Progresiones geométricas

Progresión geométrica o por cocientees una sucesión de números tales que cada uno de ellos es igual al anterior multiplicado por una cantidad fija llamada razón de la progresión.

Si la razón es mayor que la unidad la progresión es creciente y si la razón es una fracción propia la progresión es decreciente.

Las progresiones geométricas se escriben poniendo delante del primer término el signo ÷÷ que se lee como, y entre cada dos términos se coloca dos puntos, que se lee es a.

Ejemplos:

  \div\div \: 1\: :\: 3\: :\: 9\: :\: 27 : 81 ...  
  \div \div \: 64\: :\: 32\: :\: 16\: :\: 8\: :\: 4\: :2\: :\: 1\: :\: \frac{1}{2}\: :\: \frac{1}{4}  

La primera es creciente y su razón 3; la segunda, decreciente y su razón 1/2.

Cálculo de un término.- Un término cualquiera de una progresión geométrica es igualal primero multiplicado por la razón elevada a un exponente igual al número de términos que le preceden.

Sea la progresión:     ÷÷ a1 : a2 : a3 : a4

Por definición  a_{2}=a_{1}\: \mathrm{x}\: q
   
   a_{3}=a_{2}\: \mathrm{x}\: q=a_{1}\: \mathrm{x}\: q\: \mathrm{x}\: q=a_{1}\: \mathrm{x}\: q^{2}
   
   a_{4}=a_{3}\: \mathrm{x}\: q=a_{1}\: \mathrm{x}\: q^{2}\: \mathrm{x}\: q=a_{1}\: \mathrm{x}\: q^{3}
  —————————————————
En general   a^{n}=a_{1}\: \mathrm{x}\: q^{n-1}

Ejemplo: En la progresión :      ÷÷ 81 : 27 : 9 : … hallar el 11.º término.

a_{11}=87+\left ( \frac{1}{3} \right )^{10}=\frac{3^{4}}{3^{10}}=\frac{1}{3^{6}}=\frac{1}{729}

El término que buscamos es 1/729.

Fórmulas derevadas.- De an = a1 x qn-1 , se deduce:

a_{1}=\frac{a_{n}}{q^{n-1}} q=\sqrt[n-1]{\frac{a_{n}}{a_{1}}}

Ejemplo: Hallar el primer término de la progresión de 9 terminos:
÷÷ .. 81 : 243 : 729

a_{1}=\frac{\: 729\: }{3^{8}}=\frac{\:\: 1\:\: }{3^{8}}=\frac{\: 1\: }{9}

El primer término de la progresión es 1/9

Teorema.- En una progresión geométrica el producto de dos términos equidistantes de los extremos es igual al producto de los extremos.

\div \div a:b:c:d:...h:i:j:k:l

d=aq^{3}\: \: \: \: \: \mathrm{e}\: \: \: \: \: i=\frac{l}{q^{3}}

multiplicando miembro a miembro los valores d e i, equidistantes de los extremos tendremos.

d\: \mathrm{x}\: i=a\: \mathrm{x}\: l

Si el número de términos de la progresión es impar el término de en medio es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Suma de los términos.- La suma de los términos de una progresión geomética es igual al último por la razón, menos el primero, dividido todo de la razón menos 1.

Sea la progresión:

\div \div a_{1}:a_{2}:a_{3}:\: ...\: :a_{n}

Su suma será:

S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\: ...\: +a_{n}      (1)

Multipliquemos los dos miembros por la razón q:

  S_{q}=a_{1}q+a_{2}q+a_{3}q\: ...\: +a_{n}q  
  S_{q}=a_{2}\: \: \: +a_{3}\: \: \: +a_{4}\: \: \: \: ...\: +a_{n}q       (2)

Retemos de (2) la (1):

  S_{q}-S=a_{n}q-a_{1}  
  S(q-1)=a_{n}q-a_{1}  
     
  S=\frac{a_{n}q-a_{1}}{q-1}  

Si se desconoce an , se sustituye por su valor en función a.

S=\frac{a_{1}q^{n-1}\:\: \mathrm{x}\:\: q-a_{1}}{q-1}=\frac{a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}

Ejemplo 1.º Hallar la suma de los términos de la progresión :
÷÷ 2 : 6 : 18 : 54 : 162.

  S=\frac{162\: \mathrm{x\: 3}-2}{3-1}=\frac{2(3^{5}-1)}{2}=242  

La suma de los términos de la progresión es de 242.

Ejemplo 2.º ¿Cuál es la suma de los términos de la progresión:
÷÷ 128 : 64 : 32 : … , Compuesta por 12 términos?

