Gráficas de las funciones de segundo grado

En esta página aprenderás a interpretar y dibujar gráficas de funciones de segundo grado, también llamadas parábolas. Veremos cómo identificar sus elementos clave —como el vértice, la concavidad y los puntos de corte— y cómo representan soluciones en diferentes situaciones.

Las funciones de segundo grado (o cuadráticas) son aquellas cuyo término de mayor grado es de grado 2. Su forma algebraica general es:

$y = a x^{2} + b x + c$

La gráfica de este tipo de funciones es siempre una parábola, cuya forma depende del coeficiente $a$ a: si $a>0$ abre hacia arriba y si $a<0$ abre hacia abajo.

¿Qué es una parábola?

Una parábola es una curva simétrica respecto a una recta vertical llamada eje de simetría.

Si $a>0$ , la parábola abre hacia arriba y tiene un mínimo.
Si $a<0$ , abre hacia abajo y tiene un máximo.
El punto más bajo o más alto se llama vértice.

Como construir la gráfica.

1.- Tabla de valores:

Representar gráficamente:

$y = x^{2}$

se toman valores de $x$ y calcular los correspondientes de $y$ :

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	0	1	2	3
$y$	9	4	1	0	1	4	9

Unimos todos los puntos $(x,y)$ y obtenemos la curva parabólica correspondiente.

2.- Simetría.

La parábola es simétrica respecto al eje vertical que pasa por el vértice.
Esto se ve porque para valores opuestos de $x$ (por ejemplo, +2 y –2), $y$ toma el mismo valor.

Efecto del coeficiente a.

Si consideramos funciones del tipo $y=a\,x^2$ y=ax2:

a > 0: la parábola está por encima del eje $x$ y tiene un mínimo en $x=0$ .
a < 0: la parábola está por debajo del eje $x$ y tiene un máximo en $x=0$ .

Esto se aprecia claramente al representar las curvas de:

$y = 2 x^{2} y = - 2 x^{2}$

Elementos de la gráfica de una función cuadrática.

Vértice.

El vértice es el punto más alto o más bajo de la parábola.

Eje de simetría.

Es una recta vertical que pasa por el eje.

Cortes por los ejes.

El corte con el eje y se obtiene sustituyendo $x=0$ x=0 en la función.

Los cortes con el eje x se obtienen resolviendo la ecuación $ax^2+bx+c=0$

Resumen.

   1. Una función de segundo grado siempre se representa con una parábola.
   2. Si $a>0$ la parábola abre hacia arriba; si $a<0$ abre hacia abajo.
   3. La concavidad de la curva y el mínimo o máximo dependen de $a$ .
  4. La simetría se observa tomando valores opuestos de $x$ .

Tipos de gráficas de las funciones de segundo grado.

I. Funciones y = x² ; y = ax²

Máximos y mínimos.- Una función pasa por un mínimo cuando cesa de decrecer para empezar a crecer.

Pasa un máximo cuando deja de crecer para empezar a decrecer.

Variación de la función y = x²

A x se le puede dar cualquier valor, a cada uno de los cuales corresponde un valor para y.

Formemos un cuadro de valores correspondientes de x e y.

x | — Ꝏ       –3     –2     –1     0     1     2     3     + Ꝏ
————————————————————-
y | + Ꝏ         9        4        1      0     1     4     9     + Ꝏ
————————————————————-
Puntos       C’      B’      A’      0     A     B     C

1.º El valor de y es siempre positivo, excepto para x = 0 en que y = 0
2.º Crece indefinidamente a medida que crece el valor de x. Es decir, para x ± Ꝏ , y ± Ꝏ.
3.º Para valores iguales y de signos contrarios de x, y toma el mismo valor. Así para x ± 2, y = + 4.
4.º Para x = 0 tiene un mínimo que es y = 0.

Representación gráfica de las funciones de segundo grado.

– Cada par de valores del cuadro anterior representa un punto, uniendo entre sí esos puntos se obtiene la curva representativa de y = x² .

Es una parábola cuyo eje de simetria es yy’.

Variación de y = x²

El coeficiente a puede ser positivo o negativo.

Consideremos estos dos ejemplos:

$\large y_{1}=2x^{2}\: \: \: ;\: \: \: y_{2}=-2x^{2}$

Del cuadro anterior se deduce:

1.º a > 0 y y = 2x² varía en el mismo sentido que y = x² por lo tanto:

1.º Es siempre positiva excepto para x = 0
2.º Para x = ± Ꝏ , y = + Ꝏ
3.º Es simétrica respecto del eje yy’
4.º Tiene un mínimo para x = 0 que es y = 0

2.º a < 0 y y₂ = — 2x² varía en sentido contrario a y = x² por lo tanto:

1.º Es siempre negativa excepto para x = 0
2.º Para x ± Ꝏ , y — Ꝏ
3.º Es simétrica respecto del eje yy’
4.º Tiene un mínimo para x = 0 que es y = 0

Representación gráfica.- Representando los puntos del cuadro (2) y uniéndolos tenemos la siguiente curva. Las dis parábolas con yy’ de eje de simetría.

Cuando a es positivo la parábola es tangente al eje xx’ y queda por encima de él.

Cuando a es negativo la parábola es tangente al eje xx’ y queda por debajo de él.

II. Trinomio de segundo grado

Definición.- Trinomio de 2º grado es una expresión de la forma:

ax² + bx + c (1)

cuyo valor para los diferentes de x se representa por y.

