Problemas de primer grado con una incógnita

Problema es toda cuestión en que se trata de hallar una o varias cantidades desconocidas, llamadas incógnitas, por medio de otras conocidas, llamadas datos.

Resolución de problemas de primer grado con una incógnita.

La resolución de problemas de primer grado con una incógnita comprende en general, cuatro faces: elección de la incógnita, planteo, resolución de las ecuaciones establecidas en el planteo, discusión o retorno a los datos.

Elección de la incógnita.- Se tomo ordinariamente como incógnita el valor que se busca en el problema. Se representa por x; a veces es ventajoso elegir la incógnita de otro modo, por ejemplo, si hay que hallar dos números que son entre si como 2 es a 3, se les puede representar por x y 2x/3, pero será mejor representarlos por 2x y 3x. El valor de x que se halle se multiplicará por 2 y por 3.

Planteo.- Consiste en establecer las ecuaciones que resuelven el problema.
Se obtiene, en general, traduciendo el enunciado al lenguaje algebraico.
Para ello se realiza con la x las operaciones que habría que hacer para comprobar una respuesta.

Resolución de las ecuaciones establecidad en el planteo es hallar los valores de sus incónitas.

Discución o retorno de los datos.- Para la discución lo veremos más adelante.
El problema puede varias respuestas, hallada la escogida por incógnita se hallan las otras.
Conviene siempre comprobar las respuestas halladas.

Problema I.- La suma de las edades de tres personas es 85 años; hallar la edad de cada una sabiendo que la edad de la 2ª es doble que la de la 1ª y la 3ª tiene quince años menos que la 2ª.

Elección de la incógnita:Sea la edad de la 1ª:  x años

Traducción algebraica de los datos:
La edad de la 2ª será: 2x años
La edad de la 3ª será: 2x-15 años
La suma de la edades es: x + 2x +2x -15
Pero la suma de la edades es 85 años

luego:    

\large x+2x+2x-15=85

Resolución de la ecuación

\large 5x-15=85\: \: ;\: \: 5x=85+15=100
\large x=\frac{100}{5}=20
La edad de la 1ª es:   20 años
La edad de la 1ª es:   20 . 2 = 40 años
La edad de la 1ª es:   40 – 15 = 25 años

Solución: Las edades son 20, 40 y 25 años

Problema II.- Hallar un número de dos cifras sabiendo que la suma de las mismas es 12 y que si invertimos el orden de sus cifras el número resultante aumenta en 54 unidades.

Elección de la incógnita

Sea la cifra  de las unidades: \large x
La cifra de las decenas será: \large 12-x

Traducción algebraica de los datos

El valor del número es (12 – x), decenas + x unidades, es decir:
\large (12-x)10+x=120-9x
El valor inverso es x decenas +(12-x)unidades, es decir: 
\large 10x+12-x=9x+12

Tenemos que el nº invertido es igual al nº primitivo más 54 unidades, luego:

\large 9x+2=120-9x+54
\large 9x+9x=120+54-12
\large 18x=162
\large x=9

Retorno de los datos

La cifra de las unidades es:   9
La cifra de las decenas es:   12 – 9 = 3
El número es:   39

Solución: el número buscado es 39

Problema III.- Un comerciante quiere dar una gratificación a sus empleados. Si da 50€ a cada uno le sobran 5€, si les da 51€ le faltan tres.¿ Cuantos son los empleados y que cantidad pensaba repartir?.

1º Sea x el número de dependientes

  Tenemos la ecuación:\large 50x+5=51x-3
\large 50x-51x=-3-5
\large x=8
Pensaba repartir:
\large 50\, .\, 8+5=405

Solución: 8 empleados y 405

Problema IV.- De los tres caños que fluyen a un estanque uno puede llenarlo en 36 horas, otro en 30 horas y l otro en 20 horas. ¿Cuanto tardarán en llenarlo los tres justos?.

1º Sea x las horas que tardan los tres caños en llenarlo.

En 1 hora el primero llena :

\frac{1}{36}   del estanque.

En 1 hora el segundo llena:

\frac{1}{30}   del estanque.

En 1 hora el tercero llena :

\frac{1}{20}   del estanque.

