Progresiones geométricas

Progresiones geométricas, definición, fórmulas, propiedades y ejemplos resueltos paso a paso.

Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante, llamada razón. En esta página encontrarás su definición, las fórmulas principales, el término general, la suma de términos y ejemplos resueltos detalladamente.

Sea la razón r:

Si r > 1 y a₁ > 0 → sucesión creciente.

Si 0 < r < 1 → sucesión decreciente.

Si r = 1 → sucesión constante.

Si r < 0 → términos con signos alternados.

Ejemplos de progresiones geométricas.

$1, 3, 9, 27, 81, . . .$

$31, 16, 8, 4, 2, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4} . . .$

La primera es creciente y su razón 3; la segunda, decreciente y su razón 1/2.

Fórmula del término general de una progresión geométrica.

Es igual al primero multiplicado por la razón elevada a un exponente igual al número de términos que le preceden.

$a_{n} = a_{1} . r^{n - 1}$

Cálculo de un término específico.

Para hallar un término concreto, sustituye en la fórmula del término general.

Ejemplo 1:

Si el primer término es a₁ = 5 y la razón r = 3, el quinto término (a₅) sería:

$a_{5} = 5 . 3^{4} = 5.81 = 405$

Ejemplo 2:

En la progresión:

$81, 27, 9, . . .$

Se pide hallar el término 11.º.

$estilo tamaño 20px a subíndice 11 igual 87 más abrir paréntesis 1 tercio cerrar paréntesis elevado a 10 igual fracción 3 elevado a 4 entre 3 elevado a 10 igual fracción 1 entre 3 elevado a 6 igual fracción 1 entre 729 fin estilo$

El término buscado es 1/729.

Formulas derivadas.

De a_n = a₁ x q^n-1 , se deduce:

estilo tamaño 20px a subíndice 1 igual fracción a subíndice n entre q elevado a n menos 1 fin elevado espacio espacio espacio punto y coma espacio espacio espacio q igual raíz con índice n menos 1 y radical fracción a subíndice n entre a subíndice 1 fin raíz fin estilo

Ejemplo 3:

Hallar el primer término de la progresión de 9 términos: ÷÷ .. 81 : 243 : 729

$estilo tamaño 20px a subíndice 1 igual fracción 729 entre 3 elevado a 8 igual fracción 3 elevado a 6 entre 3 elevado a 8 igual fracción 1 entre 3 al cuadrado igual fracción 1 entre 9 fin estilo$

El primer término de la progresión es 1/9

Teorema de los términos equidistantes.

En una progresión geométrica el producto de dos términos equidistantes de los extremos es igual al producto de los extremos.

$estilo tamaño 20px dividido por dividido por a espacio dos puntos espacio b espacio dos puntos espacio c espacio dos puntos espacio d espacio dos puntos espacio... espacio h espacio dos puntos espacio i espacio dos puntos espacio j espacio dos puntos espacio k espacio dos puntos espacio l fin estilo$

$estilo tamaño 20px d igual a q al cubo espacio espacio espacio punto y coma espacio espacio espacio i igual fracción l entre q al cubo fin estilo$

multiplicando miembro a miembro los valores d e i, equidistantes de los extremos tendremos.

$estilo tamaño 20px d espacio. espacio i espacio igual espacio a espacio. espacio l fin estilo$

Si el número de términos de la progresión es impar el término de en medio es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Suma de los términos de una progresión geométrica.

Es igual al último por la razón, menos el primero, dividido todo de la razón menos 1.

Sea la progresión:

$estilo tamaño 20px dividido por dividido por a subíndice 1 espacio dos puntos espacio a subíndice 2 espacio dos puntos a subíndice 3 espacio dos puntos espacio... espacio dos puntos espacio a subíndice n fin estilo$

$estilo tamaño 20px S igual a subíndice 1 más a subíndice 2 más a subíndice 3 más espacio... espacio más a subíndice n espacio espacio espacio espacio espacio paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho fin estilo$

Multipliquemos los dos miembros por la razón q:

$estilo tamaño 20px S subíndice q igual a subíndice 1 q más a subíndice 2 q más a subíndice 3 q espacio... espacio más a subíndice n q S subíndice q igual a subíndice 2 espacio espacio más a subíndice 3 espacio espacio más a subíndice 4 espacio espacio... espacio espacio más a subíndice n q espacio espacio espacio espacio paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho espacio fin estilo$

Restemos de (2) la (1):

$estilo tamaño 20px espacio espacio S subíndice q menos S igual a subíndice n q menos a subíndice 1 S paréntesis izquierdo q menos 1 paréntesis derecho igual a subíndice n q menos a subíndice 1 espacio espacio espacio espacio S igual fracción numerador a subíndice n r menos a subíndice 1 entre denominador q menos 1 fin fracción fin estilo$

Si se desconoce a_n , se sustituye por su valor en función a.

