Expresiones algebraicas

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligados por los signos de las operaciones matemáticas, como la adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Estas expresiones permiten representar relaciones matemáticas de forma general.

Las letras que aparecen en una expresión algebraica se llaman variables o incógnitas y se utilizan para representar números cuyo valor puede variar. Además, los paréntesis se emplean para agrupar partes de una expresión, indicando que las operaciones que contienen deben resolverse antes que las demás.

Ejemplo:

$$3ab \quad ; \quad 2c-5b^2 \quad ; \quad -6-\sqrt{5ac}$$

Una expresión algebraica irreducible es entera cuando no tiene denominador literal, racional si no tiene ninguna letra bajo signo radical e irracional en caso contrario.

Ejemplos:

Término es la expresión algebraica en la que no hay cantidades separadas por los signos + o – .

Ejemplo:

$$2ab \quad ; \quad 5\sqrt{ab^2} \quad ; \quad -\frac{2}{3}bd$$

Los términos que tiene el signo + se llaman positivos y si tienen el signo -, negativos.

Monomios y polinomios.

Un monomio es una expresión algebraica que consta de un solo término.
Un binomio está formado por dos términos, un trinomio por tres términos y, en general, se llama polinomio a toda expresión algebraica que tiene más de tres términos.

En toda expresión algebraica cuyo primer término sea positivo, el signo más no se escribe, entendiéndose que está implícito.

Ejemplos:

Exponente de una expresión algebraica.

El exponente de una expresión algebraica es un número que se coloca en la parte superior derecha de una cantidad y que indica cuántas veces debe tomarse dicha cantidad como factor de multiplicación.

Ejemplo:.

$$a^4 = a\,.\,a\,.\,a\,.\,a$$

La cantidad que se repite como factor se llama base.
Cuando el exponente es la unidad, no se escribe, ya que se sobreentiende.

Además, si el coeficiente es la unidad, también se omite por comodidad y legibilidad; por ejemplo, $1x$ se escribe simplemente como $x$.

Por ejemplo, en $3x^2$, el número 3 es el coeficiente, $x$ es la base y 2 es el exponente.

Coeficiente de una expresión algebraica.

Es el número que se coloca a la izquierda de una cantidad algebraica y representa las veces que dicha cantidad se toma como sumando.

Ejemplo:

$$ab = ab + ab\quad;\quad-2bc = -bc -bc$$

Grado de una expresión algebraica.

El grado de un término entero es la suma de los exponentes de las letras que lo forman.

El grado de un polinomio entero es el mayor grado de entre todos sus términos.

Cuando se habla del grado de un polinomio respecto a una letra, este viene dado por la mayor potencia de dicha letra que aparece en la expresión.

Ejemplo:

$3a^2bc\quad$ es de 4º grado

En el polinomio $x^3y^2 + xy$ el grado respecto de $x$ es 3 y respecto de $y$ es 2

El grado de una expresión fraccionaria es igual a la diferencia entre los grados del numerador y denominador, y el de una expresión radical se halla dividiendo el grado de la cantidad subradical por el índice del radical.

Términos semejantes.

Son los que tiene las mismas letras con los mismos exponentes, sean cuales fueren sus coeficientes, los signos y el orden de las letras.

Ejemplo:

$$3ab^2c\quad\quad\sim\quad\quad-5ab^c$$

Reducción de términos semejantes.

La reducción de términos semejantes consiste en simplificar un polinomio cuando contiene varios términos con la misma parte literal. Para ello, se suman algebraicamente los coeficientes de dichos términos.

En este proceso, se pueden sumar primero los coeficientes positivos y después los negativos; a continuación, se calcula la diferencia entre ambas sumas y se asigna al resultado el signo correspondiente al coeficiente de mayor valor absoluto.

Los operadores son los símbolos que indican la operación que debe realizarse. En álgebra, corresponden a los signos de las cuatro operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división.

Ejemplo:

$$3x+5x-2x = 6x$$

ya que 3+5-2=6

$$a^2-b^3+a^2b+ab^2 = 2a^2b-b^3+ab^2$$

Polinomio homogéneo.

Un polinomio homogéneo es aquel en el que todos sus términos (monomios) tienen el mismo grado absoluto, es decir, la suma de los exponentes de las variables en cada término es idéntica para todo el polinomio.

Ejemplo:

$$5x^4+3x^3y-6x^2y^2+8xy^3-4y^4$$

Polinomio completo.

Es el que tiene todos los grados de la letra ordenatriz desde el más elevado hasta el grado cero.

Ejemplo:

$$3x^3+6x^2-8x-4$$

Ordenar un polinomio.

Ordenar un polinomio es organizar sus términos según los exponentes de una variable, llamada ordenatriz, ya sea de mayor a menor (forma decreciente o descendente) o de menor a mayor (forma creciente o ascendente), para facilitar su manejo y comprensión.

El orden decreciente es el más habitual, en el que el término independiente (sin variable) se escribe al final.

Ejemplo:

$$4a^2x-3ax^2+5x^3-7a^3+6x^4$$

Si lo ordenamos respecto de la x queda así:

$$6x^4+5x^3-3ax^2+4a^2x-7a^3$$

Valor numérico de una expresión.

El valor numérico de una expresión algebraica es el que se obtiene al asignar valores concretos a las letras que intervienen en ella y realizar las operaciones indicadas.

Ejemplo:

Si en la expresión:

$$6ab-5bc+4a^2c$$

hacemos que a=2, b=3 y c=4, tendremos:

$$6.2.3-5.3.4+4.2^2.4 = 40$$

luego 40 es el valor numérico de la expresión

Operaciones con expresiones algebraicas.

Una vez que entiendes qué son las expresiones algebraicas, y hallas hecho los ejercicios propuestos, puedes aprender a operar con ellas:

   • Suma de expresiones algebraicas.
   • Resta de expresiones algebraicas.
   • Multiplicación de expresiones algebraicas.
   • División de expresiones algebraicas.

Practique con algunos ejercicios…

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