I.- Ejercicios resueltos de logaritmos

Aplicaremos las propiedades de los logaritmos:

  \dpi{100} log_{a}\, n.m=log_{a}\, n+log_{a}\, m  
     
  \dpi{100} log_{a}\, \frac{n}{m}=log_{a}\, n-log_{a\, m}  
     
  \dpi{100} log_{a}\, n^{m}=m\, log_{a\, n}  
     
  \dpi{100} log\, n=log\, m\leftrightarrow n=m  
     
  1. Resolver  
  log\: x+log\: 20=3  
     

Podemos decir que el antilogarismo de 3 corresponde al número 1000.

  \dpi{100} log\, x+log\, 20=log\, 1000  
  \dpi{100} 20x=log\, 1000  
  \dpi{100} 20x=1000  
  \dpi{100} x=50  
     

Solución:    x = 50

  2. Resolver  
  \dpi{100} \bg_black log\, x^{3}=log\, 6+2\, log\, x  
     
  \dpi{100} log\, x^{3}=log\, 6+log\, x^{2}  
  \dpi{100} log\, x^{3}=log\, 6x^{2}  
  \dpi{100} x^{3}=6x^{2}  
  \dpi{100} x^{3}-6x^{2}=0  
  \dpi{100} x^{2}(x-6)=0\left\{\begin{matrix} x_{1}=0\: No\: existe\: log\, 0\\ \\ x_{2}=6\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \end{matrix}\right.  
     

Solución:    x = 6

  3. Resolver  
  \dpi{100} \bg_black 2\, log\, x=log\, (10-3x)  
     
     
  \dpi{100} log\, x^{2}=log(10-3x)  
  \dpi{100} x^{2}=10-3x  
  \dpi{100} x^{2}+3x-10=0\left\{\begin{matrix} x_{1}=2\, \, \, \, \\ \\ x_{2}=-5 \end{matrix}\right.  

Comprobamos si las soluciones tienen sentido, sustituyendo en la ecuación logarítmica.

\dpi{100} x_{1}=2 \dpi{100} 2\, log\, 2=log(10-3\, .\, 2)  
  \dpi{100} 2\, log\, 2=log\, 4  
  \dpi{100} 2\, log\, 2=2\, log\, 2  
  \dpi{100} x=1\; \; \; \mathrm{es\: solucion}  

La solución   x2 = -5   no tiene sentido, no existe log(-5)

Solución:    x = 2

  4. Resolver  
  \dpi{100} \bg_black log\, 4+2\, log(x-3)=log\, x  
     
  \dpi{100} log\, \left [ 4(x-3)^{2} \right ]=log\, x
(1) \dpi{100} 4(x^{2}-6x+9)=x
   
             de (1) tenemos la ecuación:
\dpi{100} 4x^{2}-25x+36=0
 
\dpi{100} x_{1}=4\rightarrow log\, 4+2\, log\, 1=log\, 4\rightarrow x=4
 
\dpi{100} x_{2}=\frac{9}{4}\rightarrow log\, 4+2\, log\, \left ( \frac{9}{4}-3 \right )=log\, \frac{9}{4}\rightarrow x=\frac{9}{4}
 
\dpi{100} \left ( \frac{9}{4}-3 \right ) es negativo, por tanto  \dpi{100} x_{2}  no es solución
 

Solución:    x = 4

  5. Resolver  
  \dpi{100} \bg_black log\, (2x-7)+2\, log\, 2=2  
     

Hazlo tú mismo.

Solución:    x = 5

  6. Resolver  
  \dpi{100} \bg_black 2\, log\, x-log\, (22x-x^{2})=1  
     

Hazlo tú mismo.

Solución:    x = 20

  7. Resolver  
  \dpi{100} \bg_black log\, (5x^{2}-2x+15)-2\, log\, (2x-1)=0  
     

Hazlo tú mismo.

Soluciones:    x = — 8    x = 2

  8. Resolver  
  \dpi{100} \bg_black (x^{2}-5x+9)\, log\, 2+log\, 125=3  
     

Hazlo tú mismo.

Soluciones:    x = 2    x = 3

  9. Resolver  
  \dpi{100} \bg_black log_{\frac{1}{2}}\, 0,25=y  
     
  \dpi{100} \left ( \frac{1}{\, 2\, } \right )^{y}=0,25\: \: \: \mathrm{pero}\: \: \: \left ( \frac{1}{2} \right )^{y}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}  
     
  \dpi{100} \mathrm{luego:}\: \: \: \: \: y=2  
     

Soluciones:    y = 2

  10. Resolver  
  \dpi{100} \bg_black log_{\sqrt{5}}\, 125=y  
     
     
         tenemos: \dpi{100} \bg_black \sqrt{2^{y}}=125\: \: \: ;\: \: \: 5^{\frac{1}{2}\, y}\: \: \: ;\: \: \: \frac{1}{2}\: y=3\: \: \: ;\: \: \: y=6  
     

Soluciones:    y = 6