Logaritmos

Logaritmos.

Definición.- Llámese logaritmos los términos de una progresión aritmética que inicia por cero y tiene razón positiva, correspondiente a los términos de una progresión geométrica que inicia por la unidad y tiene razón positiva distinta de la unidad.

Sean las progresiones:

estilo tamaño 20px dividido por dividido por 1 espacio dos puntos espacio q espacio dos puntos espacio q al cuadrado espacio dos puntos espacio q al cubo espacio dos puntos espacio....... espacio q elevado a n espacio dos puntos espacio.......
espacio espacio espacio espacio dividido por 0 espacio. espacio r espacio. espacio 2 r espacio. espacio 3 r espacio. espacio........ espacio espacio n r espacio. espacio....... fin estilo

Según la definición, el logaritmo de  1 es 0,  r  el de q,  2r  el de q2nr  el de qn,  etc.

Reciprocamente,  1,  qq2,  ……..  son los antilogaritmos de  0,  r,  2r,  ……..  respectivamente

Según esto, parece que solo los números enteros y mayores de la unidad tienen logaritmo; pero las progresiomes dadas pueden prolongarse en los dos sentidos y tendremos:

estilo tamaño 20px.. espacio espacio espacio q elevado a menos n fin elevado... espacio q elevado a menos 3 fin elevado dos puntos espacio q elevado a menos 2 fin elevado dos puntos espacio q elevado a menos 1 fin elevado espacio dos puntos espacio 1 espacio dos puntos espacio q espacio dos puntos espacio q al cuadrado dos puntos espacio q al cubo dos puntos espacio... espacio q elevado a n dos puntos espacio...
.. menos n r espacio... menos 3 r espacio. espacio menos 2 r espacio. espacio menos r espacio. espacio 0 espacio. espacio r espacio. espacio 2 r espacio. espacio 3 r. espacio... espacio n r espacio. espacio... fin estilo

Conviene observar que entre cada dos términos consecutivos de las dos progresiones se pueden interpolar cuántos números se quiera. Luego, todo número positivo puede tener logaritmo exacto o tan aproximado como se quiera.

Observese también que los exponentes de la progresión geométrica son los coeficientes de la aritmética.

Consecuencias:

1.ª Solo los números positivos tienen logaritmos.
2.ª El logaritmo de 1 es 0.
3.ª Los números mayores de 1 tienen logaritmo positivo.
4.º Los menores de 1 tienen logaritmo negativo.

Podemos decir también que el logaritmo de un número, es la forma de calcular el exponente al que tendría que estar elevada una base para obtener dicho número.

estilo tamaño 20px log subíndice a b espacio espacio espacio punto y coma espacio espacio espacio a elevado a x igual b fin estilo

Propiedades de los logaritmos.

Primera propiedad.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmo de los factores.

estilo tamaño 20px dividido por dividido por 1 espacio dos puntos espacio q espacio dos puntos espacio q al cuadrado espacio dos puntos espacio q al cubo espacio dos puntos espacio q elevado a 4....... espacio q elevado a 8 espacio dos puntos espacio....... q elevado a n
espacio espacio espacio espacio dividido por 0 espacio. espacio r espacio. espacio 2 r espacio. espacio espacio 3 r espacio. espacio 4 r........ espacio 8 r espacio. espacio....... n r fin estilo

Si tomamos en  la progresión geométrica dos  números cualesquiera como   q3    y    q5    su producto es   q8 .

La suma de sus logaritmos es    3r + 5r = 8r.

Vemos que    8r    es el logaritmo de    q8 .

