Ecuaciones relacionadas con las de segundo grado

En este tema ampliaremos las ecuaciones de segundo grado, de ahí el título de ecuaciones relacionadas con las de segundo grado ya que se resuelven con técnica similares. Aquí aprenderemos:

   • Ecuaciones bicuadradas.
   • Ecuaciones irracionales.
   • Sistemas con ecuaciones de 2º grado

Ecuaciones bicuadradas.

Una ecuación bicuadrada es un tipo de ecuación en la que aparecen solo potencias pares de la incógnita, es decir, grados 4, 2 y 0. Su forma general es:

Su forma es:

$a x^{4} + b x^{2} + c = 0$

Método de resolución.

1. Se hace el cambio de variable.

$x^{2} = y$

2. Sustituimos en la ecuación:

$a y^{2} b y + c = 0$

3. Resolvemos la ecuación cuadrática en $y$ .

4.- Cada valor de $y$ da lugar a dos raíces de $x$ :

$x = \pm \sqrt{y}$

Ejemplo:

$x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$

Haciendo $y = x^2$ :

$y^{2} - 13 y + 36 = 0$

Aplicando la fórmula tendremos:

$\large x=\pm \sqrt{\frac{13\pm \sqrt{13^{2}-4.36}}{2}}$

Solución: x’ = 3 ; x’ ‘ = -3 ; x’ ‘ ‘ = 2 ; x’ ‘ ‘ ‘ = -2

Discusión.

1.º Si y tiene dos valores positivos, la ecuación bicuadrada tiene 4 raíces: dos positivas y dos negativas.

2.º Si y tiene un valor positivo y otro negativo, la ecuación bicuadrada tiene 4 raíces reales: una positiva y otra negativa y dos imaginarias.

3.º Si y tiene sus dos valores negativos o imaginarios, las cuatro raíces de la ecuación bicuadrada son imaginarias.

Ecuaciones irracionales.

Ecuación irracional.- Es aquella en que la incógnita está debajo de radical (como una raíz cuadrada).

Método de resolución.

   • Se pasa el término con la raíz a un lado.
   • Se eleva al cuadrado para eliminar el radical.
   • Se resuelve la ecuación resultante.

Es importante comprobar que las soluciones halladas satisfacen la ecuación original (porque al elevar al cuadrado se pueden introducir soluciones extrañas).

Ejemplo:

$\large x-2\sqrt{x}=15$

1. Pasamos a un miembro el término en el que la incógnita está bajo el radical y al otro los demás términos.

2. Se elevan ambos miembros al cuadrado con el fin de hacer desaparecer los radicales y luego se procede como en los caso anteriores.

3. Hay que comprobar si las raíces halladas satisfacen la expresión inicial.

$\large x-15=2\sqrt{x}\: \: \: ;\: \: \: x^{2}-30x+225=4x$

$\large x^{2}-34x+225=0\: \: \: ;\: \: \: x=25\: ;\: x'=9$

La raiz x’ ‘ = 9 no satisface a (1), se rechaza.

Solución: x = 25

Sistemas de ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas.

Una sistema de ecuaciones de segundo grado es aquel en el que al menos una ecuación es de segundo grado y hay dos incógnitas.

Método general.

El método más frecuente para resolver este tipo de sistemas es sustitución:

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Se obtiene una ecuación de una sola variable que se resuelve.
3. Con ese valor se vuelve a una de las ecuaciones para hallar la otra incógnita.
4. El método general de resolución de estos sistemas es el de sustitución.

En muchos casos es ventajoso el empleo de artificios de cálculo.

Ejemplo 1.

$\large y^{2}-2x^{2}-7=\: \: \: \: 0$

$\large 2x\: \: -y=-1$

Despejando y en la primera ecuación tenemos:

$\large y=2x-1$

Sustituyendo en la segunda tenemos:

$\large (2x+1)^{2}-2x^{2}-7=0$

$\large x^{2}+2x^{2}-3=0$

$\large x=1\, \rightarrow \, y=2.1+1=3$

$\large x'=-3\, \rightarrow \, y'=2(-2)+1=-5$

Soluciones:
x = 1 y = 2 .1 + 1 = 3
x’ = -3 y’ = 2 ( -3 ) +1 = -5

Ejemplo 2.

$\large x+\sqrt{xy}+y=13$

$\large x\, y=9$

Podemos emplear como en el ejemplo anterior el método de sustitución , con todo, en éste y en los ejercicios siguientes utilizaremos artificios de cálculo.

En ecuaciones complejas del sistema puede ser útil:

   • Sumar o restar ecuaciones.
   • Multiplicar por constantes.
  • Reorganizar términos para formar sistemas más sencillos.

