Fracciones algebraicas

Las fracciones algebraicas es el cociente indicado de dos cantidades, de las cuales una por lo menos es literal.

Se diferencia de la división en que no asigna una operación que se deba de efectuar sino un cociente expresado en forma implícita.

En ARITMÉTICA se han generalizado las transformaciones y reglas de las operaciones que se efectuan con las fracciones. En ALGEBRA hay que considerar, además, la cualidad, y para eso basta ampliar el concepto de las operaciones extendiendolo a las cantidades algebraicas lo dicho de las númericas.

Redordaremos los principios y reglas más importantes de las fracciones aritméticas haciendo aplicación a las algebraicas.

Propiedad fundamental de las fracciones,

Si se multiplican o dividen los dos términos de una fracción por un mismo número, no varía.

Ejemplo 1º.

\large \frac{5ax^{2}}{8a^{2}x^{3}}= \large \frac{5ax^{2}\: .\: 3a^{2}x}{8a^{2}x^{3}\: .\: 3a^{2}x}= \large \frac{15a^{3}x^{3}}{24a^{4}x^{4}}

Ejemplo 2º.

\large \frac{12a^{2}b^{3}c}{16ab^{2}c^{2}}= \large \frac{4ab^{2}c\: .\: 3ab}{4ab^{2}c\: .\: 4c}= \large \frac{3ab}{4c}

Simplificación de fracciones.

Para simplificar una fracción algebraica se suprimen los factores comunes del numerador y del denominador.

Ejemplo 1º.

\large \frac{15a^{3}b^{2}c}{20a^{3}b^{3}c^{4}}= \large \frac{5a^{2}b^{2}c\: .\: 3a}{5a^{2}b^{2}c\: .\: 4abc^{3}}= \large \frac{3a}{4abc^{3}}

Ejemplo 2º.

\large \frac{10ax^{2}-25x^{2}b^{2}}{20a^{2}x^{2}+15cx^{2}}= \large \frac{5x^{2}(2a-5b^{2})}{5x^{2}(4a^{2}+3c)}= \large \frac{2a-5b^{2}}{4a^{2}+3c}

Ejemplo 3º.

\large \frac{(3ax^{2}-12y^{2}a)}{(5xy+10y^{2})}= \large \frac{3a(x^{2}-4y^{2})}{5y(x+2y)}= \large \frac{3a(x-2y)}{5y}

Ejemplo 4º.

\large \frac{(x^{2}+2x-15)}{(x^{2}-5x+6)}= \large \frac{(x-3)(x+5)}{(x-3)(x-2)}= \large \frac{(x+5)}{(x-2)}

Reducir fracciones a común denominador.

Para reducir fracciones a común denominador se multiplican los dos términos de cada fracción por los denominadores de los demás.

Ejemplo 5º.

\large \frac{2x}{3y^{2}}\, ,\, \frac{5y}{4a}\, ,\, \frac{6z}{bz}\, =
\large \frac{8abcx}{12abcy^{2}}\, ,\, \frac{15bcy^{3}}{12abcy^{2}}\, ,\, \frac{72ay^{2}z}{12abcy^{2}}

Ejemplo 6º.

\large \frac{3x}{x-y}\, ,\, \frac{5y^{2}}{x+y}\, ,\, \frac{8xy}{x^{2}-y^{2}}\, =
\large \frac{3x(x+y)}{x^{2}-y^{2}}\, ,\, \frac{5y^{2}(x-y)}{x^{2}y^{2}}\, ,\, \frac{8xy}{x^{2}-y^{2}}

Suma y resta de fracciones.

En la suma y resta de fracciones algebraicas primero se reducen a común denominador, después se suman o restan los numeradores poniendo como denominador el denominador común.

Si hubiere términos semejantes o factores comunes se reducen o simplifican.

Ejemplo 7º.

\large \frac{5a}{a^{2}b}-\frac{3b}{ab^{2}}+\frac{8ac}{3a^{2}b^{2}}= \large \frac{15ab-9ab+9ac}{3a^{2}b^{2}}=
\large \frac{6ab+8ac}{3a^{2}b^{2}}=\frac{2(3b+4c)}{3ab^{2}}

Ejemplo 8º.

\large \frac{3x}{5(x+4)}+\frac{6y}{4(x-4)}-\frac{8xy}{2x^{2}-32}=
\large \frac{12x(x-4)+30y(x+4)-80xy}{20(x^{2}-16)}=
\large \frac{6x(x-4)+5y(12-5x)}{10(x^{2}-16)}

Multiplicación de fracciones.

Para multiplicar fracciones algebraicas se multiplican los numeradores y denominadores entre sí, simplificando después del resultado.

Ejemplo 9º.

\large \frac{5xy}{8y^{2}x}.\frac{6bz^{2}}{15ay}=\frac{30bxyz^{2}}{120ay^{2}z}=\frac{bxz}{4ay^{2}}

Ejemplo10º.

\large \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}}.\frac{x+y}{x^{2}-y^{2}}.\frac{5(x^{2}+y^{2})}{3(x+y)}= \large \frac{5}{3(x+y)}

División de fracciones.

Para dividir fracciones algebraicas se multiplica la fracción dividendo por la fracción divisor invertida.

Ejemplo 11º.

\large \frac{5x^{2}y}{4ab^{2}}:\frac{10x^{2}y^{3}}{6a^{2}b}= \large \frac{5x^{2}y}{4ab^{2}}.\frac{6a^{2}b}{10x^{2}y^{2}}= \large \frac{3a}{4by^{2}}

Ejemplo 12º.

\large \frac{x^{3}-y^{3}}{x+y}:\frac{x^{2}-2xy+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}=
\large \frac{x^{3}-y^{3}}{x+y}.\frac{x^{2}-y^{2}}{(x-y)^{2}}=x^{2}+xy+y^{2}

Practique con algunos ejercicios…

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