Ecu. relacionadas con las de 2º grado

Ecu. relacionadas con las de 2º grado.

Ecuaciones bicuadradas.

Ecuación bicuadrada.- Es la ecuación de 4.º grado que no contiene más que las potencias pares de la incógnita.

Su forma es:

\large ax^{4}+bx^{2}+c=0

Resolución:    En la ecuación    ax4 + bx2 + c = 0

si hacemos que:

\large x^{2}=y

de donde:

\large x=\pm \sqrt{y}

Tendremos    ay2 + by + c = 0

\large y=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

\large x=\pm \sqrt{\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}

Y sus cuatro raíces son:

\large x'=+\sqrt{\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}
\large x''=+\sqrt{\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}
\large x'''=-\sqrt{\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}
\large x''''=-\sqrt{\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}

Ejemplo:  Resolver la ecuación:   x413x2 + 36 = 0

Aplicando la fórmula tendremos:

\large x=\pm \sqrt{\frac{13\pm \sqrt{13^{2}-4.36}}{2}}

Solución: x’ = 3  ;  x’ ‘ = -3  ;  x’ ‘ ‘ = 2  ;  x’ ‘ ‘ ‘ = -2

Discusión.

1.º Si  y  tiene dos valores positivos, la ecuación bicuadrada tiene 4 raíces: dos positivas y dos negativas.

2.º Si  y  tiene un valor positivo y otro negativo, la ecuación bicuadrada tiene 4 raíces reales: una positiva y otra negativa y dos imaginarias.

3.º Si  y  tiene sus dos valores negativos o imaginarios, las cuatro raíces de la ecuación bicuadrada son imaginarias.

Ecuaciones irracionales.

Ecuación irracional.- Es aquella en que la incógnita está debajo de radical.

Para resolverlas, el método más corriente es el siguiente:

1.º Se pasa a un miembro el término en que la incógnita esté bajo radical y al otro los demás términos.

2.º Se elevan ambos miembros al cuadrado con el fin de hacer desaparecer los radicales, y luego se procede como en los casos anteriores.

3.º Hay que comprobar si las raíces halladas satisfacen a la ecuación inicial.

Ejemplo:

\large x-2\sqrt{x}=15

1.º.- Pasamos a un miembro el término en el que la incógnita está bajo el radical y al otro los demás términos.

2.º.- Se elevan ambos miembros al cuadrado con el fin de hacer desaparecer los radicales y luego se procede como en los caso anteriores.

3.º.- Hay que comprobar si las raíces halladas satisfacen la expresión inicial.

\large x-15=2\sqrt{x}\: \: \: ;\: \: \: x^{2}-30x+225=4x
\large x^{2}-34x+225=0\: \: \: ;\: \: \: x=25\: ;\: x'=9

La raiz   x’ ‘  =  9   no satisface a (1), se rechaza.

Solución:   x  =  25

Sistemas de ecuaciones de 2.º grado con dos incógnitas.

Sistema de ecuaciones de 2º grado.- Son aquellas que por lo menos una de las ecuaciones es de 2º grado.

El método general de resolución de estos sistemas es el de sustitución.

En muchos casos es ventajoso el empleo de artificios de cálculo.

Ejemplo I. Resolver:

\large y^{2}-2x^{2}-7=\: \: \: \: 0
          \large 2x\: \: -y=-1

Despejando y en la primera ecuación tenemos:

\large y=2x-1

Sustituyendo en la segunda tenemos:

\large (2x+1)^{2}-2x^{2}-7=0
\large x^{2}+2x^{2}-3=0
\large x=1\, \rightarrow \, y=2.1+1=3
     \large x'=-3\, \rightarrow \, y'=2(-2)+1=-5

Soluciones:
x    = 1        y   = 2 .1  +  1 =   3
x’ =  -3      y’ = 2 ( -3 ) +1 = -5

Ejemplo II. Resolver:

\large x+\sqrt{xy}+y=13
                   \large x\, y=9

Podemos emplear como en el ejemplo anterior el método de sustitución , con todo, en éste y en los ejercicios siguientes utilizaremos artificios de cálculo.