En general:  

estilo tamaño 20px log espacio a b c igual log espacio a más log espacio b más log espacio c fin estilo

Segunda propiedad.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

estilo tamaño 20px fracción a entre b igual c espacio espacio espacio punto y coma espacio espacio espacio a igual b c fin estilo

Según la primera propiedad:

estilo tamaño 20px log espacio a igual espacio log espacio b más log espacio c fin estilo

de donde

estilo tamaño 20px log espacio fracción a entre b igual log espacio a menos log espacio b fin estilo

Tercera propiedad.- El logaritmo de una potencia es igual al exponente de la potencia multiplicado por el logaritmo de la base.

estilo tamaño 20px a al cubo igual a espacio. espacio a espacio. espacio a espacio. espacio a fin estilo
estilo tamaño 20px log espacio a al cubo igual log espacio a más log espacio a más log espacio a igual 3 log espacio a fin estilo

Cuarta propiedad.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz.

estilo tamaño 20px raíz cuarta de a igual b espacio espacio espacio punto y coma espacio espacio espacio a igual b elevado a 4 fin estilo
estilo tamaño 20px log espacio a igual 4 log espacio b fin estilo
estilo tamaño 20px log espacio b igual fracción numerador log espacio a entre denominador 4 fin fracción fin estilo

Logaritmos decimales.

Base de un sistema de logaritmos es el número cuyo logaritmo es la unidad.

Puede haber una infinidad de sistemas de logaritmos puesto que la base puede ser cualquier número, pero aquí solo veremos el llamado sistema decimal o vulgar calculado por Briggs que es el que comúnmente se emplea.
Este sistema tiene por base en número 10 y por progresión aritmética la serie de números naturales.
Cuándo realices los ejercicios de este tema veremos como resolver logaritmos de distintas bases sin usar las tablas de logaritmos de las que hablaremos más adelante.

estilo tamaño 20px... espacio 10 elevado a menos n fin elevado... espacio dos puntos 10 elevado a menos 2 fin elevado espacio dos puntos espacio 10 elevado a menos 1 fin elevado espacio dos puntos espacio 1 espacio dos puntos espacio 10 espacio dos puntos espacio 10 al cuadrado espacio dos puntos espacio 10 al cubo espacio dos puntos espacio... espacio dos puntos espacio 10 elevado a n
... menos n espacio. espacio... espacio. espacio menos 2 espacio. espacio espacio espacio menos 1 espacio. espacio espacio 0 espacio. espacio espacio espacio 1 espacio. espacio espacio espacio 2 espacio. espacio espacio espacio espacio 3 espacio. espacio espacio espacio... espacio. espacio espacio n fin estilo

En este sistema, el logaritmo de las potencias de 10 es igual al exponente de dichas potencias.

Característica y mantisa.- Solo las potencias de 10 tienen por logaritmo un número entero, por lo tanto, todo número comprendido entre dos potencias consecutivas de 10 tiene su logaritmo comprendido entre los exponentes de dichas potencias.
Así, todo número comprendido entre 100 y 1.000 tiene su logaritmo comprendido entre 2 y 3 y se compone, por lo tanto, de una parte entera y otra decimal. A la parte enterase le llama característica y a la parte decimal mantisa.

a)   El número es mayor que la unidad.- En este caso la característica tiene tantas unidades como cifras tiene la parte entera del número menos una.

Ejemplo: Sea el número 8.765,524, que tiene 4 cifras en su parte entera, su característica es 3.
En efecto: Dicho número está comprendido entre 1.000 y 10.000, o sea, entre 103 y 104 ,por lo tanto, toda la parte entera es 3.

b)   El número es menor que la unidad.- El logaritmo de todo número menor que la unidad se compone de característica negativa y mantisa positiva.
La característica tiene tantas unidades negativas como ceros preceden a su primera cifra significaiva, incluyendo el cero de los enteros.

