Problemas de primer grado con una incógnita

Problemas de primer grado con una incógnita – Preámbulo.
Un problema es una situación matemática en la que se trata de hallar una o varias cantidades desconocidas, llamadas incógnitas, a partir de otras cantidades conocidas, llamadas datos.

En los problemas de primer grado con una incógnita, la relación entre los datos puede expresarse mediante una ecuación de primer grado, cuya resolución permite encontrar la solución del problema.

Resolución de problemas de primer grado con una incógnita.

Método de resolución de problemas de primer grado:

La resolución de un problema de primer grado con una incógnita consta, en general, de cuatro fases:

Elección de la incógnita.

Se elige una cantidad desconocida y se representa normalmente por una letra, habitualmente $x$ x.

2. Planteamiento.

Consiste en traducir el enunciado del problema al lenguaje algebraico, expresando las relaciones entre los datos mediante una ecuación.

3. Resolución de la ecuación.

Se resuelve la ecuación obtenida para hallar el valor de la incógnita.

4. Comprobación o discusión.

Se comprueba que la solución obtenida cumple las condiciones del problema y se interpretan los resultados.

Problema 1
La suma de las edades de tres personas es 85 años. La segunda tiene el doble de edad que la primera y la tercera tiene 15 años menos que la segunda. Hallar las edades.

Solución:

Sea la edad x la edad de la primera persona.
La segunda tendrá 2x años.
La tercera tendrá 2x – 15 años.

Planteamos la ecuación:

$\large x+2x+2x-15=85$

Resolvemos:

$5 x - 15 = 85 \Rightarrow 5 x = 100 \Rightarrow x = 20$

Conclusión:

Las edades son: 20, 40 y 25 años.

Problema 2
Hallar un número de dos cifras sabiendo que la suma de las mismas es 12 y que si invertimos el orden de sus cifras el número resultante aumenta en 54 unidades.

Solución:

Sea x la cifra de las unidades.
La cifra de las decenas será: $\large 12-x$

Planteamos la ecuación:

$\large (12-x)10+x=120-9x$

Resolvemos:

El valor inverso es x decenas +(12-x) unidades, es decir:

$\large 10x+12-x=9x+12$

Tenemos que el número invertido es igual al primitivo más 54 unidades:

$9 x + 20 = 120 - 9 x + 54 \Rightarrow x = 9$

Conclusión:

La cifra de las unidades es: 9

La cifra de las decenas es: 12 – 9 = 3

El número es: 39

Problema 3
Un comerciante quiere dar una gratificación a sus empleados. Si da 50€ a cada uno le sobran 5€, si les da 51€ le faltan tres.¿ Cuantos son los empleados y que cantidad pensaba repartir?.

Solución:

Sea x el número de dependientes

Planteamos la ecuación:

$\large 50x+5=51x-3$

Resolvemos:

$50 x - 51 x = - 3 - 5 \Rightarrow x = 8$

Pensaba repartir: $\large 50\, .\, 8+5=405$

Conclusión:

Números de empleados 8.

La cantidad a repartir es de 405€.

Problema de caños.

Problema 4
De los tres caños que fluyen a un estanque uno puede llenarlo en 36 horas, otro en 30 horas y l otro en 20 horas. ¿Cuánto tardarán en llenarlo los tres justos?.

Solución:

Sea x las horas que tardan los tres caños en llenarlo.
En 1 hora el primero llena : 1/36
En 1 hora el segundo llena : 1/30
En 1 hora el segundo llena : 1/20

En 1 hora los tres caños juntos llenan:

$\large \frac{1}{36}+\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{5+6+9}{180}=\frac{1}{9}$

Si consideramos 1 la capacidad del estanque tendremos:

Planteamos y resolvemos la ecuación:

$\frac{1}{9} x = 1 \Rightarrow \frac{x}{9} = 1 \Rightarrow x = 9$

Conclusión:

Los tres caños juntos tardarán 9 horas

Problema 5
Un empleado ha acordado con su empleador un salario de 14.900€ al año y un traje nuevo. Al cabo de 10 meses el empleado pide el despido y el empleador le abona 12.200€ y el traje. ¿Cuanto cuesta el traje?.

