Logaritmos

Definición.- Llámese logaritmos los términos de una progresión aritmética que inicia por cero y tiene razón positiva, correspondiente a los términos de una progresión geométrica que inicia por la unidad y tiene razón positiva distinta de la unidad.

Sean las progresiones:

  \dpi{100} \div \div 1:q:q^{2}:q^{3}: ..... :q^{n}:.....  
  \dpi{100} \div 0\: .\: r\: .\: 2r\: .\: 3r\: .\: .....nr.....  

Según la definición, el logaritmo de  1 es 0,  r  el de q,  2r  el de q2nr  el de qn,  etc.

Reciprocamente,  1,  qq2,  ……..  son los antilogaritmos de  0,  r,  2r,  ……..  respectivamente

Según esto, parece que solo los números enteros y mayores de la unidad tienen logaritmo; pero las progresiomes dadas pueden prolongarse en los dos sentidos y tendremos:

  \dpi{100} ...:q^{-n}....q^{-3}:q^{-2}:q^{-1}:1:q:q^{2}:q^{3}:....q^{n}:...  
  \dpi{100} ...\: -nr\: ....\: .-3r.-2r.-r\: .\: 0\: .\: r\: .\: 2r\: .\: 3r\: ...nr\: ...  

Conviene observar que entre cada dos términos consecutivos de las dos progresiones se pueden interpolar cuántos números se quiera. Luego, todo número positivo puede tener logaritmo exacto o tan aproximado como se quiera.

Observese también que los exponentes de la progresión geométrica son los coeficientes de la aritmética.

Consecuencias:

1.ª Solo los números positivos tienen logaritmos.
2.ª El logaritmo de 1 es 0.
3.ª Los números mayores de 1 tienen logaritmo positivo.
4.º Los menores de 1 tienen logaritmo negativo.

Podemos decir también que el logaritmo de un número, es la forma de calcular el exponente al que tendría que estar elevada una base para obtener dicho número.

\dpi{100} \large log_{a}\, b=x\: \: \: \: \: \leftrightarrow \: \: \: \: \: a^{x}=b

I.- Propiedades de los logaritmos

Primera propiedad.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmo de los factores.

÷÷ 1 : q : q2 : q3 : q4 : q5 : …… : q8 : …… : qn
   ÷ 0 . r . 2r . 3r . 4r . 5r . …….. .8r . ……. . nr

Si tomamos en  la progresión geométrica dos  números cualesquiera como   q3    y    q5    su producto es   q8 .

La suma de sus logaritmos es    3r + 5r = 8r.

Vemos que    8r    es el logaritmo de    q8 .

En general:    log abc = log a + lod b + log c

Segunda propiedad.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

Sea:   \dpi{100} \frac{a}{\: b\: }=c  

tenemos que    a= bc    y según vimos antes    log a = log b – log c

de donde

\dpi{100} \textbf{log}\: \frac{\mathbf{a}}{\textbf{b}}=\textbf{log\: a}-\textbf{log b}

Tercera propiedad.- El logaritmo de una potencia es igual al exponente de la potencia multiplicado por el logaritmo de la base.

En efecto:    a3 = a . a. a

de donde:    log a3 = log a + log a + log a = 3log a

Cuarta propiedad.- El logaritmo de una raiz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz.

Sea:   \dpi{100} \sqrt[4]{a}=b  

sabemos que:    a = b4    y como    log a = 4 log b

tenemos que:   \dpi{100} log\: b=\frac{log\: a}{4}  

Logaritmos decimales

Base de un sistema de logaritmos es el número cuyo logaritmo es la unidad.

Puede haber una infinidad de sistemas de logaritmos puesto que la base puede ser cualquier número, pero aquí solo veremos el llamado sistema decimal o vulgar calculado por Briggs que es el que comúnmente se emplea.
Este sistema tiene por base en número 10 y por progresión aritmética la serie de números naturales.
Cuándo realices los ejercicios de este tema veremos como resolver logaritmos de distintas bases sin usar las tablas de logaritmos de las que hablaremos más adelante.

… 10-n … : 10-3 : 10-2 : 10-1 :1 : 101 : 102 : 103 : … : 10n
… -n ….. . -3 .     -2 .     -1 .    0 .   1 .    2 .      3 . …… . n

En este sistema, el logaritmo de las potencias de 10 es igual al exponente de dichas potencias.

