Logaritmos

Se llaman logaritmos a los términos de una progresión aritmética que comienza en cero y tiene razón positiva, correspondientes a los términos de una progresión geométrica que comienza en la unidad y tiene razón positiva distinta de la unidad.

Sean las progresiones:

Progresión geométrica:

$1, q, q^{2}, q^{3}, . . . . . q^{n}$

Progresión aritmética:

$0, r, 2 r, 3 r, . . . . . n r, . . .$

Según la definición dada:

   • El logaritmo de $1$ es $0$ .
   • El logaritmo de $q$ es $r$ .
   • El logaritmo de $q^2$ es $2r$ .
   • El logaritmo de $q^n$ es $nr$ .

Reciprocamente, 1, q, q², …….. son los antilogaritmos de 0, r, 2r, …….. respectivamente

Extensión del concepto de logaritmo.

Aunque inicialmente parece que solo los números enteros mayores que la unidad tienen logaritmo, las progresiones pueden prolongarse indefinidamente en ambos sentidos:

$estilo tamaño 20px.. espacio espacio espacio q elevado a menos n fin elevado... espacio q elevado a menos 3 fin elevado dos puntos espacio q elevado a menos 2 fin elevado dos puntos espacio q elevado a menos 1 fin elevado espacio dos puntos espacio 1 espacio dos puntos espacio q espacio dos puntos espacio q al cuadrado dos puntos espacio q al cubo dos puntos espacio... espacio q elevado a n dos puntos espacio... .. menos n r espacio... menos 3 r espacio. espacio menos 2 r espacio. espacio menos r espacio. espacio 0 espacio. espacio r espacio. espacio 2 r espacio. espacio 3 r. espacio... espacio n r espacio. espacio... fin estilo$

Entre cada dos términos consecutivos de ambas progresiones pueden interpolarse tantos números como se desee.

Por tanto, todo número positivo tiene logaritmo, exacto o tan aproximado como se quiera.

Obsérvese también que los exponentes de la progresión geométrica corresponden a los coeficientes de la progresión aritmética.

Consecuencias fundamentales.

   • 1. Solo los números positivos tienen logaritmos.
   • 2. El logaritmo de 1 es 0.
   • 3. Los números mayores de 1 tienen logaritmo positivo.
   • 4. Los menores de 1 tienen logaritmo negativo.

Podemos decir, de forma equivalente, que el logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar la base para obtener dicho número:

$estilo tamaño 20px log subíndice a b espacio espacio espacio punto y coma espacio espacio espacio a elevado a x igual b fin estilo$

$s i y s o l o s i a^{x} = b$

Propiedades de los logaritmos.

1. Logaritmo de un producto.

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmo de los factores.

$estilo tamaño 20px log espacio a b c igual log espacio a más log espacio b más log espacio c fin estilo$

2. Logaritmo de un cociente.

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

$estilo tamaño 20px log espacio fracción a entre b igual log espacio a menos log espacio b fin estilo$

3. Logaritmo de una potencia.

El logaritmo de una potencia es igual al exponente de la potencia multiplicado por el logaritmo de la base.

$estilo tamaño 20px a al cubo igual a espacio. espacio a espacio. espacio a espacio. espacio a fin estilo$

$estilo tamaño 20px log espacio a al cubo igual log espacio a más log espacio a más log espacio a igual 3 log espacio a fin estilo$

4. Logaritmo de una raíz.

Cuarta propiedad.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz.

$estilo tamaño 20px raíz cuarta de a igual b espacio espacio espacio punto y coma espacio espacio espacio a igual b elevado a 4 fin estilo$

$estilo tamaño 20px log espacio a igual 4 log espacio b fin estilo$

$estilo tamaño 20px log espacio b igual fracción numerador log espacio a entre denominador 4 fin fracción fin estilo$

Logaritmos decimales.

La base de un sistema de logaritmos es el número cuyo logaritmo es la unidad.

Existen infinitos sistemas de logaritmos, pero el más utilizado es el sistema decimal o vulgar, calculado por Briggs, cuya base es 10.