Solución:

Sea x el precio del traje.
El empleado gana al año 14900 + x.
En diez meses ganará:

$\large 10\, (\frac{14900+x}{12})$

Esta cantidad debe de se igual a la que recibe al despedirse, es decir, igual a 1200 + x, por lo tanto:

$\large 10\,(\frac{14900+x}{12})=12200+x$

Planteamos la ecuación:

$\large \frac{149000+10x}{12}=12200+x$

Resolvemos:

$2600 = 2 x \Rightarrow x = 1300$

Conclusión:

El traje cuesta 1.300€

Problemas de relojes.

Problema 6
Cuando el reloj marca las 12 horas las dos manecillas coinciden. ¿A qué hora volverán a coincidir?

Solución:

La esfera del reloj está dividida en 12 partes iguales.
Mientras que el horario recorre una de dichas partes el minutero recorre las 12, es decir, el minutero tiene una velocidad 12 veces mayor que la del horario.
Por lo tanto, llamando x a lo que recorre el horario, el minutero habrá andado 12+x; y 12 veces el espacio recorrido por el horario será igual al espacio recorrido por el minutero. De donde:

Planteamos la ecuación:

$12 x = 12 + x$

Resolvemos:

$\large 12x=12+x\: \: ;\: \: 11x=12\: \: ;\: \: x=\frac{12}{11}$

$11 x = 12 \Rightarrow x = 12 / 11$

Conclusión:

Volverán a coincidir a la 1 h. 5 m. 27 s.

Problemas de distancias.

Problema 7
Un demandante de empleo va de una ciudad a otra en busca de trabajo, el primer día recorre 1/3 del camino, el segundo día recorre los 5/8 del resto y el tercer día recorre los 24 Km: que le faltaban. ¿Cuál es la distancia entre las dos ciudades?

Solución:

Sea x en Km. la distancia entre ambas ciudades.
El primer día recorre X/3 y le queda por recorrer 2X/3.
El segundo día recorre los 5/8 de 2X/3, le quedarán 3/8 de 2X/3.

esto quiere decir que:

Planteamos la ecuación:

$\large \frac{3\, .\, 2x}{8\, .\, 3}=\frac{x}{4}=24\, \mathrm{km.}$

Resolvemos:

$\large x=24\, .\, 4=96$

Conclusión:

La distancia entre las ciudades es de 96 Km.

Problema 8
Un corredor que anda a 35 Km/h sale en motocicleta de A para C al mismo tiempo que un ciclista que anda a 20 Km/h sale de B para C. Si B está a 30 Km. de A y ambos llegan al mismo tiempo a C, ¿Cuánto dista C de A?

Solución:

Sea x la distancia entre A y C. La de B a C será x-30
Sabemos que espacio dividido por velocidad nos da el tiempo.

Planteamos la ecuación:

Al ser los tiempos iguales tenemos:

$\large \frac{x}{35}=\frac{x-30}{20}$

Resolvemos:

$20 x = 35 x - 1050 \Rightarrow x = 70$

Conclusión:

La distancia entre C y A es de 70 Km.

Problemas de mezclas de ley:

Problema 9
Se tienen 360 gramos de plata de 0,820 de ley. ¿Cuántos gramos de un lingote de 0.500 de ley hay que añadir para que la mezcla tenga 0,700 de ley?

Solución:

Sea x gramos la cantidad que hay que añadir.
El peso total de la mezcla será 360 + x gramos.
Pero el metal fino de la mezcla ha de ser igual a la suma del metal fino de las partes que la componen.

Planteamos la ecuación:

$\large (360+x)0,7=(360\, .\, 0,82)+(x\, .\, 0,5)$

Resolvemos:

$20 x = 360 (82 - 70) \Rightarrow x = 216$

Conclusión:

Hay que añadir 216 gramos.

