Ecu. relacionadas con las de 2º grado

I.- Ecuaciones bicuadradas

Ecuación bicuadrada.- Es la ecuación de 4º grado que no contiene más que las potencias pares de la incógnita.

Su forma es:

  ax^{4}+bx^{2}+c=0  

Resolución:    En la ecuación    ax4 + bx2 + c = 0

  hagamos    x2  =  y de donde x\pm \sqrt{y}    

Tendremos    ay2 + by + c = 0

  y=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}  
  x=\pm \sqrt{\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}  

Y sus cuatro raices son:

x=+\sqrt{\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}} x'=+\sqrt{\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}
   
x'''=-\sqrt{\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}} x''''=-\sqrt{\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}

Ejemplo:  Resolver la ecuación:   x413x2 + 36 = 0

Aplicando la fórmula tendremos:

  x=\pm \sqrt{\frac{13\pm \sqrt{13^{2}-4.36}}{2}}  
     

Solución: x’ = 3  ;  x’ ‘ = -3  ;  x’ ‘ ‘ = 2  ;  x’ ‘ ‘ ‘ = -2

Discusión.

1.º Si  y  tiene dos valores positivos, la ecuación bicuadrada tiene 4 raices: dos positivas y dos negativas.

2.º Si  y  tiene un valor positivo y otro negativo, la ecuación bicuadrada tiene 4 raices reales: una positiva y otra negativa y dos imaginarias.

3.º Si  y  tiene sus dos valores negativos o imaginarios, las cuatro raices de la ecuación bicuadrada son imaginarias.

II.- Ecuaciones irracionales

Ecuación irracional.- Es aquella en que la incógnita está debajo de radical.

Para resolverlas, el método más corriente es el siguiente:

1.º Se pasa a un miembro el término en que la incognita esté bajo radical y al otro los demás términos.

2.º Se elevan ambos miembros al cuadrado con el fin de hacer desaparecer los radicales, y luego se procede como en los casos anteriores.

3.º Hay que comprobar si las raices halladas satisfacen a la ecuación inicial.

Ejemplo:

  x-2\sqrt{x}=15 (1)
  x-15=2\sqrt{x} ; x^{2}-30x+224=4x  
  x^{2}-34x+225=0 ; \bg_black x_{1}=25\: \: \: ;\: \: \: x_{2}=9  

La raiz   x’ ‘  =  9   no satisface a (1), se rechaza.

Solución:   x  =  25

III.- Sistemas de ecuaciones de 2º grado con dos incógnitas

Sistema de ecuaciones de 2º grado.- Son aquellas que por lo menos una de las ecuaciones es de 2º grado.

El método general de resolución de estos sistemas es el de sustitución.

En muchos casos es ventajoso el empleo de artificios de cálculo.

Ejemplo I. Resolver:

  2x-y=-1 (1)
  y^{2}-2x^{2}-7=0 (2)

Despejando y en (1) tenemos:

  y=2x+1  

Sustituyendo en (2) tenemos:

  \begin{matrix} (2x+1)^{2}-2x^{2}-7=0\\ \\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x^{2}+2x^{2}-3=0 \end{matrix}\left\{\begin{matrix} \; \; \; x'=1\\ \\ x''=-3 \end{matrix}\right.=0\left\{\begin{matrix} x'\\ \\ x'' \end{matrix}\right.  
     

Soluciones:
x’    = 1        y’   = 2 .1  +  1 =   3
x’ ‘ =  -3      y’ ‘ = 2 ( -3 ) +1 = -5

Ejemplo II. Resolver:

  x+\sqrt{xy}+y=13 (1)
  xy=9 (2)

Podemos emplear como en el ejemplo anterior el método de sustitución , con todo, en éste y en los ejercicios siguientes utilizaremos artificios de cálculo.