En 1 hora los tres caños juntos llenan:

\large \frac{1}{36}+\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{5+6+9}{180}=\frac{1}{9}

Si consideramos 1 la capacidad del estanque tendremos:

\large \frac{1}{9}\, .\, x=1\large \frac{x}{9}=1\, ;\, x=9

Solución: Los tres caños juntos tardarán 9 horas

Problema V.- Un empleado ha acordado con su empleador un salario de 14.900€ al año y un traje nuevo. Al cabo de 10 meses el empleado pide el despido y el empleador le abona 12.200€ y el traje. ¿Cuanto cuesta el traje?.

1º Sea x el precio del traje.

El empleado gana al año   

\large 14900+x

En diez meses ganará:

\large 10\, (\frac{14900+x}{12})

Esta cantidad debe de se igual a la que recibe al despedirse, es decir, igual a 1200 + x, por lo tanto:

\large 10\,(\frac{14900+x}{12})=12200+x

Realizamos la ecuación

\large \frac{149000+10x}{12}=12200+x
\large 149000+10x=14600+12x
\large 149000-146000=12x-10x
\large 2600=2x\: ;\: x=\frac{2600}{2}\: ;\: x=1300

Solución: El traje cuesta 1.300€

Problema VI.- Cuando el reloj marca las 12 horas las dos manecillas coinciden. ¿A qué hora volverán a coincidir?

La esfera del reloj está dividida en 12 partes iguales.
Mientras que el horario recorre una de dichas partes el minutero recorre las 12, es decir, el minutero tiene una velocidad 12 veces mayor que la del horario.
Por lo tanto, llamando x a lo que recorre el horario, el minutero habrá andado 12+x; y 12 veces el espacio recorrido por el horario será igual al espacio recorrido por el minutero. De donde:

\large 12x=12+x\: \: ;\: \: 11x=12\: \: ;\: \: x=\frac{12}{11}

x = 1 hora 5 minutos 27 segundos

Solución: Volverán a coincidir a la 1 h. 5 m. 27 s.

Problema VII.- Un trabajador va de una ciudad a otra en busca de trabajo, el primer día recorre 1/3 del camino, el segundo día recorre los 5/8 del resto y el tercer día recorre los 24 Km: que le faltaban. ¿Cuál es la distancia entre las dos ciudades?

1º Sea x en Km. la distancia entre ambas ciudades.

El primer día recorre   X/3   y le queda por recorrer    2X/3

El segundo día recorre los   5/8   de    2X/3,   le quedarán   3/8   de   2X/3

esto quiere decir que:

\large \frac{3\, .\, 2x}{8\, .\, 3}=\frac{x}{4}=24\, \mathrm{km.}
\large x=24\, .\, 4=96

Solución: La distancia entre las ciudades es de 96 Km.

Problema VIII.- Un corredor que anda a 35 Km/h sale en motocicleta de A para C al mismo tiempo que un ciclista que anda a 20 Km/h sale de B para C. Si B está a 30 Km. de A y ambos llegan al mismo tiempo a C, ¿cuanto dista C de A?

Sea x la distancia entre A y C. La de B a C será x-30
Sabemos que espacio dividido por velocidad nos da el tiempo.

Al ser los tiempos iguales tenemos:

\large \frac{x}{35}=\frac{x-30}{20}
\large 20x=35x-1050
\large 20-35x=-1050\, ;\, -15x=-1050
\large x=\frac{1050}{15}=70

Solución: La distancia entre C y A es de 70 Km.

Problema IX.- Se tienen 360 gramos de plata de 0,820 de ley. ¿Cuantos gramos de un lingote de 0.500 de ley hay que añadir para que la mezcla tenga 0,700 de ley?

1º Sea x gramos la cantidad que hay que añadir.

El peso total de la mezcla será 360 + x gramos.

Pero el metal fino de la mezcla ha de ser igual a la suma del metal fino de las partes que la componen.

\large (360+x)0,7=(360\, .\, 0,82)+(x\, .\, 0,5)
\large (360+x)70=(360\, .\, 82)+(x\, .\, 50)
\large (360\, .\, 70)+70x=(360\, .\, 82)+50x
\large 70x-50x=(360\, .\, 82)+(360\, .\, 70)
\large 20x=360(82-70)
\large x=\frac{360\, .\, 12}{20}=216

Solución: Hay que añadir 216 gramos.

