División de expresiones algebraicas

La división de expresiones algebraicas permite simplificar y resolver operaciones entre monomios y polinomios. En esta lección aprenderás cómo dividir expresiones algebraicas paso a paso, aplicar la regla de los signos y trabajar con divisiones de polinomios y regla de Ruffini mediante ejemplos resueltos y ejercicios.

En toda división algebraica es necesario tener en cuenta:

• el signo.
• el coeficiente numérico.
• y la parte literal.

Reglas de los signos de la división.

La división sigue la misma regla de signos que la multiplicación:

Es decir:

• si el dividendo y el divisor son de igual signo, el cociente será positivo.
• si tienen signo distinto, el cociente es negativo.

Cociente.- El coeficiente del cociente es el resultado de dividir el coeficiente del dividendo por el del divisor.

División de potencias de la misma base.

Para dividir potencias de la misma base, se restan los exponentes:

$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$

Casos posibles:

• si $m > n$ , el exponente es positivo.
• si $m > n$ , el exponente es positivo.
• si $m = n$ , el exponente es cero;

Exponente cero.

Toda cantidad distinta de cero elevada a exponente cero es igual a la unidad:

$$a^m : a^n = a^{m-n}$$

$$a^n : a^n = a^{n-n} = a^0$$

pero

$$ \frac{a^0}{a^0}=1 \quad \Rightarrow \quad a^0 = 1 $$

Exponente negativo.

Un exponente negativo indica el inverso de la potencia correspondiente:

$$a^{-d} = \frac{1}{a^d}$$

Por tanto, una letra puede pasar del numerador al denominador (o viceversa) cambiando el signo de su exponente.

División de monomios.

Para dividir monomios :

1 Se aplica la regla de los signos.
2 Se dividen entre si los coeficientes numéricos.
3 Se restan los exponentes de las letras comunes.

Ejemplos:

\large -15x^{4}y^{3}:3x^{2}y^{2}=-5x^{2}y

\large 20a^{5}b^{2}c^{2}:-5a^{2}b^{2}=-4a^{3}c^{2}

\large -35x^{3}y^{4}:-5x^{2}y^{3}z=7xyz^{-1}

División de un polinomio por un monomio.

Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada término del polinomio por el monomio.

Ejemplo:

$(20 x^{4} y^{2} - 12 x^{3} y^{3} + 8 x^{2} y^{4} - 16 x y^{5}) : (- 4 x y^{2})$

Resultado:

$- 5 x^{3} + 3 x^{2} y - 2 x y^{2} + 4 y^{2}$

Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada término del polinomio por el monomio.

División de polinomios.

Para dividir dos polinomios :

1º Se ordenan ambos respecto a las potencia decrecientes de una misma letra.

2º Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor.

3º Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor.

4º Se multiplica el divisor por ese término y se resta del dividendo.
Se repite el proceso con el resto hasta que:
• el resto sea cero, o
• el grado del resto sea menor que el del divisor.

Cociente completo.

Si la división no es exacta, el cociente completo se expresa como:

$C o c i e n t e +$ $\frac{R e s t o}{D i v i s o r}$

Ejemplo:

$2 x^{2} + 3 x + 1 : x + 2$

Al efectuar la operación queda:

$2 x - 1 + \frac{3}{x + 2}$

Resto de la división de un polinomio en x por el binomio x±a (Teorema del resto).

Para hallar el resto de la división de un polinomio en x por el binomio (x±a) se reemplaza en el polinomio x por a con signo contrario, el resultado será el resto pedido.

$\large 5x^{4}-7x^{3}+8x^{2}-4x+10: x-2$

Reemplazando x por 2 tendremos:

$\large 5.2^{4}-7.2^{3}+8.2^{2}-4.2+10=$ $\large 122-64=58$

58 será el resto de la división.

Regla de Ruffini.

Para hallarlo se adopta la disposición siguiente que recibe el nombre de Regla de Ruffini.

1º Se ordena el dividendo y se completa con ceros los términos que falten.

2º Se escriben en línea horizontal los coeficientes del dividendo con sus signos, en otra línea un poco adelantado se escribe el valor de a con signo contrario.

3º Se traza una línea horizontal y debajo de ella se repite el primer coeficiente del dividendo.

4º Se multiplica a por el último coeficiente escrito debajo de la raya, este producto se escribe encima y se suma con el correspondiente coeficiente del dividendo.

5º El último resultado es el resto y los anteriores son los coeficientes del cociente.
La parte literal se obtiene escribiendo a continuación de los coeficientes las potencias decrecientes de x a partir de la inmediata inferior a la mayor del dividendo.

$\large -5x^{2}+x^{4}+12:x-2$

El cociente es:

$\large x^{3}+2x^{2}-x-2\; \; \; \; \; \mathrm{Resto:}8$

Teorema del resto(ampliación).

El teorema del resto nos dice que el resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a, es decir P(a).

Según el ejemplo anterior, donde se ha aplicado la regla de Ruffini, se ha logrado saber que el resto es, R = 8, aplicando el teorema del resto a ese mismo polinomio tenemos:

$\large x^{4}-5x^{2}+12:x-2$

hacemos x = 2

$\large (-2)^{4}-5(-2)^{2}+12=16-20+12=8$

Realmente lo que se ha hecho para obtener que x = 2, es despejar el valor de x en el divisor igualando dicho divisor a cero.
Así x – 2 = 0 ; x = 2.

Cocientes notables.

Las reglas anteriores son también aplicables aun cuando el polinomio dividendo sea incompleto.
Consideremos los casos siguiente que reciben el nombre de cocientes notables.

Primero:

$\large x^{m}-a^{m}$

siempre es divisible por x-a porque hallando el resto reemplazando x por a, tendremos:

$\large r=a^{m}-a^{m}=0$

Segundo:

$\large x^{m}+a^{m}$

nunca es divisible por x-a, porque:

$\large r=a^{m}+a^{m}=2a^{m}$

Tercero:

$\large x^{m}-a^{n}$

es divisible por x-a cuando m es par.

en efecto, se puede poner

$\large x+a=x-(-a)$

luego

$\large r=(-a)^{m}-a^{m}$

si m es par dará:

$\large a^{m}-a^{m}=0$

si m es impar dará:

$\large -a^{m}-a^{m}=-2a^{m}$

Cuarto:

$\large x^{m}+a^{m}$

es divisible por ( x-a ) cuando m es impar. En efecto

$\large r=(-a)^{m}+a^{m}$

si m es impar tendremos:

$\large r=-a^{m}+a^{m}=0$

y si m es par dará:

$\large r=a^{m}+a^{m}=2a^{m}$

Observaciones.-

1ª El cociente es homogéneo y de un grado inferior en una unidad al del dividendo.

2ª.- Si el segundo término del divisor tiene sigo negativo, todos los términos del cociente serán alternativamente positivos y negativos.

Descomposición en factores

Los principales procedimientos para para descomponer en factores son: el sacar factor común y ciertos artificios que indicamos a continuación.

Sacar factor común.

Para sacar factor común de un polinomio :

1º Se escribe el factor común fuera del paréntesis.
2º Dentro del paréntesis se escriben los cocientes de cada uno de los términos del polinomio por el factor común

$\large (5a^{2}b+10ab^{2}+5b^{3})=$ $\large 5b(a^{2}+2ab+b^{2})$

Practique con algunos ejercicios…

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