Llevando el valor de   xy   a (1) da:     x+y=10            (3)

Con (2) y (3) formamos el sistema:

  x+y=10  
  xy=9  

Conocemos la suma, 10, y el producto, 9, de dos números; estas son las raices de la ecuación:

Ejemplo III. Resolver:

  x-y=3  
  xy=40  

Modo 1: Haciendo    – y = u    el sistema se convierte en :

  x+u=3  
  zu=-40  

Los valores de    x    y de    u    son las raices de la ecuación:

  z^{2}-3z-40=0\: \: \rightarrow \: \: z'=8\; \; \; z''=-5  

Se puede tomar para    x    cualquiera de los valores, por tanto:

Modo 2: Elevamos (1) al cuadrado:

  x^{2}+y^{2}-2xy=9  

Le sumamos 4 veces (2), es decir:    4xy=160

  x^{2}+y^{2}+2xy=169  
  (x+y)^{2}=169  
  \bg_black x+y= \pm 13  

Comparando (1) con (3) se forman dos sistemas:

1.º \left\{\begin{matrix} x-y=\: \: \: \: 3\\ \\ x+y=\: \: 13 \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x'=8\\ \\ y'=5 \end{matrix}\right.
     
2.º \left\{\begin{matrix} x-y=\: \:\: \: \: 3\\ \\ x+y=-13 \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x''=-5\\ \\ y''=-8 \end{matrix}\right.

Ejemplo IV. Resolver:

  x+y=5 (1)
  x^{2}+y^{2}=13 (2)

Elevamos (1) al cuadrado y le restamos (2)

  x^{2}+y^{2}+2xy-x^{2}-y^{2}=25-13  
  2xy=12\: \: \: \: \:;\: \: \: \: \: xy=6  

de esta manera conocemos la suna y el producto de las incógnitas

  x+y=5\; \; \; \; \; ;\; \; \; \; \; xy=6  

Estas incógnitas son, por lo tanto, las raíces dela ecuación:

1ª solución   x’   =  3;     y’  =  2
2ª solución   x’ ‘ =  2;    y’ ‘ =  3 

Ejemplo V. Resolver:

  x^{2}+y^{2}=65 (1)
  xy=28 (2)

Modo 1: Sumemos a (1) el doble de (2):

  x^{2}+y^{2}+2xy=65+28.2=121  
  (x+y)^{2}=121\: \; \; \; \; \; ;\; \; \; \; \; x+y=\pm 11  

Con (2)y (3) se forman dos sistemas que dan por soluciones.

1.º \left\{\begin{matrix} x+y=11\\ \\ \: \: \: \: \: xy=25 \end{matrix}\right. obtenemos \left\{\begin{matrix} x=7\\ \\ x=4 \end{matrix}\right. o bien \left\{\begin{matrix} x_{1}=4\\ \\ y_{1}=7 \end{matrix}\right.
           
  \left\{\begin{matrix} x+y=-11\\ \\ xy=28 \end{matrix}\right. obtenemos \left\{\begin{matrix} x_{2}=-7\\ \\ y_{2}=-4 \end{matrix}\right. o bien \left\{\begin{matrix} x_{3}=-4\\ \\ y_{3}=-7 \end{matrix}\right.

Modo2: Sumando y restando a (1) el doble de (2) tendremos:

\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+2xy=121\\ \\ x^{2}-y^{2}-2xy=9 \end{matrix}\right.   \left\{\begin{matrix} (x+y)^{2}=121\\ \\ (x-y)^{2}=9 \end{matrix}\right.

de donde obtenemos:

  x+y=\pm 11 (3)
  x-y=\pm 3 (4)

Con (3) y (4) se forman 4 sistemas que dan por soluciones:

1.º \left\{\begin{matrix} x+y=11\\ \\ x-y=\: \: 3 \end{matrix}\right. da \left\{\begin{matrix} x_{1}=7\\ \\ y_{1}=4 \end{matrix}\right.
       
2.º \left\{\begin{matrix} x+y=11\\ \\ x-y=-3 \end{matrix}\right. da \left\{\begin{matrix} x_{2}=4\\ \\ y_{2}=7 \end{matrix}\right.
       
3.º \left\{\begin{matrix} x+y=-11\\ \\ x-y=\: \: \:\: \: 3 \end{matrix}\right. da \left\{\begin{matrix} x_{3}=-4\\ \\ y_{3}=-7 \end{matrix}\right.
4.º \left\{\begin{matrix} x+y=-11\\ \\ x-y=\: \: -3 \end{matrix}\right. da \left\{\begin{matrix} x_{4}=-7\\ \\ y_{4}=-4 \end{matrix}\right.