Progresiones aritméticas
Progresiones.- Es un conjunto de términos que se deducen unos de otros según una ley constante.
Hay dos clases de progresiones: aritméticas o por diferencia y geométricas o por cociente.
Progresion aritméticas es una serie de números tales que cada uno de ellos es igual al anterior más una cantidad fija llamada razón de la proporción.
Si a razón es positiva, los términos van aumentando y la progresión es creciente, si la razón es negativa, los términos van disminuyendo y la progresión es decreciente.
Las progresiones aritméticas se escriben poniendo delante del primer término ÷ que se lee como, y entre cada dos términos consecutivos un punto, que se lee es a.
Ejemplo:
÷ 2 . 5 . 8 . 11 . 14… y ÷ 30 . 28 . 26 . 24 . 22…
que se leen: como 2 es a 5, es a 8, es a 11… y como 30 es 28, es a 26…
La primera progresión es creciente y su razón es +3, la segunda es decreciente y su razón es -2.
Cálculo de un término.-En una progresión aritmética un término cualquiera esi igual al primero más tantas veces la razón como términos hay delante de él.
Sea la progresión: |
Por definición | |||
——————————————————- | |||
En general: |
Fórmulas derivadas.- De la anterior se deducen:
Ejemplo I. Hallar el 8º término de la progresión: ÷25 . 21 . 17 …
Solución: El témino buscado es -3.
Ejemplo II. Hallar la razón de la progresión aritmética cuyo primer término es 25 y el octavo es -3.
Solución: La razón es -4.
Ejemplo III. Hallar cuántos términos tiene una progresión aritmética cuyos extremos son 25 y -3, teniendo -4 por razón.
Solución: El número de términos es de 8.
Teorema.- En una progresión aritmética la suma de dos términos cualesquiera equidistantes de los extremos es siempre igual a la suma de los extremos.
En la progresión ÷ a . b . c . d …..i . j . k . l
tenemos: d = a + 3r e i = l – 3r
y sumando miembro a mienbro las dos igualdades, resulta: d + i = l – 3r
Cuando la progresión tiene un número impar de términos, el término del medio es igual a la semisuma de los extremos.
Ejemplo: En una progresión de 11 términos cuyo primer término es 2 y el último es 32, el término del medio es igual a:
Suma de los términos.- La suma de los términos de una progresión aritmética es igual a la semisuma de los extremos multiplicada por el número de términos.
Sea la progresión:
Su suma será:
O bien:
Sumando miembro a miembro tenemos:
La suma ( a1 + an ) entra tantas veces como términos tiene la progresión, luego:
de donde |
Ejemplo 1.º Hallar la suma de los cien primeros números.
Luego la suma de los 100 primeros números será: 5.050
Ejemplo 2.º Hallar la suma de los 51 términos dela progresión: ÷1 . 6 . 11 . 16 …
a) El último término será:
b) Su suma es:
Luego la suma de los 51 términos de la pregresión dada es : 6.426
Otra fórmula.- Si se desconce el último término se reemplaza an por su valor an = a1 + (n – 1)r en la fórmula:
y tendremos:
Ejemplo: Hallar la suma de los n primeros números pares.
Luego la suma de los 100 primeros números pares será:
1002 + 100 = 10.100
Medios aritméticos o diferenciales son los números que forman con otros dos, que se toman como extremos, una progresión aritmética.
Así, con los extremos 2 y 12 podmos formar una progresión interponiendo entre ellos otros números, tendremos:
÷ 2 . 4 . 6 . 8 . 10 . 12 .
Esta acción se llama interpolación.
Para interpolar cierto número de términos entre dos números dados se halla primero la razón de la nueva progresión y después se forman los términos añadiendo la razón al anterior.
Ejemplo: Interpólese entre 2 y 26 cinco medios aritméticos.
La razón será: |
Luego los medios pedidos son: 6, 10, 14, 18 y 22
Como se ve, cuando se quiere interpolar varios medios la razón es igual a la diferencia de los extremos dividida por el número de medios que se interpolan má 1.
Llamando m al número de medios que se interpolan, el valor de la r será:
Si entre los términos consecutivos de una misma progresión se va interpolando el mismo número de medios se forma una sola progresión.
Ejemplo: Interpolar tres medios aritméticos entre cada dos términos consecutivos de la progresión:
÷ 2 . 14 . 26 . 38 .
La razón será:
luego tendremos:
÷ 2 . 5 . 8 . 11 . 38 . | ||
÷ 14 . 17 . 20 . 23 . 26 . | ||
÷ 26 . 29 . 32 . 35 . 38 . |
que se puede escribir:
÷ 2 . 5 . 8 . 11 . 14 . 17 . 20 . 23 . 26 . 29 . 32 . 35 . 38 .