$estilo tamaño 20px... espacio 10 elevado a menos n fin elevado... espacio dos puntos 10 elevado a menos 2 fin elevado espacio dos puntos espacio 10 elevado a menos 1 fin elevado espacio dos puntos espacio 1 espacio dos puntos espacio 10 espacio dos puntos espacio 10 al cuadrado espacio dos puntos espacio 10 al cubo espacio dos puntos espacio... espacio dos puntos espacio 10 elevado a n ... menos n espacio. espacio... espacio. espacio menos 2 espacio. espacio espacio espacio menos 1 espacio. espacio espacio 0 espacio. espacio espacio espacio 1 espacio. espacio espacio espacio 2 espacio. espacio espacio espacio espacio 3 espacio. espacio espacio espacio... espacio. espacio espacio n fin estilo$

En este sistema, el logaritmo de las potencias de 10 es igual al exponente de dichas potencias.

Característica y mantisa.

Solo las potencias de 10 tienen por logaritmo un número entero.

Por tanto, el logaritmo de cualquier número se compone de:

• característica (parte entera).
• mantisa (parte decimal).

a) Número mayor que la unidad:

La característica es igual al número de cifras de la parte entera menos una.

Ejemplo:

Número: 8.765,524
Tiene 4 cifras enteras → característica = 3.

b) Número menor que la unidad:

El logaritmo tiene:

• característica negativa.
• mantisa positiva.

La característica tiene tantas unidades negativas como ceros preceden a la primera cifra significativa.

Ejemplo:

$estilo tamaño 20px 0 coma 00548 igual fracción numerador 5 coma 48 entre denominador 1000 fin fracción fin estilo$

de donde:

$estilo tamaño 20px log espacio 0 coma 00548 igual log espacio 5 coma 48 menos log espacio 1000 espacio igual 0 coma m menos 3 espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio igual menos 3 más 0 coma m fin estilo$

Abreviadamente se escribe:

$estilo tamaño 20px log espacio 0 coma 00548 igual envoltorio arriba 3 coma espacio m fin estilo$

Nota.- No deben de confundirse estas notaciones:

$estilo tamaño 20px menos 2 coma 483265 igual menos 2 menos 0 coma 483265 fin estilo$

El signo — afecta a la característica y a la mantisa

$estilo tamaño 20px envoltorio arriba 2 coma 483265 igual menos 2 más 0 coma 483265 fin estilo$

El signo — afecta solo a la característica.

Por lo tanto, en el caso siguiente la característica es positiva

$estilo tamaño 20px menos envoltorio arriba 2 coma 483265 igual menos paréntesis izquierdo menos 2 paréntesis derecho menos 0 coma 483265 fin estilo$

Transformaciones de logaritmos.

Logaritmo con mantisa negativa → positiva.

$estilo tamaño 20px menos 2 coma 483265 igual menos 2 menos 0 coma 483265 igual fin estilo$ $estilo tamaño 20px menos 2 menos 1 más 1 menos 0 coma 483265 igual fin estilo$ $estilo tamaño 20px paréntesis izquierdo menos 2 menos 1 paréntesis derecho más 0 coma 516735 igual 3 coma 516735 fin estilo$

$estilo tamaño 20px menos envoltorio arriba 2 coma 483265 igual menos envoltorio arriba 2 menos 0 coma 483265 igual fin estilo$ $estilo tamaño 20px menos envoltorio arriba 2 menos 1 más 1 menos 0 coma 483265 igual fin estilo$ $estilo tamaño 20px paréntesis izquierdo menos envoltorio arriba 2 menos 1 paréntesis derecho más 0 coma 516735 igual 1 coma 513735 fin estilo$

Regla.- Se añade -1 a la característica y se restan de 9 todas las cifras de la mantisa menos la última significativa de la derecha, que se resta de 10

Transformar un logaritmo de mantisa positiva en otro de mantisa negativa.
Solo interesa el caso en que la característica es negativa, la regla que se da es general.

$estilo tamaño 20px envoltorio arriba 3 coma 516745 paréntesis derecho menos 3 más 0 coma 516745 igual fin estilo$ $estilo tamaño 20px menos 3 más 1 menos 1 más 0 coma 516745 igual fin estilo$ $estilo tamaño 20px paréntesis izquierdo menos 3 más 1 paréntesis derecho menos 0 coma 483265 igual menos 2 coma 483265 fin estilo$

Cologarismo.- Se llama cologarismo de un número al logaritmo de su recíproco y es igual al opuesto del logaritmo del número dado.

Sea el número b, su recíproco es 1/b : Tenemos

$estilo tamaño 20px b espacio. espacio fracción 1 entre b igual 1 fin estilo$

Tomando log:

$estilo tamaño 20px log. espacio b más c o log. espacio b igual espacio espacio espacio espacio 1 espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio c o log. espacio b espacio igual menos 1 fin estilo$

Regla.- Para hallar el cologaritmo de un número se pone signo menos a su logaritmo y se procede como para transformar un logaritmo precedido del signo menos en otro de mantisa positiva.

