Progresiones aritméticas

Progresiones aritméticas.

Las progresiones aritméticas son un conjunto de términos que se deducen unos de otros según una ley constante.

Hay dos clases de progresiones: aritméticas o por diferencia y geométricas o por cociente.

Progresión aritméticas es una serie de números tales que cada uno de ellos es igual al anterior más una cantidad fija llamada razón de la proporción.

Si a razón es positiva, los términos van aumentando y la progresión es creciente, si la razón es negativa, los términos van disminuyendo y la progresión es decreciente.

Las progresiones aritméticas se escriben poniendo delante del primer término ÷ que se lee como, y entre cada dos términos consecutivos un punto, que se lee es a.

Ejemplo:

que se leen: como 2 es a 5, es a 8, es a 11…  y  como 30 es 28, es a 26…

La primera progresión es creciente y su razón es +3, la segunda es decreciente y su razón es -2.

Cálculo de un término en una progresión aritmética.

Un término cualquiera es igual al primero más tantas veces la razón como términos hay delante de él.

Sea la progresión;

Fórmulas derivadas.- De la anterior se deducen:

Ejemplo I. Hallar el 8.º término de la progresión:      ÷25 . 21 . 17 …

Solución: El término buscado es -3.

Ejemplo II. Hallar la razón de la progresión aritmética cuyo primer término es 25 y el octavo es -3.

Solución: La razón es -4.

Ejemplo III. Hallar cuántos términos tiene una progresión aritmética cuyos extremos son 25 y -3, teniendo -4 por razón.

Solución: El número de términos es de 8.

Teorema.- En una progresión aritmética la suma de dos términos cualesquiera equidistantes de los extremos es siempre igual a la suma de los extremos.

En la progresión:

tenemos:

y sumando miembro a miembro las dos igualdades, resulta:

Cuando la progresión tiene un número impar de términos, el término del medio es igual a la semisuma de los extremos.

Ejemplo: En una progresión de 11 términos cuyo primer término es 2 y el último es 32, el término del medio es igual a:

Suma de los términos de una progresión aritmética.

La suma de los términos de una progresión aritmética es igual a la semisuma de los extremos multiplicada por el número de términos.

Sea la progresión:

Su suma será:

O bien:

Sumando miembro a miembro tenemos:

La suma ( a₁ + a_n ) entra tantas veces como términos tiene la progresión, luego:

Ejemplo 1.º Hallar la suma de los cien primeros números.

Luego la suma de los 100 primeros números será: 5.050

Ejemplo 2.º Hallar la suma de los 51 términos dela progresión: ÷1 . 6 . 11 . 16 …

a) El último término será:

b) Su suma es:

Luego la suma de los 51 términos de la progresión dada es : 6.426

Otra fórmula.- Si se desconoce el último término se reemplaza  a_n  por su valor  a_n = a₁ + (n – 1)r  en la fórmula:

y tendremos:

Ejemplo: Hallar la suma de los n primeros números pares.

Luego la suma de los 100 primeros números pares será:
100² + 100 = 10.100

Medios aritméticos o diferenciales.

son los números que forman con otros dos, que se toman como extremos, una progresión aritmética.

Así, con los extremos 2 y 12 podmos formar una progresión interponiendo entre ellos otros números, tendremos:

Esta acción se llama interpolación.

Para interpolar cierto número de términos entre dos números dados se halla primero la razón de la nueva progresión y después se forman los términos añadiendo la razón al anterior.

Ejemplo: Interpólese entre 2 y 26 cinco medios aritméticos.

La razón será:

Los medios pedidos son:

Como se ve, cuando se quiere interpolar varios medios la razón es igual a la diferencia de los extremos dividida por el número de medios que se interpolan má 1.

Llamando m al número de medios que se interpolan, el valor de la r  será:

Si entre los términos consecutivos de una misma progresión se va interpolando el mismo número de medios se forma una sola progresión.

Ejemplo: Interpolar tres medios aritméticos entre cada dos términos consecutivos de la progresión:

La razón será:

luego tendremos:

que se puede escribir:

Practique con algunos ejercicios…

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