$estilo tamaño 20px S igual fracción numerador a subíndice 1 espacio q elevado a n menos 1 fin elevado. espacio q menos a subíndice 1 entre denominador q menos 1 fin fracción igual fracción numerador a subíndice 1 paréntesis izquierdo q elevado a n menos 1 paréntesis derecho entre denominador q menos 1 fin fracción fin estilo$

Ejemplo 4.

Hallar la suma de los términos de la progresión : ÷÷ 2 : 6 : 18 : 54 : 162.

$estilo tamaño 20px S igual fracción numerador 162 espacio. espacio 3 menos 2 entre denominador 3 menos 1 fin fracción igual fracción numerador 2 paréntesis izquierdo 3 elevado a 5 menos 1 paréntesis derecho entre denominador 2 fin fracción igual 242 fin estilo$

La suma de los términos de la progresión es de 242.

Ejemplo 5.

¿Cuál es la suma de los términos de la progresión: ÷÷ 128 : 64 : 32 : … , Compuesta por 12 términos?

$estilo tamaño 20px fracción numerador 128 corchete izquierdo paréntesis izquierdo estilo mostrar 1 medio fin estilo paréntesis derecho elevado a 12 menos 1 corchete derecho entre denominador estilo mostrar 1 medio fin estilo menos 1 fin fracción igual fracción numerador 128 paréntesis izquierdo estilo mostrar fracción 1 entre 4096 fin estilo menos 1 paréntesis derecho entre denominador menos estilo mostrar 1 medio fin estilo fin fracción igual fin estilo$ $estilo tamaño 20px menos 256 paréntesis izquierdo menos fracción 4095 entre 4096 paréntesis derecho igual 255 fracción 15 entre 16 fin estilo$

La suma de los términos de la progresión es de 255 15/16.

Progresiones decrecientes: forma alternativa.

En las progresiones geométricas decrecientes para evitar los signos negativos se puede transformar la fórmula de la suma cambiando de signo de todos los términos.

$estilo tamaño 20px S igual fracción numerador a subíndice 1 q elevado a n menos a subíndice 1 entre denominador q menos 1 fin fracción igual fracción numerador a subíndice 1 menos a subíndice 1 q elevado a n entre denominador 1 menos q fin fracción igual fracción numerador a subíndice 1 paréntesis izquierdo 1 menos q elevado a n paréntesis derecho entre denominador 1 menos q fin fracción fin estilo$

En el ejemplo anterior tendríamos:

$estilo tamaño 20px S igual fracción numerador 128 corchete izquierdo 1 menos paréntesis izquierdo estilo mostrar 1 medio fin estilo paréntesis derecho elevado a 12 corchete derecho entre denominador 1 menos estilo mostrar 1 medio fin estilo fin fracción fin estilo$

Límite de la suma de los términos de una progresión geométrica.

Si es decreciente ilimitada es igual al primer término dividido de uno menos la razón.

La fórmula de la suma de una progresión decreciente es:

$estilo tamaño 20px S igual fracción numerador a subíndice 1 menos a subíndice 1 q elevado a n entre denominador 1 menos q fin fracción fin estilo$

se puede descomponer en:

$estilo tamaño 20px S igual fracción numerador a subíndice 1 entre denominador 1 menos q fin fracción menos fracción numerador a subíndice 1 q elevado a n entre denominador 1 menos q fin fracción fin estilo$

Como q < 1 y n tiende a infinito, el límite qⁿ tiende a cero, luego la fracción:

$estilo tamaño 20px fracción numerador a subíndice 1 q elevado a n entre denominador 1 menos q fin fracción fin estilo$

tiende a cero, y, por tanto la suma en el límite será:

$estilo tamaño 20px S igual fracción numerador a subíndice 1 entre denominador 1 menos q fin fracción fin estilo$

Ejemplo 6.

