Gráficas de las funciones de 2º grado

I. Funciones   y = x2   ;    y = ax2

Máximos y mínimos.- Una función pasa por un mínimo cuando cesa de decrecer para empezar a crecer.

Pasa un máximo cuando deja de crecer para empezar a decrecer.

Variación de la función     y = x2

A  x  se le puede dar cualquier valor, a cada uno de los cuales corresponde un valor para  y.

Formemos un cuadro de valores correspondientes de  x  e  y.

x                                           
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y                                                    
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Puntos                 C’       B’       A’    O    A     B     C  
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1.º El valor de  y  es siempre positivo, excepto para   x = 0   en que   y = 0
2.º Crece indefinidamente a madida que crece el valor de  x. Es decir, para   x ±  ,   y ±.
3.º Para valores iguales y de signos contrarios de  x,  y toma el mismo valor. Así para   x ± 2,   y = + 4.
4.º Para   x = 0  tiene un mínimo que es  y = 0.

Representación gráfica.- Cada par de valores del cuadro anterior representa un punto, uniéndo netre sí esos puntos se obtiene la curva representativa de    y = x2 .

Es una parábola cuyo eje de simetria es yy’.

Variación de   y = x2

El coeficiente  a  puede ser positivo o negativo.

Consideremos estos dos ejemplos:

   
x        -2       -1       0         1       2          
————
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y        +8      +2       0      +2      +8         
————
—————————————————————– (2)
y_{1}        -8        -2       0       -2       -8         
———— —————————————————————–  
Puntos                 B’       A’       O        A       B  
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Del cuadro anterior se deduce:

1.º   a > 0  y  y = 2x2   varía en el mismo sentido que   y = x2    por lo tanto:

  Es siempre positiva excepto para   x = 0.  
     
  Para    x ±  ,   y + .  
     
  Es simétrica respecto del eje   yy’.  
     
  Tiene un mínimo para   x = 0  que es   y = 0  

2.º   a < 0  y  y2 = — 2x2   varía en sentido contrario a    y = x2    por lo tanto:

  Es siempre negativa excepto para   x = 0.  
     
  Para    x ±  ,   y —  
     
  Es simétrica respecto del eje   yy’.  
     
  Tiene un mínimo para   x = 0  que es   y = 0  

Representación gráfica.- Representando los puntos del cuadro (2) y uniéndolos tenemos la siguiente curva. Las dis parábolas con yy’ de eje de simetría.

Cuando   a  es positivo la parábola es tangente al eje xx’ y queda por encima de él.

Cuando  a  es negativo la parábola es tangente al eje xx’ y queda por debajo de él.

II. Trinomio de 2º grado

Definición.- Trinomio de 2º grado es una expresión de la forma:

ax2 + bx + c    (1)

cuyo valor para los diferentes de  x  se representa por  y.

Raices del trinomio.- Son los valores de x  que lo anulan. Son por tanto las raíces de la ecuación que se obtiene al igualar el trinomio a cero.

Descomposición en factores.- Tenemos:

     
   

Sustituyendo en (1)   b   y   c   por sus valores:

y = ax2 – a (x’ + x’ ‘ ) x + ax’ + x’ ‘

Sacar factor común   a

y = a [x2  – ( x’ + x’ ‘ ) x + x’x’ ‘ ]

Efectuar paréntesis:

y = a [x2  – x’ xx’ ‘ x + x’x’ ‘  ]

Agrupar factores:

y = a [x ( x – x’ ) – x’ ‘ ( x – x’ )]

Sacar factor conún ( x – x’ )

y = a (x – x’ ) (x – x’ )

El trinomio de 2º grado es igual a un producto de tres factores : El primero es el coeficiente de  x2  y los otros dos se obtienen destando de  x  cada una de las raices.

Ejemplo: Descomponer en factores a:      3x2 + 9x – 30

   
   

Variación del signo.- El trinomio descompuesto es factores es:

   

Los dos últimos factores tienen siempre igual signo excepto para valores de x comprendidos entre x’ y x’ ‘, por tanto:

El signo del trinomio es siempre el de  a  excepto para los valores de  x  comprendidos entre las raices.

Ejemplo: Estudiar el signo de:

   
  2x^{2}+2x+24 \left\{\begin{matrix} \mathrm{es \: positivo\: en\: el\: intervalo}\: \: -\infty <x<-4\\ \\ \mathrm{es\: negativo\: en\: el\: intervalo}\: \: -4<x<\:\: \: \: \: 3\\ \\ \mathrm{es\: positivo\: en\: el\: intervalo}\: \: \: +3<x<\: \: \: \infty \end{matrix}\right.  

Variación del valor.- Atrubuyamos al trinomio un valor particular que llamaremos m y estudiemos éntre qué límites puede variar mpara que x permanezca real.

Escribimos:      ax2 + bx + c = m    

   

para que x sea real se precisa que:

  b^{2}-4ac+4am\geq 0\: \: ;\: \: 4am\geq 4ac-b^{2}  
1.º   Si a es positivo: m\geq \frac{4ac-b^{2}}{4a}
2.º Si a es negativo: m\leq \frac{4ac-b^{2}}{4a}

En el primer caso al ser m mayor o igual el trinomio puede adquirir todos los valores comprendidos entre:

   

siendo éste su máximo que lo adquiere para:

   

Representación gráfica.- Se sigue el procedimiento general. Sea representar el trinomio: y = x2 + 6x + 8.

Hacemos el cuadro de valores.  

x   –1         1     2     3     4     5     6     7  
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y     15    8     3     0  -1     0     3     8    15  
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Puntos      A     B    C     D     E     F    G     H     I  

La curva obtenida es una parábola.

Si el trinomio tiene dos raices desiguales, como en este caso, la parábola corta al eje xx’ en dos puntos, si tiene una raíz doble es tangente, si las raices son imaginarias la parábola no tiene ningún punto en común con el eje xx’.

Finalmente si a > 0 la curva está encima de xx’, en caso contrario queda debajo.

Resolución gráfica de la ecuación de 2º grado.- Se reduce siempre la ecuación a la forma:

   

Luego se traza la gráfica de la función que representa su primer miembro.

Las abscisas de los puntos donde la curva corta al eje xx’ son los valores de las raices de la ecuación.

Estos puntos de intersección pueden ser: dos, uno o ninguno, así la ecuación tendrá: dos, una o ninguna raía real.

Ejemplo I. Resolver gráficamente:

   
x   –1      0    1     2     3     4     5  
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y      8     3     0  -1     0     3     8  
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Puntos      A     B    C     D     E     F    G  

Ejemplo II. Resolver gráficamente:

   
x   1    2    3    4    5    6    7    8    9  
———— ——————————————  
y  16   9    4    1    0    1    4    9    16  
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Puntos  A    B    C    D    E    F   G   H     I  

Ejemplo III. Resolver gráficamente:

   
x   –1     0    1    2    3  
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y     11    5    3    5   11         
———— —————————–  
Puntos      A    B    C    D   E  

No tene raices reales.

Nota.- Para determinar los valores de x que figurarán en el cuadro, comiéncese por determinar el valor de x que origina el máximo o mínimo, que en los ejemplos dados son:

  Ej. 1.º Ej. 2.º Ej. 3.º