Fracciones algebraicas

Las fracciones algebraicas es el cociente indicado de dos cantidades, de las cuales una por lo menos es literal.
Se diferencia de la división en que no asigna una operación que se deba de efectuar sino un cociente expresado en forma implícita.

Fracciones algebraicas y fracciones aritméticas

En Aritmética se estudian las operaciones con fracciones numéricas.
En Álgebra, además de la cantidad, hay que tener en cuenta la naturaleza algebraica de los términos.

Las reglas que se aplican a las fracciones aritméticas se extienden a las fracciones algebraicas, considerando ahora cantidades literales.

A continuación se recuerdan los principios y reglas fundamentales aplicándolos a las fracciones algebraicas.

Propiedad fundamental de las fracciones.

Si se multiplican o dividen el numerador y el denominador de una fracción por una misma cantidad distinta de cero, la fracción no varía.

Ejemplo 1º.

$\large \frac{5ax^{2}}{8a^{2}x^{3}}=$ $\large \frac{5ax^{2}\: .\: 3a^{2}x}{8a^{2}x^{3}\: .\: 3a^{2}x}=$ $\large \frac{15a^{3}x^{3}}{24a^{4}x^{4}}$

Ejemplo 2º.

$\large \frac{12a^{2}b^{3}c}{16ab^{2}c^{2}}=$ $\large \frac{4ab^{2}c\: .\: 3ab}{4ab^{2}c\: .\: 4c}=$ $\large \frac{3ab}{4c}$

Simplificación de fracciones.

Para simplificar una fracción algebraica se suprimen los factores comunes del numerador y del denominador.

Ejemplo 1º.

$\large \frac{15a^{3}b^{2}c}{20a^{3}b^{3}c^{4}}=$ $\large \frac{5a^{2}b^{2}c\: .\: 3a}{5a^{2}b^{2}c\: .\: 4abc^{3}}=$ $\large \frac{3a}{4abc^{3}}$

Ejemplo 2º.

$\large \frac{10ax^{2}-25x^{2}b^{2}}{20a^{2}x^{2}+15cx^{2}}=$ $\large \frac{5x^{2}(2a-5b^{2})}{5x^{2}(4a^{2}+3c)}=$ $\large \frac{2a-5b^{2}}{4a^{2}+3c}$

Ejemplo 3º.

$\large \frac{(3ax^{2}-12y^{2}a)}{(5xy+10y^{2})}=$ $\large \frac{3a(x^{2}-4y^{2})}{5y(x+2y)}=$ $\large \frac{3a(x-2y)}{5y}$

Ejemplo 4º.

$\large \frac{(x^{2}+2x-15)}{(x^{2}-5x+6)}=$ $\large \frac{(x-3)(x+5)}{(x-3)(x-2)}=$ $\large \frac{(x+5)}{(x-2)}$

Reducción a común denominador.

Para reducir fracciones algebraicas a común denominador, se multiplican el numerador y el denominador de cada fracción por los denominadores de las demás.

Ejemplo 5º.

$\large \frac{2x}{3y^{2}}\, ,\, \frac{5y}{4a}\, ,\, \frac{6z}{bz}\, =$ $\large \frac{8abcx}{12abcy^{2}}\, ,\, \frac{15bcy^{3}}{12abcy^{2}}\, ,\, \frac{72ay^{2}z}{12abcy^{2}}$

Ejemplo 6º.

$\large \frac{3x}{x-y}\, ,\, \frac{5y^{2}}{x+y}\, ,\, \frac{8xy}{x^{2}-y^{2}}\, =$ $\large \frac{3x(x+y)}{x^{2}-y^{2}}\, ,\, \frac{5y^{2}(x-y)}{x^{2}y^{2}}\, ,\, \frac{8xy}{x^{2}-y^{2}}$

Suma y resta de fracciones algebraicas.

Para sumar o restar fracciones algebraicas:

Se reducen primero a común denominador.
Se suman o restan sus numeradores.
Se conserva el denominador común.
Se simplifica el resultado, si es posible-

Ejemplo 7º.

$\large \frac{5a}{a^{2}b}-\frac{3b}{ab^{2}}+\frac{8ac}{3a^{2}b^{2}}=$ $\large \frac{15ab-9ab+9ac}{3a^{2}b^{2}}=$ $\large \frac{6ab+8ac}{3a^{2}b^{2}}=\frac{2(3b+4c)}{3ab^{2}}$

Ejemplo 8º.

$\large \frac{3x}{5(x+4)}+\frac{6y}{4(x-4)}-\frac{8xy}{2x^{2}-32}=$ $\large \frac{12x(x-4)+30y(x+4)-80xy}{20(x^{2}-16)}=$

$\large \frac{6x(x-4)+5y(12-5x)}{10(x^{2}-16)}$

Multiplicación de fracciones algebraicas.

Para multiplicar fracciones algebraicas, se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí, simplificando el resultado.

Ejemplo 9º.

$\large \frac{5xy}{8y^{2}x}.\frac{6bz^{2}}{15ay}=\frac{30bxyz^{2}}{120ay^{2}z}=\frac{bxz}{4ay^{2}}$

Ejemplo10º.

$\large \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}.\frac{x+y}{x^{2}-y^{2}}.\frac{5(x^{2}+y^{2})}{3(x+y)}=$ $\large \frac{5}{3(x+y)}$

División de fracciones algebraicas.

Para dividir fracciones algebraicas, se multiplica la fracción dividendo por la fracción divisora invertida.

Ejemplo 11º.

$\large \frac{5x^{2}y}{4ab^{2}}:\frac{10x^{2}y^{3}}{6a^{2}b}=$ $\large \frac{5x^{2}y}{4ab^{2}}.\frac{6a^{2}b}{10x^{2}y^{2}}=$ $\large \frac{3a}{4by^{2}}$

Ejemplo 12º.

$\large \frac{x^{3}-y^{3}}{x+y}:\frac{x^{2}-2xy+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}=$ $\large \frac{x^{3}-y^{3}}{x+y}.\frac{x^{2}-y^{2}}{(x-y)^{2}}=x^{2}+xy+y^{2}$

Practique con algunos ejercicios…

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