a^{2}}}$

Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número la raíz no varía.

$\large \sqrt[3]{a^{2}}=\sqrt[6]{a^{4}}$

$\large \sqrt[mn]{b^{n}}=\sqrt[m]{b}$

Para reducir dos o más radicales a un índice común se multiplican el índice y el exponente de cada uno por los índice de los demás.

$\large \sqrt[m]{a}\,\,\, \mathrm{y}\, \, \sqrt[n]{b}$

se convierten en

$\large \sqrt[mn]{a^{n}}\: \: ,\: \: \sqrt[mn]{b^{m}}$

Para multiplicar radicales que tienen distinto índice se reducen a común índice y se multiplican después las cantidades subradicales.

Ejemplos:

$\large \sqrt[3]{3a^{2}b}\, .\, \sqrt{ab}=\sqrt[6]{9a^{4}b^{2}}\, .\, \sqrt[6]{a^{3}b^{3}}=$ $\large \sqrt[6]{9a^{7}b5}=a\sqrt[6]{9ab^{5}}$

$\large (c-d)\sqrt[4]{a+b}\, .\, a\sqrt{a-b}=$ $\large (c-d)\sqrt[4]{a+b}\, .\, a\sqrt[4]{(a-b)^{2}}=$ $\large a(c-d)\sqrt[4]{(a+b)(a-b)^{2}}$

Para dividir dos radicales de distinto índice se reducen a común índice y después se dividen las cantidades subradicales.

Ejemplos:

$\large a^{2}b\sqrt[3]{ab^{2}}:5ab\sqrt{bc}=\frac{a^{2}b\sqrt[6]{a^{2}b^{4}}}{5ab\sqrt[6]{b^{3}c^{3}}}=$ $\large \frac{a}{5}\sqrt[6]{\frac{a^{2}b}{c^{3}}}$

$\large \frac{8\sqrt{a+b}}{-2\sqrt[4]{a+b}}=$ $\large \frac{8\sqrt[4]{(a+b)^{2}}}{-2\sqrt[4]{a+b}}=-4\sqrt[4]{a+b}$

Elevación de radicales a potencias.

Para elevar un radical a una potencia se eleva la cantidad subradical a dicha potencia.

$\large (\sqrt[n]{a})^{m}=\sqrt[n]{a}\, .\, \sqrt[n]{a}....=\sqrt[n]{a^{m}}$

Ejemplos:

$\large (\sqrt[3]{2a^{2}c})^{2}=\sqrt[3]{(2a^{2}c)^{2}}=\sqrt[3]{4a^{4}c^{2}}=$ $\large a\sqrt[3]{4ac^{2}}$

$\large (5\sqrt[4]{a-b})^{2}=25\sqrt[4]{(a-b)^{2}}=25 \sqrt{a-b}$

Raíz de una raíz.

Para extraer la raíz de otra raíz se multiplican los índices.

Ejemplos:

$\large \sqrt[4]{\sqrt[3]{a^{2}b}}=\sqrt[12]{a^{2}b}$

$\large \sqrt{9\sqrt[3]{4a^{2}c^{2}}}=3\sqrt[6]{4a^{2}c^{2}}=3\sqrt[3]{2ac}$

$\large \sqrt[3]{a\sqrt{ab}}=\sqrt[3]{\sqrt{a^{3}b}}=\sqrt[6]{a^{3}b}$

El orden de extracción de raíces no altera el resultado.

Racionalización de denominadores.

Racionalizar consiste en eliminar radicales del denominador.

Consideremos los dos casos más sencillos:

Denominador con una raíz.

Si el denominador es una raíz cuadrada de un número o de un monomio, se multiplica los dos términos de la fracción por ese radical.

Ejemplo:

$\large \frac{x}{\sqrt{y}}=\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{y}\, \sqrt{y}}=\frac{x\sqrt{y}}{y}$

$\large \frac{2R}{\sqrt{5}}=\frac{2R\sqrt{5}}{\sqrt{5}\, \sqrt{5}}=\frac{2R\sqrt{5}}{5}$

Denominador con binomio conjugado

Si el denominador es un binomio en el que uno de los términos es radical de 2º grado, se multiplican los dos términos de la fracción por el mismo binomio cambiado el sigo del medio. A estos binomios se les llama conjugados.

Ejemplos:

$\large \frac{x}{a+\sqrt{b}}=\frac{x(a-\sqrt{b})}{(a+\sqrt{b})\, (a-\sqrt{b})}=\frac{x(a-\sqrt{b})}{a^{2}-b}$