Operaciones con exponentes fraccionarios o negativos

En Álgebra, una letra puede representar cualquier cantidad: entera o fraccionaria, positiva o negativa.
Por ello, las mismas reglas que se aplican a la multiplicación, división, potenciación y radicación siguen siendo válidas cuando los exponentes son fraccionarios o negativos.

Además, es fundamental recordar el significado de los exponentes fraccionarios y negativos, ya que permiten expresar los radicales de forma equivalente y facilitan muchas operaciones algebraicas.

Exponentes fraccionarios.

Recordemos que:

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{m}$

1. Productos de potencias de la misma base.

$\large a^{\frac{m}{n}}\, .\, a^{\frac{r}{s}}=a^{\frac{m}{n}+\frac{r}{s}}=a^{\frac{ms+nr}{ns}}$

Forma radical equivalente.

$\large \sqrt[n]{a^{m}}\, .\, \sqrt[s]{a^{r}}=\sqrt[ns]{a^{ms+nr}}$

2. Cociente de potencias de igual base.

$\large a^{\frac{m}{n}}:a^{\frac{r}{s}}=a^{\frac{m}{n}-\frac{r}{s}}=a^{\frac{ms+nr}{ns}}$

Forma radical.

$\large \sqrt[n]{a^{m}}:\sqrt[s]{a^{r}}=\sqrt[ns]{a^{ms-nr}}$

3. Potencia de una potencia.

$\large (a^{\frac{m}{n}})^{\frac{r}{s}}=a^{\frac{m}{n}.\frac{r}{s}}=a^{\frac{nr}{ns}}$

Equivalente a.

$\large \sqrt[s]{(\sqrt[n]{a^{m}})^{r}}=\sqrt[ns]{a^{mr}}$

4. Raíz de una potencia fraccionaria.

$\large \sqrt[\frac{r}{s}]{a^{\frac{m}{n}}}=a^{\frac{m}{n}:\frac{r}{s}}=a^{\frac{ms}{nr}}$

Forma radical.

$\large \sqrt[r]{(\sqrt[n]{a^{m}})^{s}}=\sqrt[nr]{a^{ms}}$

5. Producto de potencia entera y fraccionaria.

$\large a^{m} .\, a^{\frac{r}{s}}=a^{m+\frac{r}{s}}=a^{\frac{ms+r}{s}}$

Equivale a.

$\large \sqrt[s]{a^{ms}}.\, \sqrt[s]{a^{r}}=\sqrt[s]{a^{ms+r}}$

6. Producto de potencia fraccionaria y entera.

$\large a^{\frac{m}{n}}.\, a^{r}=a^{\frac{m}{n}+r}=a^{\frac{m+nr}{n}}$

Forma radical.

$\large \sqrt[n]{a^{m}}.\, \sqrt[n]{a^{nr}}=\sqrt[n]{a^{m+nr}}$

Exponentes negativos.

Recordemos que.

$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$

Productos de exponentes negativos.

$\large a^{-m}.\, a^{-n}=a^{-m-n}=a^{-(m+n)}$

Producto de exponente negativo y positivo.

$\large a^{-3}.\, a^{n}=a^{-m+n}$

División entre exponente positivo y negativo.

$\large a^{m}:a^{-n}=a^{m-(-n)}=a^{m+n}$

Potencia con exponente negativo.

$\large (a^{m})^{-n}=\frac{1}{(a^{m})^{n}}=\frac{1}{a^{mn}}=a^{-mn}$

Raíz con índice negativo.

$\large \sqrt[-n]{a^{m}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=a^{-\frac{m}{n}}$

Recuerda:

• El exponente fraccionario representa una raíz.
• El exponente negativo indica inverso.
• Las reglas de los exponentes son siempre las mismas, independientemente de que sean enteros, fraccionarios o negativos.

Practique con algunos ejercicios…

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