Característica y mantisa.- Solo las potencias de 10 tienen por logaritmo un número entero, por lo tanto, todo número comprendido entre dos potencias consecutivas de 10 tiene su logaritmo comprendido entre los exponentes de dichas potencias.
Así, todo número comprendido entre 100 y 1.000 tiene su logaritmo comprendido entre 2 y 3 y se compone, por lo tanto, de una parte entera y otra decimal. A la parte enterase le llama característica y a la parte decimal mantisa.

a)   El número es mayor que la unidad.- En este caso la característica tiene tantas unidades como cifras tiene la parte entera del número menos una.

Ejemplo: Sea el número 8.765,524, que tiene 4 cifras en su parte entera, su característica es 3.
En efecto: Dicho número está comprendido entre 1.000 y 10.000, o sea, entre 103 y 104 ,por lo tanto, toda la parte entera es 3.

b)   El número es menor que la unidad.- El logaritmo de todo número menor que la unidad se compone de característica negativa y mantisa positiva.
La característica tiene tantas unidades negativas como ceros preceden a su primera cifra significaiva, incluyendo el cero de los enteros.

Ejemplo: Sea el número 0,00548, su primera cifra significativa ocupa el tercer lugar , por lo tanto, su característica será -3.

\dpi{100} 0,00548=\frac{5,48}{\: 1000\: }
   de donde: log 0,00548 = log 5,48 – log 1000 =
  = 0,m – 3 = -3 + 0,m

Abreviadamente se escribe:         \dpi{100} log\: 0,00548=\overline{3},m

Nota.- No deben de confundirse estas notaciones:

\dpi{100} -2,483265= -2-0,483265

El signo \dpi{100} - afecta a la característica y a la mantisa.

\dpi{100} \overline{2},483265=-2+0,483265

El signo — afecta solo a la característica.

\dpi{100} -\overline{2},483265=-2-(-2)-0,483265
  la característica es positiva.

Transformar un logaritmo precedido del signo menos en otro de mantisa positiva.

\dpi{100} -2,483265=-2-0,483265=-2-1+1-0,483265=
\dpi{100} =(-2-1)+0,516735=3,516735
 
\dpi{100} -\overline{2},483265=-\overline{2}-1+1-0,483265=
\dpi{100} =(-\overline{2}-1)+0,516735=1,516735

Regla.- Se añade -1 a la característica y se restan de 9 todas las cifras de la mantisa menos la última significativa de la derecha, que se resta de 10

Transformar un logaritmo de mantisa positiva en otro de mantisa negativa.
Solo interesa el caso en que la característica es negativa, la regla que se da es general.

\dpi{100} \overline{3},516745=-3+0,516735=-3+1-1+0,516745=
\dpi{100} =(-3+1)-0,483265=-2,483265

Cologarismo.- Se llama cologarismo de un número al logaritmo de su recíproco y es igual al opuesto del logaritmo del número dado.
Sea el número   b,   su recíproco es    1/b

  Tenemos:        \dpi{100} b\: \mathrm{x}\: \frac{1}{\: b\: }=1  
     
  Aplicando logaritmos:  
  log. b + colog. b =1  
  colog. b = – log. b  

Por lo tanto, para hallar el cologaritmo de un número se pone signo menos a su logaritmo y se procede como para transformar un logaritmo precedido del signo menos en otro de mantisa positiva.

 

Propiedad.- Si se multiplica un número por una potencia entera de 10 la mantisa no varía, pero la característica aumenta o disminuye en tantas unidades como tenga el exponente de 10.

En efecto, si el logaritmo de un número es   c, m,   el logaritmo de un número 100 mayor será igual a:

c, m + log 100 = c,m + 2 = (c + 2),m

  El logaritmos de:  
     
             2416    es   3,383097;  
  el de   241,6   es   2,383097;  
  el de   24,16   es   1,383097;  
  el de   2,416   es   0,383097;  

III.- Tablas de logaritmos

Hay diferentes tablas de logaritmos. Unas, llamadas tablas mayores, contienen los logaritmos de los 100.000 primeros números con 7 decimales; otras tablas menores contienen los logaritmos de de los 20.000 primeros números con 5 decimales o con 6.

