Radicación de expresiones algebraicas

La radicación de expresiones algebraicas o extracción de raíces es una operación que tiene por objeto hallar la base de una potencia cuando se conoce ésta y su grado, la base lleva el nombre de raíz y el exponente es el índice.

Radicación de expresiones algebraicas

La extracción de raíces consistirá en hallar la raíz n de P para obtener b.
\large b^{n}=P

De otro modo: Raiz n-ma de una cantidad es otra cantidad que elevada a la potencia n reproduce la primera.

\large \sqrt{9a^{2}b^{4}}=3ab^{2}\large \sqrt[3]{64a^{6}b^{3}}=4a^{2}b

La raíz n-ma de un producto es igual al producto de las raíces n-ma de cada uno de los factores.

\large \sqrt[n]{abc}=\sqrt[n]{a}\, .\, \sqrt[n]{b}\, .\, \sqrt[n]{c}

pues elevando los dos miembros a la potencia n da el mismo resultado.

La raíz n-ma de un cociente es igual a la raíz n-ma del numerador dividida por la raíz n-ma del denominador.

\large \sqrt[n]{\frac{a}{b}}         \large \mathrm{Si\, hacemos:}\: \: \: a=x^{n}\: \: \: b=y^{m}

tenemos:

\large \sqrt[m]{\; \frac{a}{b}}=\sqrt[m]{\; \frac{x^{m}}{y^{m}}}=\frac{x}{y}

puesto que:

\large \left ( \frac{x}{y} \right )^{m}=\frac{x^{m}}{y^{m}}=\frac{a}{b}

Para extraer la raíz de una potencia se divide el exponente por el índice de la raíz.

\large \sqrt[4]{a^{8}}=a^{8:4}=a^{2}    \large \Leftrightarrow    \large (a^{2})^{4}=a^{2.4}=a^{8}

Exponentes fraccionarios.

Toda cantidad con exponente fraccionario representa un radical cuyo índice es el denominador y el numerador es el exponente de la cantidad subradical.

\large a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}

si elevamos los dos miembros a la potencia n tendremos:

      \large (a^{\frac{m}{n}})^{n}=a^{\frac{m.n}{n}}=a^{m}  
 por lo tanto:\large a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}
  \large (\sqrt[n]{a^{m}})^{n}=a^{m}  

Para extraer la raíz n-ma de un monomio se extrae la raíz n-ma del coeficiente, se dividen los exponentes de las letras por m; el resultado llevará ± si m es par, y el signo del radicando si m es impar. Si m es par y el radicando lleva el signo negativo se dice que la raíz es imaginaria.

1º.

\large \sqrt[4]{16a^{8}b^{12}}=\pm 2a^{2}b^{3}

2º.

\large \sqrt[3]{27a^{6}b^{12}}=3a^{2}b^{4}

3º.

\large \sqrt[5]{-32a^{15}b^{10}}=-2a^{3}b^{2}

Si el monomio no tiene raíz exacta se saca fuera del radical la parte que se pueda, dejando lo demás debajo del radical, o bien se ponen con exponentes fraccionarios.

\large \sqrt[3]{54a^{5}b^{4}}=3ab\sqrt[3]{2a^{2}b}
\large \sqrt{27x^{3}y^{2}-45x^{2}y^{3}}=\sqrt{9x^{2}y^{2}}(3x-5y)= \large 3xy\sqrt{3x-5y}

Recíprocamente si en un monomio compuesto de parte racional y parte irracional se quiere poner todo dentro del radical, se eleva la parte racional a la potencia que indica el índice de la raíz afectando después el producto.

\large 4a^{2}c^{3}\sqrt{3ac}=\sqrt{16a^{4}c^{6}.\, 3ac}= \large \sqrt{48a^{5}c^{7}}
\large 2a\sqrt[3]{3a^{2}b^{2}}=\sqrt[3]{8a^{3}c^{6}.\, 3a^{2}}= \large \sqrt[3]{24a^{5}c^{6}}

Se ha dicho que cuando el radicando es negativo si el índice de la raíz es impar la raíz es negativa, pero si el índice es par la raíz se llama imaginaria y es imposible hallar su raíz exacta.

Así:\large \sqrt{-a}no tiene raíz exacta pues no hay ninguna cantidad que elevada al cuadrado nos de (-a).