\frac{128[(\frac{1}{2})^{12}-1]}{\frac{1}{2}-1}=\frac{128(\frac{1}{4096}-1)}{-\frac{1}{2}} =
 
=-256\left ( \frac{\: 4095\: }{4096} \right )=255\frac{15}{16}

La suma de los términos de la progresión es de 255 15/16.

Nota.- En las progresiones geométricas decrecientes para evitar los signos negativos se puede transformar la fórmula de la suma cambiando de signo de todos los términos.

S=\frac{a_{1}q^{n}-a_{1}}{q-1}=\frac{a_{1}-a_{1}q^{n}}{1-q}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}

En el ejemplo anterior tendríamos:

S=\frac{128[1-\left ( \frac{1}{2} \right )^{12}]}{1-\frac{1}{2}}

Límite de la suma.- El límite de la suma de los términos de una progresión geométrica decreciente ilimitada es igual al primer término dividido de uno menos la razón.

La fórmula de la suma de una progresión decreciente es:

S=\frac{a_{1}-a_{1}q^{n}}{1-q}

se puede descomponer en:

S=\frac{\: a_{1}\: }{1-q}-\frac{\: \: a_{1}q^{n}}{1-q}

Como q < 1 y n tiende a infinito, el límite qn tiende a cero, luego la fracción:

\frac{\: \: a_{1}q^{n}}{1-q}

tiende a cero, y, por tanto la suma en el límite será:

S=\frac{\: a_{1}}{1-q}

Ejemplo 1.º Hallar el límite de la suma de la progresión:
÷÷ 64 : 32 : 16 : 8 …

\dpi{100} \mathrm{lim.}\;S=\frac{64}{\: \: 1-\frac{1}{2}\: \: \: }=128

El límite de la suma será 128.

Ejemplo 2.1 Hallar lageneratriz de la fracción periódica 0,3535…

\dpi{100} g=\frac {35}{\: 100\:}+\frac{35}{\: 100\: }+\frac{35}{\: 100\: }...

La generatriz es la suma de los términos de una progresión geométrica decreciente e ilimitada, de razón 1/100, por tanto:

\dpi{100} g=lim.\: S=\frac{\frac{35}{100}}{1-\frac{ 1}{100}\: \: }=\frac{\: 35\: }{99}

Medios geométricos o proporcionales son los números que forman con otros dos, que sirven de extremos, una progresión geométrica.

Ya conocemos la fórmula de la razón de una proporsión geométrica; luego conociendo el primer término de la razón, facíl es conocer los demás.

Ejemplo 1.º Interpolar cinco medios geométricos entre2 y 128

\dpi{100} q=\sqrt[n-1]{\frac{\: a_{n}\: }{\: a_{1}\: }}=\sqrt[6]{\frac{\: \: 128\: }{2}}=\sqrt[6]{64}=2

Siendo la razón 2 y el primer término 2, la progresión será:

÷÷ 2 :4 : 8 : 16 : 32 : 64 : 128

Ejemplo 2.º Interpolar entre 4096 y 16 tres medios geométicos.

\dpi{100} q=\sqrt[4]{\frac{16}{\: 4096\: }}=\sqrt[4]{\frac{1}{\: 256\: }}=\sqrt{\frac{1}{\: 16\: }}=\frac{1}{\: 4\: }

luego la progresión buscada será:

÷÷ 4.096 : 1.024 : 256 : 64 : 16

Nota.- Lamando m al número de medios que se quieren interpolar la fórmula de la razón se trnasformar.a en :

\dpi{100} q=\sqrt[n-1]{\frac{a_{n}}{\: a_{1}\: }}=\sqrt[m+1]{\frac{a_{n}}{a_{1}}}

Si entre cada dos términos consecutivosde una progresión geométrica se interpola igualnúmero de medios, resultaran progresiones que forman parte de una sola progresión.

Ejemplo: Interpolar tres medios geométricosentre los términos de la progresión ÷÷ 2 : 32 : 512 : 8192.

La razón constante será:

\dpi{100} r=\sqrt[4]{\frac{32}{\: \: 2\:\: }}=\sqrt[4]{\frac{512}{\: \: 32\: \: }}=\sqrt[4]{\frac{8192}{\: \: 512\: \: }}=\sqrt[4]{16}=2

tendremos:

  \dpi{100} \div \div     2 :         4 :        8 :      16 :     32  
  \dpi{100} \div \div   32 :      64 :    128 :   256 :   512  
  \dpi{100} \div \div 512 : 1024 : 2048 : 4096 : 8192  

que se puede escribir:

÷÷ 2 : 4 : 8 : 26 : 23 : 64 : 128 : 256 : 512 : …… 8192