Problemas de Geometría

Problema 1
¿Cuántos metros de lado tiene un rombo cuyo perímetro es igual al de un triángulo equilátero de 12 metros de lado?

Sea x metros la longitud del lado del rombo:

$\large 4x=3\, .\, 12\: \: ;\: \: x=\frac{36}{4}=9$

Conclusión:

El lado del rombo mide 9 metros.

Problema 2
Calcúlese la base y la altura de un rectángulo que tiene 60 metros de perímetro sabiendo que la altura es igual a los 2/3 de la base.

Llamando b a la base, la altura medirá $\frac{2b}{3}$

$\large 2(b+\frac{2b}{3})=60\,\, ;\,\, \frac{5b}{3}=30\,\, ;\,\, b=18$

Conclusión:

La base mide 18 m. y la altura 12m.

Problema 3
Un rectángulo tiene 60 m. de largo y 40 m. de alto. Se disminuyen en 5 m. en el sentido del largo. ¿Cuanto debe de añadirse al ancho para que quede con la misma superficie?

Sean x los metros que deben de añadirse al ancho, resultará:

$\large 60\, .\, 40=(60-6)(40+x)$

$\large x=\frac{60\, .\, 40}{55}-40=3.63...$

Conclusión:

Deberán de añadirse 3,63…metros.

Problema 4
¿Cuál es el área de la base de un prisma cuadrangular que tiene 15 m. de alto y 4,25 m³ de volumen?

El volumen del prisma es igual al producto de la base por su altura; tendremos:

$\large 4,250=15x\, \, ;\, \, x=\frac{4,250}{15}=0,283...$

Conclusión:

El área de la base medirá 0,283 m²

Problema 5
¿Cuál es la altura del triángulo que resulta de prolongando los lados no paralelos de un trapecio cuyas base son 25 m. y 38,50 m.?

De la semejanza de los triángulos AEB y DEC, resulta:

$\large \frac{x}{EF}=\frac{AB}{DC}\,\, \, ;\, \, \frac{x}{x-15}=\frac{38,5}{27}$

$\large x=\frac{15\, .\, 38.50}{11,50}=50,22$

Conclusión:

La altura del triángulo será de 50,22 metros.

Problema 6
Se tiene un cuadrado cuyo lado mide 74 m. y se prolonga 13 m. el lado que sirve de base. Trátese desde el extremo del lado prolongado una recta que divida al cuadrado en dos cuadriláteros equivalentes

Supongamos que EH es la recta pedida. los cuadriláteros serán equivalentes si DH = FB.

$\large x=DH=FB\leftrightarrow \Delta EBF\wr \Delta EAH$

$\large \frac{x}{74-x}=\frac{13}{74+13}\, \, ;\, \, x=9,62$

Conclusión:

La distancia DH = FB = 9,62 metros.

Discusión de problemas

No toda solución de una ecuación es válida como solución de un problema.
Es necesario comprobar que cumple las condiciones del enunciado.

Comprobar las soluciones y las consecuencias que originan es discutir el problema.

Pueden darse tres casos:

La ecuación no tiene solución.
→ El problema es imposible.

La ecuación tiene infinitas soluciones.
→ El problema puede tener una, varias o ninguna solución válida.

La ecuación tiene una única solución.
→ Será válida solo si cumple las condiciones del problema (positiva, entera, etc.).

Interpretación de soluciones negativas.- Un resultado negativo no es siempre un caso de imposibilidad.

Cuando una magnitud puede tomarse en dos sentidos opuestos conviene considerar un sentido como positivo, las soluciones negativas indican generalmente que hay que tomarlas en sentido contrario al que se había supuesto al establecer la ecuación.

De este modo las soluciones negativas en problemas sobre temperaturas, espacios, tiempo, movimiento, etc., pueden ser interpretadas como verdaderas.

