Multiplicación de expresiones algebraicas
La multiplicación de expresiones algebraicas permite obtener nuevas expresiones a partir del producto de monomios y polinomios. En esta lección aprenderás paso a paso cómo multiplicar monomios, polinomios y potencias, con ejemplos resueltos y ejercicios para practicar.
Ejemplo:
$$3a^2b . 2ab^3 = 6a^3b^4$$
Regla de los signos.
En la multiplicación algebraica rige la siguiente regla de los signos:
Que se resume habitualmente así:
Más por más da más, menos por menos da más, más por menos da menos y menos por más da menos.
Es decir:
• si los factores tienen el mismo signo, el producto es positivo;
• si tienen signo distinto, el producto es negativo.
Multiplicación de potencias de la misma base.
Para multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes:
$$a^n . \,a^m = a^{n+m}$$
Esta regla es válida para exponentes enteros, fraccionarios, positivos o negativos.
Donde n y m pueden representar cualquier cantidad entera o fraccionaria, positiva o negativa, conmensurable o inconmensurable; luego la regla anterior es general y podemos decir:
Ejemplos:
$$a^n . \,a^m = a^{n+m}$$
$$a^{\frac{m}{n}} . \, a^{\frac{r}{s}} = a^{\frac{m}{n}+\frac{r}{s}}$$
$$a^{-\frac{m}{n}} . \, a^{-\frac{r}{s}} = a^{-\frac{m}{n}-\frac{r}{s}}$$
$$a^{-m} . \,a^n = a^{-m+n}$$
$$a^{-r}\, . \,a^{-s} = a^{-r-s}$$
$$a^5\,.\,a^2 = a^7$$
$$a^5\, . \,a^{-4} = a^{5-4} = a$$
$$a^{-2}\, . \, a^6 = a^{-2+6} = a^4$$
$$a^{-5}\, . \, a^{-3} = a^{-8}$$
$$a^{-5}\, . \, a^{-3} = a^{-8}$$
$$a^{\frac{2}{3}}\, . \, a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{}{3}+\frac{1}{}} = a^{\frac{4+3}{6}} = a^{\frac{7}{6}}$$
$$a^{-\frac{4}{5}}\, . \, a^3 = a^{-\frac{4}{5}+3} = a^{\frac{11}{5}}$$
$$a^{\sqrt{3}}\, . \, a^{\sqrt{5}} = a^{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$$
Multiplicación de monomios.
Para multiplicar monomios:{}
1- se multiplican los coeficientes numéricos {
2- se escriben las letras comunes, sumando sus exponentes.
3- se determina el signo del resultado según la regla de los signos.
Recuerda:
El orden de los factores no altera el producto.
Al multiplicar varios factores, pueden multiplicarse sucesivamente dos a dos.
Si aparecen factores iguales, su producto se expresa sumando los exponentes.
Ejemplos:
$$-3x^2y\, . \, 4xy^2x = -12x^3y^3z$$
$$-5a^2b(-6abc^2) = 30a^3b^2c^2$$
Multiplicación de un polinomio por un monomio.
Para multiplicar un polinomio por un monomio, se multiplica cada término del polinomio por el monomio y se suman los resultados.
Ejemplos:
$$ e(a-b+c) = ea-eb+ec$$
$$ (a^2b-2ab^2)4ab = 4a^3b^2-8a^2b^3$$
$$ x^2z(x^3-x^2y+xy^2) = x^5z-4x^4yz+x^3y^2z$$
Multiplicación de un polinomios.
Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada término del primero por cada término del segundo, y después se reducen los términos semejantes.
Es conveniente:
• ordenar ambos polinomios respecto la misma letra.
• escribir los productos parciales alineando términos semejantes.
Observaciones importantes.
• El producto de dos o más monomios es otro monomio.
• El producto de un polinomio por un monomio es un polinomio con el mismo número de términos que el polinomio inicial.
• El producto de dos polinomios es otro polinomio.
• Si los polinomios están ordenados respecto a una letra, el producto también lo estará.
Una forma práctica es hacerlo así:
Se escribe el multiplicando y debajo el multiplicador.
Se multiplica todo el multiplicando por cada término del multiplicador, uno a uno.
Los productos parciales se colocan alineando los términos semejantes y, finalmente, se suman y reducen para obtener el resultado final.
Productos notables.
Existen ciertos productos que aparecen con frecuencia y conviene memorizar.
Suma por diferencia.
$$ (x+a)(x-a) = x^2-a^2$$
La suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
El cuadrado de la suma de dos números.
$$ (x+a)^2 = x^2+2xa+a^2$$
$$ (x-a)^2 = x^2-2xa+a^2$$
El cuadrado de la suma o diferencia de dos números es igual al cuadrado del primero, más o menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
Cubo de una suma o de una diferencia.
$$ (x+a)^3 = x^3+3x^2a+3ax^2+a^3 $$
$$ (x-a)^3 = x^3-3x^2a+3ax^2-a^3 $$
El cubo de la suma o diferencia de dos números es igual al cubo del primero, más o menos el triplo del cuadrado del primero por el segundo, más el triplo del primero por el cuadrado del segundo , más o menos el cubo del segundo.
Practique con algunos ejercicios…
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