Ejemplo: Sea el número 0,00548, su primera cifra significativa ocupa el tercer lugar , por lo tanto, su característica será -3.

estilo tamaño 20px 0 coma 00548 igual fracción numerador 5 coma 48 entre denominador 1000 fin fracción fin estilo

de donde:

estilo tamaño 20px log espacio 0 coma 00548 igual log espacio 5 coma 48 menos log espacio 1000
espacio igual 0 coma m menos 3 espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio igual menos 3 más 0 coma m fin estilo

Abreviadamente se escribe:

estilo tamaño 20px log espacio 0 coma 00548 igual envoltorio arriba 3 coma espacio m fin estilo

Nota.- No deben de confundirse estas notaciones:

estilo tamaño 20px menos 2 coma 483265 igual menos 2 menos 0 coma 483265 fin estilo

El signo — afecta a la característica y a la mantisa

estilo tamaño 20px envoltorio arriba 2 coma 483265 igual menos 2 más 0 coma 483265 fin estilo

El signo — afecta solo a la característica.

Por lo tanto, en el caso siguiente la característica es positiva

estilo tamaño 20px menos envoltorio arriba 2 coma 483265 igual menos paréntesis izquierdo menos 2 paréntesis derecho menos 0 coma 483265 fin estilo

Transformar un logaritmo precedido del signo menos en otro de mantisa positiva.

estilo tamaño 20px menos 2 coma 483265 igual menos 2 menos 0 coma 483265 igual fin estiloestilo tamaño 20px menos 2 menos 1 más 1 menos 0 coma 483265 igual fin estiloestilo tamaño 20px paréntesis izquierdo menos 2 menos 1 paréntesis derecho más 0 coma 516735 igual 3 coma 516735 fin estilo
estilo tamaño 20px menos envoltorio arriba 2 coma 483265 igual menos envoltorio arriba 2 menos 0 coma 483265 igual fin estiloestilo tamaño 20px menos envoltorio arriba 2 menos 1 más 1 menos 0 coma 483265 igual fin estiloestilo tamaño 20px paréntesis izquierdo menos envoltorio arriba 2 menos 1 paréntesis derecho más 0 coma 516735 igual 1 coma 513735 fin estilo

Regla.- Se añade -1 a la característica y se restan de 9 todas las cifras de la mantisa menos la última significativa de la derecha, que se resta de 10

Transformar un logaritmo de mantisa positiva en otro de mantisa negativa.
Solo interesa el caso en que la característica es negativa, la regla que se da es general.

estilo tamaño 20px envoltorio arriba 3 coma 516745 paréntesis derecho menos 3 más 0 coma 516745 igual fin estiloestilo tamaño 20px menos 3 más 1 menos 1 más 0 coma 516745 igual fin estiloestilo tamaño 20px paréntesis izquierdo menos 3 más 1 paréntesis derecho menos 0 coma 483265 igual menos 2 coma 483265 fin estilo

Cologarismo.- Se llama cologarismo de un número al logaritmo de su recíproco y es igual al opuesto del logaritmo del número dado.
Sea el número   b,   su recíproco es    1/b : Tenemos

estilo tamaño 20px b espacio. espacio fracción 1 entre b igual 1 fin estilo

Tomando log:

estilo tamaño 20px log. espacio b más c o log. espacio b igual espacio espacio espacio espacio 1
espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio c o log. espacio b espacio igual menos 1 fin estilo

Regla.- Para hallar el cologaritmo de un número se pone signo menos a su logaritmo y se procede como para transformar un logaritmo precedido del signo menos en otro de mantisa positiva.

estilo tamaño 20px log. espacio N igual 3 coma 289735 espacio pila flecha derecha espacio con blanco debajo c o log espacio N igual envoltorio arriba 4 coma 710265
log. espacio M igual envoltorio arriba 5 coma 132800 espacio pila flecha derecha espacio con blanco debajo c o log espacio M igual 4 coma 867200
log. espacio espacio P igual 0 coma 774829 espacio pila flecha derecha espacio con blanco debajo c o log espacio P espacio igual envoltorio arriba 1 225171 fin estilo

Propiedad.- Si se multiplica un número por una potencia entera de 10 la mantisa no varía, pero la característica aumenta o disminuye en tantas unidades como tenga el exponente de 10.

