Sistemas de primer grado con dos incógnitas

Todos los sistemas de primer grado con dos incógnita se reducen a la forma , en la que a, b y k son cantidades constantes y conocidas, x e y son las incógnitas.

Sistema de ecuaciones con dos incógnita.

Cuando se consideran dos o más ecuaciones que deben de cumplirse simultáneamente para los mismos valores de las incógnitas se dice que forma un sistemas de primer grado con dos incógnitas.

Definición de sistemas de ecuaciones.

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que se resuelven con los mismos valores de las incógnitas.
Resolver un sistema consiste en hallar los valores de las incógnitas que verifican todas las ecuaciones a la vez.

Tipos de sistemas de ecuaciones.

Un sistema de ecuaciones de primer grado pueden ser determinado, indeterminado e imposible.

Sistema determinado.

Sistema determinado es el que tiene una única solución.

Ejemplo:

Solución única.

Sistema indeterminado.

Sistema indeterminado tiene un número infinito de soluciones.

Ambas ecuaciones representan la misma recta, por lo que existen infinitas parejas solución, como:

Sistema imposible.

Sistema imposible es el que no tiene ninguna solución.

No hay ningún par (x e y) que satisfagan ambas ecuaciones simultáneamente.

Conceptos previos.

   • Despejar una incógnita consiste en expresar su valor en función de la otra.
   • Eliminar una incógnita consiste en transformar el sistema en otro equivalente donde solo aparezca una incógnita.

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones.

Los métodos más habituales son tres:

Método de sustitución.
Método de igualación.
Método de reducción.

Método de sustitución.

Consiste en despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra.

Pasos:

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Se igualan las dos expresiones obtenidas.
3. Se sustituye este valor en la otra ecuación.
4. Se obtiene así una ecuación con una sola incógnita.
5. Se resuelve y se sustituye el valor hallado para obtener la otra incógnita.

Ejemplo:

Despejando x en la primera ecuación:

Sustituimos en la segunda:

$5\left(\frac{5x+35}{2}\right)–4y=16$

Resolviendo:

$25+15y–8y=32 \Rightarrow y=1$

Sustituyendo en la primera:

Solución:   x=4   e   y=1

Método de igualación.

Es una variante del método de sustitución.

Pasos:

1. Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones.
2. Se igualan las dos expresiones obtenidas.
3. Se resuelve la ecuación obtenida.
4. Se sustituye el valor hallado para obtener la otra incógnita.

Ejemplo;

Despejamos x :

Igualamos:

$\frac{17–5y}{4}=\frac{7+2y}{3}$

Resolviendo:

$51–15y=28+8y \Rightarrow 23=23y \Rightarrow y=1$

Sustituyendo:

$x=3$

Solución: x = 3 e y = 1

Eliminación por reducción.

Consiste en eliminar una incógnita sumando o restando las ecuaciones.

Pasos:

1. Se multiplican las ecuaciones para que los coeficientes de una incógnita sean iguales (o opuestos).
2. Se suman o restan las ecuaciones.
3. Se resuelve la ecuación resultante.
4. Se sustituye para hallar la otra incógnita.

Ejemplo:

Multiplicandos.

• La primera ecuación por 3.
• La segunda ecuación por 2.

Sumando.

Sustituyendo:

$y=2$

Solución: x=3 e y=2

Practique con algunos ejercicios…

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