Problemas de Geometría

Problema I: ¿Cuantos metros de lado tiene un rombo cuyo perímetro es igual al de un triángulo equilátero de 12 metros de lado?

Sea x metros la longitud del lado del rombo:

\large 4x=3\, .\, 12\: \: ;\: \: x=\frac{36}{4}=9

Solución: El lado del rombo mide 9 metros.

Problema II: Calcúlese la base y la altura de un rectángulo que tiene 60 metros de perímetro sabiendo que la altura es igual a los 2/3 de la base.

Llamando b a la base, la altura medirá   \frac{2b}{3}

\large 2(b+\frac{2b}{3})=60\,\, ;\,\, \frac{5b}{3}=30\,\, ;\,\, b=18

Solución: La base mide 18 m. y la altura 12m.

Problema III: Un rectángulo tiene 60 m. de largo y 40 m. de alto. Se disminuyen en 5 m. en el sentido del largo. ¿Cuanto debe de añadirse al ancho para que quede con la misma superficie?

Sean x los metros que deben de añadirse al ancho, resultará:

\large 60\, .\, 40=(60-6)(40+x)
\large x=\frac{60\, .\, 40}{55}-40=3.63...

Solución: Deberán de añadirse 3,63…metros.

Problema IV: ¿Cuál es el área de la base de un prisma cuadrangular que tiene 15 m. de alto y 4,25 m³ de volumen?

El volumen del prisma es igual al producto de la base por su altura; tendremos:

\large 4,250=15x\, \, ;\, \, x=\frac{4,250}{15}=0,283...

Solución: El área de la base medirá 0,283 m2

Problema V: ¿Cuál es la altura del triángulo que resulta de prolongando los lados no paralelos de un trapecio cuyas base son 25 m. y 38,50 m.?

De la semejanza de los triángulos AEB y DEC, resulta:

\large \frac{x}{EF}=\frac{AB}{DC}\,\, \, ;\, \, \frac{x}{x-15}=\frac{38,5}{27}
\large x=\frac{15\, .\, 38.50}{11,50}=50,22

Solución: La altura del triángulo será de 50,22 metros.

Problema VI: Se tiene un cuadrado cuyo lado mide 74 m. y se prolonga 13 m. el lado que sirve de base. Trátese desde el extremo del lado prolongado una recta que divida al cuadrado en dos cuadriláteros equivalentes

Supongamos que EH es la recta pedida. los cuadriláteros serán equivalentes si DH = FB.

\large x=DH=FB\leftrightarrow \Delta EBF\wr \Delta EAH
\large \frac{x}{74-x}=\frac{13}{74+13}\, \, ;\, \, x=9,62

Solución: La distancia DH = FB = 9,62 metros.

Discusión de problemas

Discusión.- La respuesta a un problema viene dada por la ecuación de ese problema, pero la naturaleza de éste puede exigir que las incógnitas satisfagan ciertas condiciones que las ecuaciones no se pueden traducir.
De aquí que las soluciones de una ecuación no son soluciones del problema si no satisfacen dichas condiciones.

Si ciertos datos son literales se buscan las relaciones que deben de existir entre ellos para que el problema admita uno o varias soluciones.

Examinar estas relaciones y las consecuencias que originan es discutir el problema.

En particular consideraremos tres casos:

1.er caso: La ecuación es imposible. El problema también lo es.

2º caso: La ecuación es indeterminada. De ordinario el problema también lo es. Con todo, el número de soluciones puede estar limitado por las condiciones impuestas por el problema.

3º caso: La ecuación tiene solución única. Tal será la solución del problema.

Con todo no siempre será aceptable esta solución. Será inaceptable si es negativa, nula o fracionaria y la naturaleza del problema exige que sea positiva, no nula o entera.

Interpretación de soluciones negativas.- Un resultado negativo no es siempre un caso de imposibilidad.

Cuando una magnitud puede tomarse en dos sentidos opuestos conviene considerar un sentido como positivo, las soluciones negativas indican generalmente que hay que tomarlas en sentido contrario al que se había supuesto al establecer la ecuación.