Al aplicar estas técnicas, puedes convertir el sistema inicial en variantes más fáciles de resolver.

Llevando el valor de xy a la primera ecuación, da: x + y = 10

Con la primera y tercera formamos el sistema:

$\large x+y=10$

$\large x \, y=9$

Conocemos la suma, 10, y el producto, 9, de dos números; estas son las raices de la ecuación:

$\large z^{2}-Sz+P=0$

$\large z^{2}-10x+9=0\: \: \: ;\: \: \: z=9\: ;\: z'=1$

La soluciones son: x = 9 e y =1 y x’=1 e y’ = 9

Ejemplo 3.

$\large x-y=\: \: 3\: \: \: \: \: (1)$

$\large xy=40\: \: \: \: \: (2)$

Modo 1: Haciendo — y = u el sistema se convierte en :

$\large x+u=\: \: 3$

$\large xu=-40$

Los valores de x y de u son las raíces de la ecuación:

$\large z^{2}-3z-40=0\: \: \: ;\: \: \: z=8\: \: ;\: \: z'=-5$

Se puede tomar para x cualquiera de los valores, por tanto:

Modo 2: Elevamos (1) al cuadrado:

$\large x^{2}+y^{2}-2xy=9$

Le sumamos 4 veces (2), es decir: 4xy=160

$\large x^{2}+y^{2}+2xy=169$

$\large (x+y)^{2}=169$

$\large x+y=\pm 13\: \: \: \: \: (3)$

Comparando (1) con (3) se forman dos sistemas:

$\large x-y=\: \: 3$

$\large x+y=13$

$\large x=8\: \: \: ;\: \: \: x'=5$

$\large x-y=\: \: 3$

$\large x+y=-13$

$\large x'=-5\: \: \: ;\: \: \: y'=-8$

Ejemplo 4.

$\large x+y=\: \: 5\: \: \: \: \: (1)$

$\large x^{2}+y^{2}=13\: \: \: \: \: (2)$

Elevamos (1) al cuadrado y le restamos (2)

$\large x^{2}+y^{2}+2xy-x^{2}y^{2}=15-13$

$\large 2xy=12\: \: \: ;\: \: \: xy=6$

de esta manera conocemos la suma y el producto de las incógnitas

$\large x+y=5\: \: \: ;\: \: \: xy=6$

Estas incógnitas son, por lo tanto, las raíces dela ecuación:

$\large z^{2}-5z+6=0\: \: \: ;\: \: \: z=3\: \: ;\: z'=2$

1ª solución x = 3; y’ = 2
2ª solución x’ = 2; y’ = 3

Ejemplo 5.

$\large x^{2}+y^{2}=65\: \: \: \: \: (1)$

$\large xy=28\: \: \: \: \: (2)$

Modo 1: Sumemos a (1) el doble de (2):

$\large x^{2}+y^{2}+2xy=64+(28.2)=121$

$\large x+y=\pm 11\: \: \: \: \: (3)$

Con (2)y (3) se forman dos sistemas que dan por soluciones.

$\large x+y=11$

$\large xy=28$

$\large \: x=7\; \; ;\; \; y=4$

$\large x+y=-11$

$\large xy=28$

$\large x'=-7\: \: ;\: \: y'=-4$

Modo 2: Sumando y restando a (1) el doble de (2) tendremos:

$\large x^{2}+y^{2}+2xy=121$

$\large x^{2}+y^{2}-2xy=\: \: 9$

$\large (x+y)^{2}=121$

$\large (x-y)^{2}=\: \: 9$

$\large x+y=\pm 11\: \: \: \: \: (3)$

$\large x-y=\pm \: \: 3\: \: \: \: \: (4)$

Con (3) y (4) se forman 4 sistemas que dan por soluciones:

$\large x+y=11$

$\large x-y=\: \: 3$

$\large x_{1}=7\: \: ;\: \: y_{1}=4$

$\large x+y=\: 11$

$\large x-y=-3$

$\large x_{2}=4\: \: ;\: \: y_{2}=7$

$\large x+y=-11$

$\large x-y=\: \: 3$

$\large x_{3}=-4\: \: ;\: \: y_{3}=-7$

$\large x+y=-11$

$\large x-y=\: -3$

$\large x_{4}=-7\: \: ;\: \: y_{4}=-4$

Recuerda:

Una ecuación bicuadrada se convierte en cuadrática mediante $y = x^2$ .
Las ecuaciones irracionales requieren elevar al cuadrado y comprobar soluciones.
En sistemas con una ecuación de segundo grado, suele utilizarse el método de sustitución.
En sistemas más complejos, artificios algebraicos facilitan la resolución paso a paso.

Practique con algunos ejercicios…

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