Hallar el límite de la suma de la progresión: ÷÷ 64 : 32 : 16 : 8 …

$estilo tamaño 20px l í m. espacio S igual fracción numerador 64 entre denominador 1 menos estilo mostrar 1 medio fin estilo fin fracción igual 128 fin estilo$

El límite de la suma será 128.

Generatriz de una fracción periódica.

La fracción periódica:

0,353535….

es la suma de una progresión geométrica decreciente de razón $1/100$ 1/100:

Ejemplo 7.

Hallar la generatriz de la fracción periódica 0,3535…

$estilo tamaño 20px g igual fracción 35 entre 100 más fracción 35 entre 100 más fracción 35 entre 100 más... fin estilo$

La generatriz es la suma de los términos de una progresión geométrica decreciente e ilimitada, de razón 1/100, por tanto:

$estilo tamaño 20px g igual l í m. S igual fracción numerador estilo mostrar fracción 35 entre 100 fin estilo entre denominador 1 menos estilo mostrar fracción 1 entre 100 fin estilo fin fracción igual fracción 35 entre 99 fin estilo$

Medios geométricos o proporcionales.

Son los números que forman con otros dos, que sirven de extremos, una progresión geométrica.

Ya conocemos la fórmula de la razón de una proporción geométrica; luego conociendo el primer término de la razón, fácil es conocer los demás.

Ejemplo 8.

Interpolar cinco medios geométricos entre 2 y 128

$estilo tamaño 20px q igual raíz con índice n menos 1 y radical fracción a subíndice n entre a subíndice 1 fin raíz igual raíz con índice 6 y radical fracción 128 entre 2 fin raíz igual raíz con índice 6 y radical 64 igual 2 fin estilo$

Siendo la razón 2 y el primer término 2, la progresión será: ÷÷ 2 :4 : 8 : 16 : 32 : 64 : 128

Ejemplo 9.

Interpolar entre 4096 y 16 tres medios geométricos.

$estilo tamaño 20px q igual raíz cuarta de fracción 16 entre 4096 fin raíz igual raíz cuarta de fracción 1 entre 256 fin raíz igual raíz cuadrada de fracción 1 entre 16 fin raíz igual 1 cuarto fin estilo$

luego la progresión buscada será: ÷÷ 4.096 : 1.024 : 256 : 64 : 16

Nota.- Lamando m al número de medios que se quieren interpolar la fórmula de la razón se transforma en :

$estilo tamaño 20px q igual raíz con índice n menos 1 y radical fracción a subíndice n entre a subíndice 1 fin raíz. espacio raíz con índice m más 1 y radical fracción a subíndice n entre a subíndice 1 fin raíz fin estilo$

Si entre cada dos términos consecutivosde una progresión geométrica se interpola igualnúmero de medios, resultaran progresiones que forman parte de una sola progresión.

Ejemplo 10.

Interpolar tres medios geométricos entre los términos de la progresión ÷÷ 2 : 32 : 512 : 8192.

La razón constante será:

$estilo tamaño 20px raíz cuarta de fracción 32 entre 2 fin raíz igual raíz cuarta de fracción 512 entre 32 fin raíz igual raíz cuarta de fracción 8192 entre 512 fin raíz igual raíz cuarta de 16 igual 2 fin estilo$

tendremos:

$estilo tamaño 20px dividido por dividido por espacio espacio 2 espacio dos puntos espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio 4 espacio dos puntos espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio 8 espacio dos puntos espacio espacio espacio espacio espacio 16 espacio dos puntos espacio espacio espacio espacio espacio 32 dividido por dividido por espacio 32 espacio dos puntos espacio espacio espacio espacio espacio 64 espacio dos puntos espacio espacio espacio 128 espacio dos puntos espacio espacio espacio 256 espacio dos puntos espacio espacio espacio 512 dividido por dividido por 512 espacio dos puntos espacio 1024 espacio dos puntos espacio 2048 espacio dos puntos espacio 4096 espacio dos puntos espacio 8192 fin estilo$

que se puede escribir:

÷÷ 2 : 4 : 8 : 26 : 23 : 64 : 128 : 256 : 512 : …… 8192

Practique con algunos ejercicios…

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