Las raíces imaginarias se representa por i o afectándolas de raíz de menos uno.

\large \sqrt{-a^{2}}=\sqrt{a^{2}.\, (-1)}=\sqrt{a^{2}}\sqrt{-1}=a\sqrt{-1}=ai

NOTA.- La expresiones imaginarias no siguen en todo las reglas ordinarias, sino que se admiten convencionalmente.

\large (\sqrt{-1})^{2}=-1\, ,\, \sqrt{a}\, .\, \sqrt{-a^{3}}=-a^{2}
Potencias de    \sqrt{-1}
\large (\sqrt{-1})^{1}=\sqrt{-1}
\large (\sqrt{-1})^{2}=-1
\large (\sqrt{-1})^{3}=(\sqrt{-1})^{2}(\sqrt{-1})=-\sqrt{-1}
\large (\sqrt{-1})^{4}=[(\sqrt{-1})^{2}]^{2}=(-1)^{2}=1

y como 5=4+1; 6=4+2; 7=4+3…. etc., estas potencias van repitiendo las cuatro primeras.

Valor aritmético y valor algebraico.

En ÁLGEBRA, al extraer cualquier raíz hay que atender a su valor numérico y a su signo.

Raíz cuadrada de 25 tiene como valor numérico 5 pero atendiendo al signo es ±5, puesto que (±5)² = 25. Este valor se llama algebraico.

Radicales semejantes

Son los que tienen el mismo índice y la misma cantidad subradical.

\large 5a\sqrt{ab}\, ,\, -3b\sqrt{ab}\, ,\, 4\sqrt{ab}

Suma y resta de radicales.

En la suma y resta de radicales se procede como se indicó para las cantidades algebraicas.

\large 5b^{2}\sqrt{a},\, -3a\sqrt{b},\, -3b^{2}\sqrt{a},\, 4a\sqrt{b}

Sumados dan:

\large 5b^{2}\sqrt{a}-3a\sqrt{b}-3b^{2}\sqrt{a}+4a\sqrt{b}= \large 2b^{2}\sqrt{a}+a\sqrt{b}

Si queremos restar de:

\large 10\sqrt[3]{a^{2}b}\: \: \: \mathrm{el\: binomio}\: \: \: 3\sqrt[3]{a^{2}b}-\sqrt[3]{a^{2}b}

pondremos:

\large 10\sqrt[3]{a^{2}b}-3\sqrt[3]{a^{2}b}+\sqrt[3]{a^{2}b}=8\sqrt[3]{a^{2}b}

Así mismo tendremos que:

\large (a\sqrt{x}-b\sqrt{x}-c\sqrt{x})=\sqrt{x}(a-b-c)

Se ha dicho anteriormente que la raíz de un producto es igual al producto de las raíces de cada factor, y que la raíz de un cociente es igual al cociente de la raíz del dividendo partida de la raíz del divisor.

Se deduce que para multiplicar o dividir radicales de mismo índice se multiplican o dividen las cantidades subradicales poniendo el resultado debajo de un radical del mismo índice.

1º.

\large \sqrt{2a^{2}}\, .\, \sqrt{3b}=\sqrt{2a^{2}\, .\, 3b}=a\sqrt{6b}

2º.

\large 3\sqrt[3]{a^{2}}\, .\, (-5\sqrt[3]{ab^{2}})=-15\sqrt[3]{a^{3}b^{2}}=-15a\sqrt[3]{b}
\large \frac{a^{2}\sqrt[3]{b^{2}c}}{b\sqrt[3]{a^{2}b^{2}}}=\frac{a^{2}}{b}\sqrt[3]{\frac{b^{2}c}{a^{2}b^{2}}}= \large \frac{a^{2}}{b}\sqrt[3]{\frac{c}{a^{2}}}

Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número la raíz no varía.

\large \sqrt[3]{a^{2}}=\sqrt[6]{a^{4}}\large \sqrt[mn]{b^{n}}=\sqrt[m]{b}

Para reducir dos o más radicales a un índice común se multiplican el índice y el exponente de cada uno por los índice de los demás.