$estilo tamaño 20px log. espacio N igual 3 coma 289735 espacio pila flecha derecha espacio con blanco debajo c o log espacio N igual envoltorio arriba 4 coma 710265 log. espacio M igual envoltorio arriba 5 coma 132800 espacio pila flecha derecha espacio con blanco debajo c o log espacio M igual 4 coma 867200 log. espacio espacio P igual 0 coma 774829 espacio pila flecha derecha espacio con blanco debajo c o log espacio P espacio igual envoltorio arriba 1 225171 fin estilo$

Propiedad.- Si se multiplica un número por una potencia entera de 10 la mantisa no varía, pero la característica aumenta o disminuye en tantas unidades como tenga el exponente de 10.

En efecto, si el logaritmo de un número es c, m, el logaritmo de un número mayor de 100 será igual a:

$estilo tamaño 20px c coma espacio m más log.100 igual c coma espacio m más 2 igual paréntesis izquierdo c más 2 paréntesis derecho coma espacio m fin estilo$

$estilo tamaño 20px log. espacio 2416 igual 3 coma 383097 log.241 coma 6 igual 2 coma 383097 log.24 coma 16 igual 1 coma 383097 log.2 coma 416 igual 0 coma 383097 fin estilo$

Tablas de logaritmos.

Hay diferentes tablas de logaritmos. Unas, llamadas tablas mayores, contienen los logaritmos de los 100.000 primeros números con 7 decimales; otras tablas menores contienen los logaritmos de de los 20.000 primeros números con 5 decimales o con 6.

En esta web todos los cálculos están hechas con las de Bruño, aunque sí hay que decir que su uso ya está totalmente desfasado con el uso de las calculadoras electrónicas. Aún así siempre es positivo saber como se hacen las cosas sin el uso de estas calculadoras. Puedes descargarte la tabla pulsando el botón «Descarga»

Descarga

Operaciones con logaritmos.

Suma de logaritmos.

Sumar estos logaritmos:

$estilo tamaño 20px 3 coma 725482 envoltorio arriba 2 coma 538423 _ _ _ _ _ _ _ 2 coma 263905 fin estilo$

En las décimas decimos 7 + 5 = 12 escribimos el 2 y nos llevamos 1 unidad positiva que sumada con las 3 unidades son 4 y -2 da 2.

Resta de logaritmos.

Efectuar las sustracciones siguientes:

$estilo tamaño 20px envoltorio arriba 3 coma 482254 espacio espacio espacio espacio 5 coma 694787 espacio espacio espacio envoltorio arriba espacio 4 fin envoltorio coma 571268 envoltorio arriba 2 coma 736082 espacio espacio espacio espacio 3 coma 832453 espacio espacio espacio envoltorio arriba espacio 2 fin envoltorio coma 954305 _ _ _ _ _ _ _ _ espacio espacio espacio _ _ _ _ _ _ _ espacio fino espacio espacio espacio _ _ _ _ _ _ _ _ envoltorio arriba 6 coma 746172 espacio espacio espacio espacio 7 coma 862334 espacio espacio espacio espacio envoltorio arriba 3 coma 616963 fin estilo$

En el primer ejemplo, al llegar a las décimas decimos: de 7 a 14 van 7 y me llevo 1.

$estilo tamaño 20px 1 más 2 igual 3 espacio espacio espacio punto y coma espacio espacio espacio menos 3 menos 3 igual menos 6 fin estilo$

En el segundo caso decimos: de 8 a 16 van 8 y me llevo 1.

$estilo tamaño 20px 5 menos 1 igual 4 espacio espacio espacio punto y coma espacio espacio espacio 4 menos paréntesis izquierdo menos 3 paréntesis derecho igual 7 fin estilo$

En el tercer caso decimos: de 9 a 15 van 6 y me llevo 1.

$estilo tamaño 20px menos 4 menos 1 igual menos 5 espacio espacio espacio punto y coma espacio espacio espacio menos 5 menos paréntesis izquierdo menos 2 paréntesis derecho igual menos 3 fin estilo$

Multiplicación de logaritmos.