Llevando el valor de   xy   a la primera ecuación, da:     x + y = 10

Con la primera y tercera formamos el sistema:

\large x+y=10
   \large x \, y=9

Conocemos la suma, 10, y el producto, 9, de dos números; estas son las raices de la ecuación:

\large z^{2}-Sz+P=0
                                      \large z^{2}-10x+9=0\: \: \: ;\: \: \: z=9\: ;\: z'=1

La soluciones son:   x = 9   e   y =1     y     x’=1   e   y’ = 9

Ejemplo III. Resolver:

\large x-y=\: \: 3\: \: \: \: \: (1)
      \large xy=40\: \: \: \: \: (2)

Modo 1: Haciendo    — y = u    el sistema se convierte en :

\large x+u=\: \: 3
           \large xu=-40

Los valores de    x    y de    u    son las raices de la ecuación:

\large z^{2}-3z-40=0\: \: \: ;\: \: \: z=8\: \: ;\: \: z'=-5

Se puede tomar para    x    cualquiera de los valores, por tanto:

Modo 2: Elevamos (1) al cuadrado:

\large x^{2}+y^{2}-2xy=9

Le sumamos 4 veces (2), es decir:    4xy=160

\large x^{2}+y^{2}+2xy=169
            \large (x+y)^{2}=169
                               \large x+y=\pm 13\: \: \: \: \: (3)

Comparando (1) con (3) se forman dos sistemas:

\large x-y=\: \: 3
\large x+y=13
\large x-y=\: \: 3
     \large x+y=-13
\large x=8\: \: \: ;\: \: \: x'=5\large x'=-5\: \: \: ;\: \: \: y'=-8

Ejemplo IV. Resolver:

   \large x+y=\: \: 5\: \: \: \: \: (1)
\large x^{2}+y^{2}=13\: \: \: \: \: (2)

Elevamos (1) al cuadrado y le restamos (2)

\large x^{2}+y^{2}+2xy-x^{2}y^{2}=15-13
\large 2xy=12\: \: \: ;\: \: \: xy=6

de esta manera conocemos la suna y el producto de las incógnitas

\large x+y=5\: \: \: ;\: \: \: xy=6

Estas incógnitas son, por lo tanto, las raíces dela ecuación:

\large z^{2}-5z+6=0\: \: \: ;\: \: \: z=3\: \: ;\: z'=2

1ª solución   x   =  3;     y’  =  2
2ª solución   x’ =  2;    y’ =  3 

Ejemplo V. Resolver:

\large x^{2}+y^{2}=65\: \: \: \: \: (1)
          \large xy=28\: \: \: \: \: (2)

Modo 1: Sumemos a (1) el doble de (2):

                 \large x^{2}+y^{2}+2xy=64+(28.2)=121
\large (x+y)^{2}=121
                   \large x+y=\pm 11\: \: \: \: \: (3)

Con (2)y (3) se forman dos sistemas que dan por soluciones.

\large x+y=11
      \large xy=28
\large x+y=-11
   \large xy=28
\large \: x=7\; \; ;\; \; y=4\large x'=-7\: \: ;\: \: y'=-4

Modo 2: Sumando y restando a (1) el doble de (2) tendremos:

  \large x^{2}+y^{2}+2xy=121
\large x^{2}+y^{2}-2xy=\: \: 9

  \large (x+y)^{2}=121
\large (x-y)^{2}=\: \: 9

\large x+y=\pm 11\: \: \: \: \: (3)
\large x-y=\pm \: \: 3\: \: \: \: \: (4)

Con (3) y (4) se forman 4 sistemas que dan por soluciones:

\large x+y=11
\large x-y=\: \: 3
 \large x+y=\: 11
  \large x-y=-3
\large x_{1}=7\: \: ;\: \: y_{1}=4\large x_{2}=4\: \: ;\: \: y_{2}=7
   \large x+y=-11
\large x-y=\: \: 3
\large x+y=-11
\large x-y=\: -3
\large x_{3}=-4\: \: ;\: \: y_{3}=-7\large x_{4}=-7\: \: ;\: \: y_{4}=-4

Practique con algunos ejercicios…

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