En efecto, si el logaritmo de un número es   c, m,   el logaritmo de un número 100 mayor será igual a:

estilo tamaño 20px c coma espacio m más log.100 igual c coma espacio m más 2 igual paréntesis izquierdo c más 2 paréntesis derecho coma espacio m fin estilo
estilo tamaño 20px log. espacio 2416 igual 3 coma 383097
log.241 coma 6 igual 2 coma 383097
log.24 coma 16 igual 1 coma 383097
log.2 coma 416 igual 0 coma 383097 fin estilo

III.- Tablas de logaritmos

Hay diferentes tablas de logaritmos. Unas, llamadas tablas mayores, contienen los logaritmos de los 100.000 primeros números con 7 decimales; otras tablas menores contienen los logaritmos de de los 20.000 primeros números con 5 decimales o con 6.

En esta web todos los cálculos están hechas con las de Bruño, aunque sí hay que decir que su uso ya está totalmente desfasado con el uso de las calculadoras electrónicas. Aún así siempre es positivo saber como se hacen las cosas sin el uso de estas calculadoras. Puedes descargarte la tabla pulsando el botón «Descarga»

IV.- Operaciones con logaritmos

Sumar estos logaritmos:

estilo tamaño 20px 3 coma 725482
envoltorio arriba 2 coma 538423
_ _ _ _ _ _ _
2 coma 263905 fin estilo

En las décimas decimos 7 + 5 = 12 escribimos el 2 y nos llevamos 1 unidad positiva que sumada con las 3 unidades son 4 y -2 da 2.

Resta.-Efectuar las sustracciones siguientes:

estilo tamaño 20px envoltorio arriba 3 coma 482254 espacio espacio espacio espacio 5 coma 694787 espacio espacio espacio envoltorio arriba espacio 4 fin envoltorio coma 571268
envoltorio arriba 2 coma 736082 espacio espacio espacio espacio 3 coma 832453 espacio espacio espacio envoltorio arriba espacio 2 fin envoltorio coma 954305
_ _ _ _ _ _ _ _ espacio espacio espacio _ _ _ _ _ _ _ espacio fino espacio espacio espacio _ _ _ _ _ _ _ _
envoltorio arriba 6 coma 746172 espacio espacio espacio espacio 7 coma 862334 espacio espacio espacio espacio envoltorio arriba 3 coma 616963 fin estilo

En el primer ejemplo, al llegar a las décimas decimos: de 7 a 14 van 7 y me llevo 1.

estilo tamaño 20px 1 más 2 igual 3 espacio espacio espacio punto y coma espacio espacio espacio menos 3 menos 3 igual menos 6 fin estilo

En el segundo caso decimos: de 8 a 16 van 8 y me llevo 1.

estilo tamaño 20px 5 menos 1 igual 4 espacio espacio espacio punto y coma espacio espacio espacio 4 menos paréntesis izquierdo menos 3 paréntesis derecho igual 7 fin estilo

En el tercer caso decimos: de 9 a 15 van 6 y me llevo 1.

estilo tamaño 20px menos 4 menos 1 igual menos 5 espacio espacio espacio punto y coma espacio espacio espacio menos 5 menos paréntesis izquierdo menos 2 paréntesis derecho igual menos 3 fin estilo

Sea multiplicar:

estilo tamaño 20px envoltorio arriba 3 coma 654031 espacio. espacio 5 fin estilo
estilo tamaño 20px envoltorio arriba 3 espacio. espacio 5 igual envoltorio arriba 15 espacio espacio espacio punto y coma espacio espacio espacio 0 coma 654081 espacio. espacio 5 igual 3 coma 270405 fin estilo

Sumando nos queda:

estilo tamaño 20px menos 15 más 3 igual menos 12 espacio pila flecha derecha espacio 12 coma 270405 con blanco debajo fin estilo

Sea dividir:

estilo tamaño 20px envoltorio arriba 5 coma 456911 espacio dos puntos espacio 3 fin estilo