I. Hallar un número entero cuya mitad más su tercera parte sea igual a 38.

Llamando $x$ al número tendremos:

$\large \frac{x}{2}+\frac{x}{3}=38\, ;\, 5x=228\, ;\, x=45,6$

El valor hallado para $x$ verifica la ecuación, pero no cumple con el problema puesto que se pide un número entero.

Luego el problema es imposible.

II.- Un padre tiene 50 años y su hijo 32. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será doble que la del hijo?

Sea x el número de años que deben de transcurrir, tendremos:

$\large 50+x=2(32+x)\, \, ;\, \, x=-14$

Esta solución verifica la ecuación y aunque parece que no responde al enunciado se admite como exacta pues indica que hace 14 años que se cumplió la condición que pide el problema.

Se puede cambiar el enunciado del problema preguntando: ¿Cuántos años hace…..?, en lugar de decir: ¿dentro de cuántos…..?

III. Hallar un número tal que restando su cuarta parte de su mitad más 7 resulte la cuarta parte del número más 12.

Sea x el número buscado, tendremos

$\large (\frac{x}{2}+7)-\frac{x}{4}=\frac{x}{4}+12$

$\large 2x+28-x=x+48\, ;\, x=\frac{20}{0}$

La ecuación es imposible, luego el problema es imposible.

IV. ¿Cuántos alumnos tiene una clase sabiendo que tiene menos de 40 y que disminuido de su mitad y de 8 es igual a cuatro veces su 1/8 disminuido en 2.

Sea $x$ el número de alumnos, tendremos:

$\large x-\frac{x}{2}-8=4(\frac{x}{8}-2)$

$\large 8x-4x-64=4x-64$

$\large 8x-8x=64-64$

$\large 0x=0$

La ecuación tiene infinitas soluciones; el problema no, porque el número ha de ser positivo, entero, múltiplo de 8 y menor que 40. Sólo 8, 16 ,24 y 32 responden al problema.

Si el número de alumnos hubiese sido menor que 15, el problema solo tendría una solución $x$ = 8; hubiese sido determinado

V.- Dos coches van por una carretera en la misma dirección y con velocidades distintas que se suponen constantes. ¿En qué punto se encontrarán?

Representemos la carretera por una recta, los coches van en la dirección AB y con velocidades v y v’; en un momento dado de hallan en M y en M’.

Sea d la distancia entre los dos coches y x la distancia entre el coche M’ y el punto P, que es donde suponemos se encontrarán.

El coche tendrá que recorrer (d+x)

Sabemos que el tiempo es igual al espacio dividido por la velocidad. Llamando t al tiempo que tardarán en encontrarse, tendremos:

$\large t=\frac{x}{v'}\, \, ;\, \, t=\frac{d+x}{v}$

por lo que

$\large \frac{x}{v'}=\frac{d+x}{v}$

resolviendo queda:

$\large vx=dv'+v'x\, \, ;\, \, vx-v'x=dv'$

$\large x(v-v')=dv'\, \, ;\, \, x=\frac{dv'}{v-v'}$

Dando valores a d,v y v’ se obtiene un valor de x que resuelve el problema.

Discusión.- El numerador siempre será positivo, el denominador puede se positivo, negativo o nulo, según sea v >=< v’.

1º. Si v > v’ tendremos v – v’ > 0; por lo tanto x > 0. Luego el problema tendrá una solución finita y determinada, y los coches se encontrarán.

2º. Si v=v’ tendremos v-v’=0

$\large x=\frac{dv'}{0}=\infty$

El problema es imposible y los coches no se encontraran.

3º. Si v < v’ tendremos v – v’ < 0; luego el valor de x en negativo. En este caso el punto P estará a la izquierda de M’ e indicaría que los coches se habrían encontrado antes.

Si, según el enunciado, los coches debieran encontrarse entre M’ y B, la solución negativa indicaría imposibilidad del problema y, por tanto, el enunciado estaría mal expresado.

Practique con algunos ejercicios…

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