En esta web todos los cálculos están hechas con las de Bruño, aunque sí hay que decir que su uso ya está totalmente desfasado con el uso de las calculadoras electrónicas. Aún así siempre es positivo saber como se hacen las cosas sin el uso de estas calculadoras. Puedes descargarte la tabla pulsando el botón “Descarga”

IV.- Operaciones con logaritmos

Sumar estos logaritmos:      \dpi{100} 3,725482\: \: \mathrm{y}\: \: \overline{2},538423

\dpi{100} 3,725482
\dpi{100} \overline{2},538423
—————
\dpi{100} 2,263905

En las décimas decimos 7 + 5 = 12 escribimos el 2 y nos llevamos 1 unidad positiva que sumada con las 3 unidades son 4 y -2 da 2.

Efectuar las sustracciones siguientes:

\dpi{100} 3,482254          \dpi{100} 5,684787          \dpi{100} \overline{4},571268
\dpi{100} 2,736082          \dpi{100} \overline{3},832453          \dpi{100} \overline{2}.954305
————–          ————–          ————–
    \dpi{100} \overline{6},746172          \dpi{100} 7,862334          \dpi{100} \overline{3},616963  

En el primer ejemplo, al llegar a las décimas decimos: de 7 a 14 van 7 y me llevo 1.

\dpi{100} 1+2=3\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; y\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; -3-3=-6

En el segundo caso decimos: de 8 a 16 van 8 y me llevo 1.

\dpi{100} 5-1=4\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; y\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 4-(-3)=7

En el tercer caso decimos: de 9 a 15 van 6 y me llevo 1.

\dpi{100} -4-1=-5\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; y\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; -5-(-2)=-3

Sea multiplicar:

 
Multiplicamos por separado la parte entera y la decimal:
 
 
sumamos y queda:
 

Sea dividir:

\dpi{100} \overline{5},456911\: :\: 3
 
Añadimos al logaritmo   –1   y   1   y tendremos:
 
\dpi{100} \overline{6}\: \: \: y\: \: \: 1,456911\: \: \: \: \: \overline{6}:3=\overline{2}\: \: \: \: \: y\: \: \: \: \: 1,456911:3=0,485637
 
el cociente será:      \dpi{100} 2,485637

Aplicación de los logaritmos:

1.- Efectuar la multiplicación:    \dpi{100} 492,7\: .\: 0,51\: .\: 517

Sus logaritmos son:

    \dpi{100} \: \: 492,7 = \dpi{100} 2,692573
        \dpi{100} 0,51 = \dpi{100} \overline{1},707570
    \dpi{100} 517 = \dpi{100} 2,713491
    ————–
Suma   \dpi{100} 5,113644

Antilogaritmo de 5,113491   =   129.910,42

2.- Efectuar la división:    \dpi{100} 4936,3:51,4

Sus logaritmos son:

  \dpi{100} 4968,3 = \dpi{100} 3,696208
      \dpi{100} 51,4 = \dpi{100} \overline{1},707570
    ————–
Diferencia   \dpi{100} 1,985245

Antilogaritmo de 1,985245 = 96,66

3.- Efectuar:    \dpi{100} (5,15)^{4}

\dpi{100} 5,15 = \dpi{100} 0,711807
    \dpi{100} 5,15 . 4 = \dpi{100} 0,711807 . 4 = \dpi{100} 2,847228

Antilogaritmo de 2,847228 = 703,44

4.- Efectuar:    \dpi{100} \sqrt[3]{\: 5197\: }

\dpi{100} 5197 = \dpi{100} 3,715753
    \dpi{100} \frac{1}{\: 3\: } log = \dpi{100} 3,715753 : 3 = \dpi{100} 1,238584

Antilogaritmo de 1,238584 = 17,32

5.- Hállese el valor de x:

\bg_black x=\sqrt[5]{\left ( \frac{76\, .\, 250}{148\, .\, 15} \right )^{3}}

log x = ( log 76 + log 250 – log 148 – log 15 ) . \dpi{100} \frac{3}{\: 5\: }

Antilogaritmo de 0,559441 = 3,626