Operaciones con exponentes fraccionarios o negativos

Según está entendido, en ÁLGEBRA una letra puede representar cualquier cantidad, sea entera, fraccionaria, positiva o negativa; luego las mismas reglas que dijimos antes para la multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces, nos servirán en el caso de que los exponentes sean fraccionarios o negativos.
Además, recuérdese el significado del exponente negativo y exponente fraccionario.

Las operaciones con exponentes fraccionarios o negativos es algo muy común dentro del álgebra, pues con su notación podemos presentar de otra forma los radicales.

Operaciones con exponentes fraccionarios

1.º

\large a^{\frac{m}{n}}\, .\, a^{\frac{r}{s}}=a^{\frac{m}{n}+\frac{r}{s}}=a^{\frac{ms+nr}{ns}}    \large \leftrightarrow    \large \sqrt[n]{a^{m}}\, .\, \sqrt[s]{a^{r}}=\sqrt[ns]{a^{ms+nr}}
\large a^{\frac{m}{n}}\, .\, a^{\frac{r}{s}}=a^{\frac{m}{n}+\frac{r}{s}}=a^{\frac{ms+nr}{ns}}
puesto que:
\large \sqrt[n]{a^{m}}\, .\, \sqrt[s]{a^{r}}=\sqrt[ns]{a^{ms+nr}}

2.º

\large a^{\frac{m}{n}}:a^{\frac{r}{s}}=a^{\frac{m}{n}-\frac{r}{s}}=a^{\frac{ms+nr}{ns}}    \large \leftrightarrow    \large \sqrt[n]{a^{m}}:\sqrt[s]{a^{r}}=\sqrt[ns]{a^{ms-nr}}
\large a^{\frac{m}{n}}:a^{\frac{r}{s}}=a^{\frac{m}{n}-\frac{r}{s}}=a^{\frac{ms+nr}{ns}}
puesto que:
\large \sqrt[n]{a^{m}}:\sqrt[s]{a^{r}}=\sqrt[ns]{a^{ms-nr}}

3.º

\large (a^{\frac{m}{n}})^{\frac{r}{s}}=a^{\frac{m}{n}.\frac{r}{s}}=a^{\frac{nr}{ns}}    \large \leftrightarrow    \large \sqrt[s]{(\sqrt[n]{a^{m}})^{r}}=\sqrt[ns]{a^{mr}}
\large (a^{\frac{m}{n}})^{\frac{r}{s}}=a^{\frac{m}{n}.\frac{r}{s}}=a^{\frac{nr}{ns}}
puesto que:
\large \sqrt[s]{(\sqrt[n]{a^{m}})^{r}}=\sqrt[ns]{a^{mr}}

4.º

\large \sqrt[\frac{r}{s}]{a^{\frac{m}{n}}}=a^{\frac{m}{n}:\frac{r}{s}}=a^{\frac{ms}{nr}}    \large \leftrightarrow    \large \sqrt[r]{(\sqrt[n]{a^{m}})^{s}}=\sqrt[nr]{a^{ms}}
\large \sqrt[\frac{r}{s}]{a^{\frac{m}{n}}}=a^{\frac{m}{n}:\frac{r}{s}}=a^{\frac{ms}{nr}}
puesto que:
\large \sqrt[r]{(\sqrt[n]{a^{m}})^{s}}=\sqrt[nr]{a^{ms}}

5.º

\large a^{m} .\, a^{\frac{r}{s}}=a^{m+\frac{r}{s}}=a^{\frac{ms+r}{s}}    \large \leftrightarrow    \large \sqrt[s]{a^{ms}}.\, \sqrt[s]{a^{r}}=\sqrt[s]{a^{ms+r}}
\large a^{m} .\, a^{\frac{r}{s}}=a^{m+\frac{r}{s}}=a^{\frac{ms+r}{s}}
puesto que:
\large \sqrt[s]{a^{ms}}.\, \sqrt[s]{a^{r}}=\sqrt[s]{a^{ms+r}}

6.º

\large a^{\frac{m}{n}}.\, a^{r}=a^{\frac{m}{n}+r}=a^{\frac{m+nr}{n}}    \large \leftrightarrow    \large \sqrt[n]{a^{m}}.\, \sqrt[n]{a^{nr}}=\sqrt[n]{a^{m+nr}}
\large a^{\frac{m}{n}}.\, a^{r}=a^{\frac{m}{n}+r}=a^{\frac{m+nr}{n}}
puesto que:
\large \sqrt[n]{a^{m}}.\, \sqrt[n]{a^{nr}}=\sqrt[n]{a^{m+nr}}

Operaciones con exponentes negativos.

1.º

\large a^{-m}.\, a^{-n}=a^{-m-n}=a^{-(m+n)}    \large \leftrightarrow    \large \frac{1}{a^{m}}\, .\, \frac{1}{a^{n}}=\frac{1}{a^{m+n}}
\large a^{-m}.\, a^{-n}=a^{-m-n}=a^{-(m+n)}
puesto que:
\large \frac{1}{a^{m}}\, .\, \frac{1}{a^{n}}=\frac{1}{a^{m+n}}

2.º

\large a^{-3}.\, a^{n}=a^{-m+n}    \large \leftrightarrow    \large \frac{1}{a^{m }}\, .\, a^{n}=\frac{a^{n}}{a^{m}}
\large a^{-3}.\, a^{n}=a^{-m+n}
puesto que:
\large \frac{1}{a^{m }}\, .\, a^{n}=\frac{a^{n}}{a^{m}}

3.º

\large a^{m}:a^{-n}=a^{m-(-n)}=a^{m+n}    \large \leftrightarrow    \large a^{m}:\frac{1}{a^{n}}=a^{m}.\, a^{n}=a^{m+n}
\large a^{m}:a^{-n}=a^{m-(-n)}=a^{m+n}
puesto que:
\large a^{m}:\frac{1}{a^{n}}=a^{m}.\, a^{n}=a^{m+n}

4.º

\large (a^{m})^{-n}=a^{-mn}    \large \leftrightarrow    \large (a^{m})^{-n}=\frac{1}{(a^{m})^{n}}=\frac{1}{a^{mn}}=a^{-mn}
\large (a^{m})^{-n}=a^{-mn}
puesto que:
\large (a^{m})^{-n}=\frac{1}{(a^{m})^{n}}=\frac{1}{a^{mn}}=a^{-mn}

5.º

\large \sqrt[-n]{a^{m}}=a^{-\frac{m}{n}}    \large \leftrightarrow    \large \sqrt[-n]{a^{m}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=a^{-\frac{m}{n}}
\large \sqrt[-n]{a^{m}}=a^{-\frac{m}{n}}
puesto que:
\large \sqrt[-n]{a^{m}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=a^{-\frac{m}{n}}

Practique con algunos ejercicios…

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