Raíces del trinomio de segundo grado.

Son los valores de x que lo anulan. Son por tanto las raíces de la ecuación que se obtiene al igualar el trinomio a cero.

Descomposición en factores.- Según vimos en la suma y productos de raíces, tenemos:

$\large x'+x''=-\frac{b}{a}\: \rightarrow \: b=-a(x'+x'')$

$\large x'\: .\:\: x''=\: \frac{c}{a}\: \rightarrow \: c=\: a(x'\: .\:\: x'')$

Sustituyendo en (1) b y c por sus valores:

$\large y=ax^{2}-a(x'+x'')x+ax'x''$

Sacar factor común a

$\large y=a[x^{2}-(x'+x'')x+x'x'']$

Efectuar paréntesis:

$\large y=a[x^{2}-xx'-xx''+x'x'']$

Agrupar factores:

$\large y=a[x(x-x')-x''(x-x')]$

Sacar factor común ( x – x’ )

$\large y=a(x-x')(x-x'')$

El trinomio de 2º grado es igual a un producto de tres factores : El primero es el coeficiente de x² y los otros dos se obtienen restando de x cada una de las raíces.

Ejemplo: Descomponer en factores a: 3x² + 9x – 30

$\large x=\frac{-9\pm \sqrt{81+360}}{6}=\left\{\begin{matrix} \, \, \, x=2\\ \\ \, x'=5\end{matrix}\right.$

$\large 3x^{2}+9x-30=3(x-2)(x+5)$

Variación del signo.- El trinomio descompuesto es factores es:

$\large y=a(x-x')(x-x'')$

Los dos últimos factores tienen siempre igual signo excepto para valores de x comprendidos entre x’ y x’ ‘, por tanto:

El signo del trinomio es siempre el de a excepto para los valores de x comprendidos entre las raices.

Ejemplo: Estudiar el signo de:

$\large 2x^{2}+2x-24=0$

$\large x=3\: \: \: ;\: \: \: x'=-4$

$2x^{2}+2x-24\left\{\begin{matrix} es\: +\: en\: el\: intervalo\: -\infty <x<-4\\ \\ es\: -\: en\: el\: intervalo\: \: -4<x\: <\: \:\: 3\\ \\ es\: +\: en\: el\: intervalo\: \: \: \: \: \: \: \: \: 3 <x\: <\infty \end{matrix}\right.$

Variación del valor.- Atribuyamos al trinomio un valor particular que llamaremos m y estudiemos entre qué límites puede variar m para que x permanezca real.

Escribimos: ax² + bx + c = m

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4a(c-m)}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac+4am}}{2a}$

para que x sea real se precisa que:

$\large b^{2}-4ac+4am\geq 0$

$\large 4am\geq 4ac-b^{2}$

1.º Si a es positivo

$\large m\geq \frac{4ac-b^{2}}{4a}$

2.º Si a es negativo

$\large m\leq \frac{4ac-b^{2}}{4a}$

En el primer caso al ser m mayor o igual el trinomio puede adquirir todos los valores comprendidos entre:

$\large +\infty \: \: \leftrightarrow \: \: \frac{4ac-b^{2}}{4a}$

siendo éste su máximo que lo adquiere para:

$\large x=-\frac{b}{2a}$

Representación gráfica.- Se sigue el procedimiento general. Sea representar el trinomio: y = x² + 6x + 8.

Hacemos el cuadro de valores.

x	–1 1 2 3 4 5 6 7
————	——————————————————-
y	15 8 3 0 $-1$ 0 3 8 15
————	——————————————————-
Puntos	A B C D E F G H I

La curva obtenida es una parábola.

Si el trinomio tiene dos raices desiguales, como en este caso, la parábola corta al eje xx’ en dos puntos, si tiene una raíz doble es tangente, si las raices son imaginarias la parábola no tiene ningún punto en común con el eje xx’.

Finalmente si a > 0 la curva está encima de xx’, en caso contrario queda debajo.

Resolución gráfica de la ecuación de 2º grado.- Se reduce siempre la ecuación a la forma:

$\large ax^{2}+bx+c=0$

Luego se traza la gráfica de la función que representa su primer miembro.

Las abscisas de los puntos donde la curva corta al eje xx’ son los valores de las raices de la ecuación.

Estos puntos de intersección pueden ser: dos, uno o ninguno, así la ecuación tendrá: dos, una o ninguna raía real.

Ejemplo I. Resolver gráficamente:

$\large x^{2}-4x+3=0$

x	–1 0 1 2 3 4 5
————	——————————————
y	8 3 0 $-1$ 0 3 8
————	——————————————-
Puntos	A B C D E F G

Ejemplo II. Resolver gráficamente:

$\large x^{2}-10x+25=0$

x	1 2 3 4 5 6 7 8 9
————	——————————————
y	16 9 4 1 0 1 4 9 16
————	——————————————-
Puntos	A B C D E F G H I

Ejemplo III. Resolver gráficamente:

$\large 2x^{2}-4x+5=0$

x	–1 0 1 2 3
————	—————————–
y	11 5 3 5 11
————	—————————–
Puntos	A B C D E

No tene raices reales.

Nota.- Para determinar los valores de x que figurarán en el cuadro, comiéncese por determinar el valor de x que origina el máximo o mínimo, que en los ejemplos dados son: