Sistemas de primer grado con dos incógnitas

Toda ecuación de primer grado con dos incógnita se reduce a la forma ax+by=k, en la que a, b y k son cantidades constantes y conocidas, x e y son las incógnitas. Este tipo de ecuaciones forma parte de los sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

Sistema de ecuaciones con dos incógnita.

Cuando hay varias ecuaciones distintas que se resuelven con los mismos valores de las incógnitas al conjunto de dichas ecuaciones de le llama sistema, en nuestro caso sistemas de primer grado con dos incógnitas.

Clases de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.

Un sistema de ecuaciones puede ser determinado, indeterminado e imposible.

Sistema determinado es el que tiene un número limitado de soluciones.

\large 5x-3y=14
\large 7x+6y=40
tiene como únicas soluciones
\large x=4\: ;\: y=2

Sistema indeterminado es aquel que tiene un número infinito de soluciones.

\large 3x-\: y=\: 5
\large 6x-2y=10

cuyas soluciones son las parejas de valores:

\large x=\: \: \: 0
\large y=-5
\large x=\: \: \: 1
\large y=-2
\large x=2
\large y=1
……
……

Sistema imposible es el que no tiene ninguna solución.

\large 3x-2y=\: \: 8
\large 6x-4y=26

No hay ningún par de valores que satisfagan a la vez ambas ecuaciones.

Eliminar una incógnita en un sistema de ecuaciones es transformarlo en otro sistema equivlaente en la que no aparezca dicha incógnita.

Despejar una incógnita es hallar el valor de dicha incógnita en función de otras cantidades.

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones.

Los más ordinarios son tres: por sustitución, por igualación y por reducción.

Eliminación por sustitución.

Este método de sustitución consiste en reemplazar en una cualquiera de las ecuaciones una de la incógnitas por su valor despejado en la otra ecuación.

1.º Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de la ecuaciones.

2.º Se sustituye este valor en la otra ecuación.

Se tiene así una ecuación con una sola incógnita.

Se resuelve esta ecuación y el valor hallado de su incógnita se lleva a la otra ecuación, la cual. una vez resuelta, tendremos el valor de cada una de las incógnita que satisfacen al sistema.

Sea el sistema por sustitución:

\large a\: x+b\: y=k      \large (1)
\large a'x\: +b'y=k'    \large (2)

Despejando x en (2), tendremos:

\large a'x=k'-b'y\: \: \: ;\: \: \: x=\frac{k'-b'y}{a'}

llevando este valor de x a la ecuación (2), tendremos:

\large a\left ( \frac{k'-b'y}{a'} \right )+by=k

que, resuelta, da sucesivamente:

\large ak'-ab'y+a'by=a'k\, \, ;\, \, ak'-a'k=ab'y-a'by
\large ak'-a'k=y(ab'-a'b)
\large y=\frac{ak'-a'k}{ab'-a'b}

Reemplazando   y   por este valor en la ecuación (1) da:

\large ax+b\left ( \frac{ak'-a'k}{ab'-a'b} \right )=k
\large ax(ab'-a'b)+ax+abk'-a'bk=ab'k-a'bk
\large ax(ab'-a'b)=ab'k-abk'
\large x(ab'-a'b)=b'k-bk'
\large x=\frac{b'k-bk'}{ab'-a'b}

Aplicando lo anterior a un sistema de ecuaciones numéricas:

\large 2x-3y=\: 5
\large 5x-4y=16

Despejando x en la ecuación (1), tendremos:

\large x=\left ( \frac{5+3y}{2} \right )

Levando este valor a la ecuación (2), nos queda:

\large 25+15y-8y=32\: \: ;\: \: y=1

Llevando este valor de ya la ecuación (1), tenemos:

\large x=\frac{5-3y}{2}=\frac{5+3\, .\, 1}{2}\: \: ;\: \: x=4

x = 4 e y = 1, valores que satisfacen la ecuación.

Eliminación por igualación.

Este método de eliminación por igualación consiste en hallar una igualdad cuyos dos miembros expresan el valor de una misma incógnita. Para ello:

1º Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones.

2º Se igualan los resultados obtenidos.

Con esto se tiene una ecuación con una sola incógnita cuyo valor se hallará resolviendo la ecuación.

Para hallar el valor de la 2ª incógnita se reemplaza el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones del sistema y se resuelve.

\large a\: x+b\: y=k
\large a'x+b'y=k'

Despejamos x en ambas ecuaciones:

\large x=\frac{k-by}{a}\: \: ;\: \: x=\frac{k'-b'y}{a'}

Estos dos valores iguales de x dan la ecuación:

\large \frac{k-by}{a}=\frac{k'-b'y}{a'}

Resolviendo la ecuación tenemos:

\large a'k-a'by=ak'-ab'y\: \: ;\: \: ab'y-a'by=ak'-a'k
\large ab'-a'b=ak'-a'k
\large y=\frac{ak'-a'k}{ab'-a'b}

Para hallar el valor de la otra incógnita se procede como en el caso anterior.

Aplicación a un sistema de ecuaciones numérica.

\large 4x+5y=17
\large 3x-2y=\; 7

Despejamos x en ambas ecuaciones

\large x=\frac{17-5y}{4}\: \: ;\: \: x=\frac{7+2y}{3}

Resolviendo tenemos:

\large 51-15y=28+8y\: \: ;\: \: 51-28=8y+15y
\large 23=23y\: \: ;\: \: y=1

Este valor llevado a la ecuación primera da:

\large 4x+5=17\: \: ;\: \: 4x=17-5
\large 4x=12\: \: ;\: \: x=3

Por tanto, x = 3 e y = 1, valores que satisfacen al sistema.

Podemos decir que este método de igualación es una variante del método por sustitución.

Eliminación por reducción.

Este método de eliminación por reducción consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en las dos ecuaciones. Para ello:

1º Se multiplicanlos dos miembros de cada ecuación por el coeficiente que en la otra tenga la incógnita que se quiere hacer desaparecer.

2º Si los coficientes igualados tienen signos contrarios se suman miembro a miembro las nuevas ecuaciones, si tienen signos iguales, se restan.

Hechas esta operaciones queda una ecuación con una sola incógnita, que resolvemos por el procedimiento ordinario.

\large a\; x+by=k\; \; \; \; \; (1)
\large a'x+b'y=k'\; \; \; \; \; (2)

Multiplicando (1) por a’ y (2) por a dan respectivamente.

\large a'ax+a'by=a'k\: \: ;\: \: aa'x+ab'y=ak'

Restando miembro a miembro se reduce a:

\large ab'y-a'by=ak'-a'k\: \: ;\: \: y(ab'-a'b)=ak'-a'k
\large y=\frac{ak'-a'k}{ab'-a'b}

El valor de la otra incógnita se halla como en el primer caso.

Aplicación a un sistema de ecuaciones numéricas:

\large 5x-2y=11
\large \; x+3y=9

Multiplicando la primera por 3 y la segunda por 2, se tiene:

\large 15x-6y=33
\large \: \: 2x+6y=18

Sumando miembro a miembros se reduce a

\large 17x=51\: \: ;\: \: x=3

Reemplazando x por su valor en cualquiera de las ecuaciones hallaremos que y = 2.

Por tanto, x = 3 e y = 2, valores que satisfacen al sistema.

Practique con algunos ejercicios…

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