\large \sqrt[m]{a}\,\,\, \mathrm{y}\, \, \sqrt[n]{b}se convierten en\large \sqrt[mn]{a^{n}}\: \: ,\: \: \sqrt[mn]{b^{m}}

Para multiplicar radicales que tienen distinto índice se reducen a común índice y se multiplican después las cantidades subradicales.

1º.

\large \sqrt[3]{3a^{2}b}\, .\, \sqrt{ab}=\sqrt[6]{9a^{4}b^{2}}\, .\, \sqrt[6]{a^{3}b^{3}}= \large \sqrt[6]{9a^{7}b5}=a\sqrt[6]{9ab^{5}}

2º.

\large (c-d)\sqrt[4]{a+b}\, .\, a\sqrt{a-b}= \large (c-d)\sqrt[4]{a+b}\, .\, a\sqrt[4]{(a-b)^{2}}= \large a(c-d)\sqrt[4]{(a+b)(a-b)^{2}}

Para dividir dos radicales de distinto índice se reducen a común índice y después se dividen las cantidades subradicales.

1º.

\large a^{2}b\sqrt[3]{ab^{2}}:5ab\sqrt{bc}=\frac{a^{2}b\sqrt[6]{a^{2}b^{4}}}{5ab\sqrt[6]{b^{3}c^{3}}}= \large \frac{a}{5}\sqrt[6]{\frac{a^{2}b}{c^{3}}}
\large \frac{8\sqrt{a+b}}{-2\sqrt[4]{a+b}}= \large \frac{8\sqrt[4]{(a+b)^{2}}}{-2\sqrt[4]{a+b}}=-4\sqrt[4]{a+b}

Para elevar un radical a una potencia se eleva la cantidad subradical a dicha potencia.

\large (\sqrt[n]{a})^{m}=\sqrt[n]{a}\, .\, \sqrt[n]{a}....=\sqrt[n]{a^{m}}

1º.

\large (\sqrt[3]{2a^{2}c})^{2}=\sqrt[3]{(2a^{2}c)^{2}}=\sqrt[3]{4a^{4}c^{2}}= \large a\sqrt[3]{4ac^{2}}

2º.

\large (5\sqrt[4]{a-b})^{2}=25\sqrt[4]{(a-b)^{2}}=25 \sqrt{a-b}

Para extraer la raíz de otra raíz se multiplican los índices.

1º.

\large \sqrt[4]{\sqrt[3]{a^{2}b}}=\sqrt[12]{a^{2}b}

2º.

\large \sqrt{9\sqrt[3]{4a^{2}c^{2}}}=3\sqrt[6]{4a^{2}c^{2}}=3\sqrt[3]{2ac}

3º.

\large \sqrt[3]{a\sqrt{ab}}=\sqrt[3]{\sqrt{a^{3}b}}=\sqrt[6]{a^{3}b}

El orden de extracción de raíces no altera el resultado.

Racionalización de denominadores.

Al operar con radicales, para facilitar y simplificar las operaciones se suele racionalizar el denominador, a esta operación se le llama racionalizar.

Consideremos los dos casos más sencillos:

1º. Si el denominador es una raíz cuadrada de un número o de un monomio, se multiplica los dos términos de la fracción por ese radical.

1.º

\large \frac{x}{\sqrt{y}}=\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{y}\, \sqrt{y}}=\frac{x\sqrt{y}}{y}

2º.

\large \frac{2R}{\sqrt{5}}=\frac{2R\sqrt{5}}{\sqrt{5}\, \sqrt{5}}=\frac{2R\sqrt{5}}{5}

Si el denominador es un binomio en el que uno de los términos es radical de 2º grado, se multiplican los dos términos de la fracción por el mismo binomio cambiado el sigo del medio. A estos binomios se les llama conjugados.

1º.

\large \frac{x}{a+\sqrt{b}}=\frac{x(a-\sqrt{b})}{(a+\sqrt{b})\, (a-\sqrt{b})}=\frac{x(a-\sqrt{b})}{a^{2}-b}

2º.

\large \frac{n}{\sqrt{x}-y}=\frac{n(\sqrt{x}+y)}{(\sqrt{x}-y)(\sqrt{x}+y)}=\frac{n(\sqrt{x}+y)}{x-y^{2}}

3º.

\large \frac{m}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{m(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})({\sqrt{a}}-\sqrt{b})}=\frac{m(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}

Practique con algunos ejercicios…

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