Sea multiplicar:

$estilo tamaño 20px envoltorio arriba 3 coma 654031 espacio. espacio 5 fin estilo$

$estilo tamaño 20px envoltorio arriba 3 espacio. espacio 5 igual envoltorio arriba 15 espacio espacio espacio punto y coma espacio espacio espacio 0 coma 654081 espacio. espacio 5 igual 3 coma 270405 fin estilo$

Sumando nos queda:

$estilo tamaño 20px menos 15 más 3 igual menos 12 espacio pila flecha derecha espacio 12 coma 270405 con blanco debajo fin estilo$

División de logaritmos.

Sea dividir:

$estilo tamaño 20px envoltorio arriba 5 coma 456911 espacio dos puntos espacio 3 fin estilo$

Añadimos –1 y +1 y tendremos:

$estilo tamaño 20px envoltorio arriba 6 espacio espacio espacio espacio espacio 1 coma 456911 espacio espacio punto y coma espacio espacio envoltorio arriba 6 dos puntos 3 igual envoltorio arriba 2 espacio espacio punto y coma espacio espacio 1 coma 45691 dos puntos 3 igual 0 coma 485637 fin estilo$

El cociente de la división será:

$estilo tamaño 20px envoltorio arriba 2 coma 485637 fin estilo$

Aplicación de los logaritmos.

1.- Efectuar la multiplicación:

$estilo tamaño 20px 492 coma 7 espacio. espacio 0 coma 51 espacio. espacio 517 fin estilo$

Sus logaritmos son:

$estilo tamaño 20px log. espacio 492 coma 7 espacio espacio espacio espacio igual espacio 2 coma 692583 espacio " espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio 0 coma 51 igual espacio envoltorio arriba 1 coma 707570 espacio " espacio espacio espacio espacio 517 espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio igual espacio 2 coma 713491 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio 5 coma 113644 fin estilo$

Antilogaritmo de 5,113491 = 129.910,42

2.- Efectúese la división:

$estilo tamaño 20px 4968 coma 3 espacio dos puntos espacio 51 coma 4 fin estilo$

Sus logaritmos son:

$estilo tamaño 20px log. espacio 4968 coma 3 espacio igual espacio 3 coma 696208 espacio " espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio 51 coma 4 espacio igual espacio 1 coma 710963 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio 1 coma 985245 fin estilo$

Antilogaritmo de 1,985245 = 96,66

3.- Efectuar:

$estilo tamaño 20px paréntesis izquierdo 5 coma 15 paréntesis derecho elevado a 4 fin estilo$

Sus logaritmos son:

$estilo tamaño 20px log. espacio 5 coma 15 espacio espacio espacio espacio espacio espacio igual espacio 0 coma 711807 espacio " espacio espacio espacio espacio 5 coma 15 espacio. espacio 4 espacio igual espacio 0 coma 711807 espacio. espacio 4 espacio igual 2 coma 847228 fin estilo$

Antilogaritmo de 2,847228 = 703,44

4.- Efectúese:

$estilo tamaño 20px raíz cúbica de 5197 fin estilo$

Tenemos:

$estilo tamaño 20px log. espacio 5197 igual 3 coma 715753 fin estilo$

$Error converting from MathML to accessible text.$

Antilogaritmo de 1,238584 = 17,32

5.- Hállese el valor de x:

$estilo tamaño 20px x igual raíz quinta de abrir paréntesis fracción numerador 76 espacio. espacio 250 entre denominador 148 espacio. espacio 15 fin fracción cerrar paréntesis al cubo fin raíz fin estilo$

$estilo tamaño 20px log. espacio x igual abrir paréntesis l o b. espacio 76 más log. espacio 250 menos log. espacio 148 menos log. espacio 15 cerrar paréntesis espacio. espacio fracción 3 entre 5 fin estilo$

Sus logaritmos son:

$estilo tamaño 20px log.76 espacio igual 1 coma 880814 espacio espacio espacio espacio espacio log.148 igual 2 coma 170262 espacio " espacio 250 espacio igual espacio 2 coma 397940 espacio espacio espacio espacio espacio " espacio espacio espacio espacio espacio 15 igual 1 coma 176091 espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio _ _ _ _ _ _ _ _ espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio _ _ _ _ _ _ _ _ espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio 4 coma 278754 espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio 3 coma 346353 fin estilo$

$estilo tamaño 20px 4 coma 278754 menos 3 coma 346353 igual 0 coma 932401 fin estilo$

$estilo tamaño 20px 0 coma 932401.3 igual 2 coma 797203 espacio espacio espacio espacio espacio 2 coma 797203 dos puntos 5 espacio igual 0 coma 559441 fin estilo$

Antilogaritmo de 0,559441 = 3,626

Practique con algunos ejercicios…

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