De este modo las soluciones negativas en problemas sobre temperaturas, espacios, tiempo, movimiento, etc., pueden ser interpretadas como verdaderas.

I. Hallar un número entero cuya mitad más su tercera parte sea igual a 38.

Lamando x al número tendremos:

\large \frac{x}{2}+\frac{x}{3}=38\, ;\, 5x=228\, ;\, x=45,6

El valor hallado para x verifica la ecuación, pero no cumple con el problema puesto que se pide un número entero.

Luego el problema es imposible.

II.- Un padre tiene 50 años y su hijo 32. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será doble que la del hijo?

Sea  x  el número de años que deben de transcurrir, tendremos:

\large 50+x=2(32+x)\, \, ;\, \, x=-14

Esta solución verifica la ecuación y aunque parece que no responde al enunciado se admite como exacta pues indica que hace 14 años que se cumplió la consición que pide el problema.

Se puede cambiar el enunciado del problema preguntando: ¿cuántos años hace…..?, en lugar de decir: ¿dentro de cuántos…..?

III. Hallar un número tal que restando su cuarta parte de su mitad más 7 resulte la cuarta parte del número más 12.

Sea  x  el número buscado, tendremos

\large (\frac{x}{2}+7)-\frac{x}{4}=\frac{x}{4}+12
\large 2x+28-x=x+48\, ;\, x=\frac{20}{0}

La ecuación es imposible, luego el problema es imposible.

IV. ¿Cuántos alumnos tiene una clase sabiendo que tiene menos de 40 y que disminuido de su mitad y de 8 es igual a cuatro veces su 1/8 disminuido en 2.

Sea  x  el número de alumnos, tendremos:

\large x-\frac{x}{2}-8=4(\frac{x}{8}-2)
\large 8x-4x-64=4x-64
\large 8x-8x=64-64
\large 0x=0

La ecuación tiene infinitas soluciones; el problema no, porque el número ha de ser positivo, entero, múltiplo de 8 y menor que 40. Sólo 8, 16 ,24 y 32 responden al problema.

Si el número de alumnos hubiese sido menor que 15, el problema solo tendría una solución x = 8; hubiese sido determinado

V.- Dos coches van por una carretera en la misma dirección y con velocidades distintas que se suponen constantes. ¿En qué punto se encontrarán?

Representemos la carretera por una recta, los coches van en la dirección AB y con velocidades v y v’; en un momento dado de hallan en M y en M’.

Sea d la distancia entre los dos coches y x la distancia entre el coche M’ y el punto P, que es donde suponemos se encontrarán.

El coche tendrá que recorrer  (d+x)

Sabemos que el tiempo es igual al espacio dividido por la velocidad. Llamando t al tiempo que tardarán en encontrarse, tendremos:

\large t=\frac{x}{v'}\, \, ;\, \, t=\frac{d+x}{v}

por lo que

\large \frac{x}{v'}=\frac{d+x}{v}

resolviendo queda:

\large vx=dv'+v'x\, \, ;\, \, vx-v'x=dv'
\large x(v-v')=dv'\, \, ;\, \, x=\frac{dv'}{v-v'}

Dando valores a d,v y v’ se obtiene un valor de x que resuelve el problema.

Discusión.- El numerador siempre será positivo,el denominador puede se positivo, negativo o nulo, según sea  v >=< v’.

1º. Si v > v’ tendremos v – v’ > 0; por lo tanto x > 0. Luego el problema tendrá una solución finita y determinada, y los coches se encontrarán.

2º. Si   v=v’   tendremos   v-v’=0

\large x=\frac{dv'}{0}=\infty

El problema es imposible y los coches no se encontraran.

3º.  Si  v < v’  tendremos  v – v’ < 0;  luego el valor de x en negativo. En este caso el punto P estará a la izquierda de M’ e indicaría que los coches se habrían encontrado antes.

Si, según el enunciado, los coches debieran encontrarse entre M’ y B, la solución negativa indicaría imposibilidad del problema y, por tanto, el enunciado estaría mal expresado.

Practique con algunos ejercicios…

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