Añadimos –1 y +1 y tendremos:

estilo tamaño 20px envoltorio arriba 6 espacio espacio espacio espacio espacio 1 coma 456911 espacio espacio punto y coma espacio espacio envoltorio arriba 6 dos puntos 3 igual envoltorio arriba 2 espacio espacio punto y coma espacio espacio 1 coma 45691 dos puntos 3 igual 0 coma 485637 fin estilo

El cociente de la división será:

estilo tamaño 20px envoltorio arriba 2 coma 485637 fin estilo

Aplicación de los logaritmos:

1.- Efectuar la multiplicación

estilo tamaño 20px 492 coma 7 espacio. espacio 0 coma 51 espacio. espacio 517 fin estilo

Sus logaritmos son:

estilo tamaño 20px log. espacio 492 coma 7 espacio espacio espacio espacio igual espacio 2 coma 692583
espacio " espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio 0 coma 51 igual espacio envoltorio arriba 1 coma 707570
espacio " espacio espacio espacio espacio 517 espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio igual espacio 2 coma 713491
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio 5 coma 113644 fin estilo

Antilogaritmo de 5,113491   =   129.910,42

2.- Efectúese la división:

estilo tamaño 20px 4968 coma 3 espacio dos puntos espacio 51 coma 4 fin estilo

Sus logaritmos son:

estilo tamaño 20px log. espacio 4968 coma 3 espacio igual espacio 3 coma 696208
espacio " espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio 51 coma 4 espacio igual espacio 1 coma 710963
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio 1 coma 985245 fin estilo

Antilogaritmo de 1,985245 = 96,66

3.- Efectuar:

estilo tamaño 20px paréntesis izquierdo 5 coma 15 paréntesis derecho elevado a 4 fin estilo

Sus logaritmos son:

estilo tamaño 20px log. espacio 5 coma 15 espacio espacio espacio espacio espacio espacio igual espacio 0 coma 711807
espacio " espacio espacio espacio espacio 5 coma 15 espacio. espacio 4 espacio igual espacio 0 coma 711807 espacio. espacio 4 espacio igual 2 coma 847228 fin estilo

Antilogaritmo de 2,847228 = 703,44

4.- Efectúese

estilo tamaño 20px raíz cúbica de 5197 fin estilo

Tenemos:

estilo tamaño 20px log. espacio 5197 igual 3 coma 715753 fin estilo
Error converting from MathML to accessible text.

Antilogaritmo de 1,238584 = 17,32

5.- Hállese el valor de x:

estilo tamaño 20px x igual raíz quinta de abrir paréntesis fracción numerador 76 espacio. espacio 250 entre denominador 148 espacio. espacio 15 fin fracción cerrar paréntesis al cubo fin raíz fin estilo
estilo tamaño 20px log. espacio x igual abrir paréntesis l o b. espacio 76 más log. espacio 250 menos log. espacio 148 menos log. espacio 15 cerrar paréntesis espacio. espacio fracción 3 entre 5 fin estilo

Sus logaritmos son:

estilo tamaño 20px log.76 espacio igual 1 coma 880814 espacio espacio espacio espacio espacio log.148 igual 2 coma 170262
espacio " espacio 250 espacio igual espacio 2 coma 397940 espacio espacio espacio espacio espacio " espacio espacio espacio espacio espacio 15 igual 1 coma 176091
espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio _ _ _ _ _ _ _ _ espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio _ _ _ _ _ _ _ _
espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio 4 coma 278754 espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio 3 coma 346353 fin estilo
estilo tamaño 20px 4 coma 278754 menos 3 coma 346353 igual 0 coma 932401 fin estilo
estilo tamaño 20px 0 coma 932401.3 igual 2 coma 797203 espacio espacio espacio espacio espacio 2 coma 797203 dos puntos 5 espacio igual 0 coma 559441 fin estilo

Antilogaritmo de 0,559441 = 3,626

Practique con algunos ejercicios…

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