Progresiones aritméticas

Progresiones aritméticas.

Las progresiones aritméticas son un conjunto de términos que se deducen unos de otros según una ley constante.

Hay dos clases de progresiones: aritméticas o por diferencia y geométricas o por cociente.

Progresión aritméticas es una serie de números tales que cada uno de ellos es igual al anterior más una cantidad fija llamada razón de la proporción.

Si a razón es positiva, los términos van aumentando y la progresión es creciente, si la razón es negativa, los términos van disminuyendo y la progresión es decreciente.

Las progresiones aritméticas se escriben poniendo delante del primer término ÷ que se lee como, y entre cada dos términos consecutivos un punto, que se lee es a.

Ejemplo:

$estilo tamaño 16px dividido por 2 espacio. espacio 5 espacio. espacio 8 espacio. espacio 11 espacio. espacio 14... espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio dividido por 30 espacio. espacio 28 espacio. espacio 26 espacio. espacio 24 espacio. espacio 22... fin estilo$

que se leen: como 2 es a 5, es a 8, es a 11… y como 30 es 28, es a 26…

La primera progresión es creciente y su razón es +3, la segunda es decreciente y su razón es -2.

Cálculo de un término en una progresión aritmética.

Un término cualquiera es igual al primero más tantas veces la razón como términos hay delante de él.

Sea la progresión;

$estilo tamaño 20px dividido por a subíndice 1 espacio. espacio a subíndice 2 espacio. espacio a subíndice 3 espacio. espacio a subíndice 4 espacio. espacio. espacio. espacio a subíndice n fin estilo$

estilo tamaño 20px a subíndice 1 espacio igual espacio a subíndice 1 espacio más espacio r
a subíndice 3 espacio igual espacio a subíndice 2 espacio más espacio r espacio igual espacio a subíndice 1 espacio más espacio r espacio más espacio espacio espacio r espacio igual espacio a subíndice 1 espacio más espacio 2 r
a subíndice 4 espacio igual espacio a subíndice 3 espacio más espacio r espacio igual espacio a subíndice 1 espacio más espacio 2 r espacio más espacio r espacio igual espacio a subíndice 1 espacio más espacio 3 r
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
a subíndice n espacio igual espacio a subíndice 1 espacio más espacio r espacio paréntesis izquierdo n menos 1 paréntesis derecho fin estilo

Fórmulas derivadas.- De la anterior se deducen:

$estilo tamaño 20px a subíndice 1 igual a subíndice n menos r abrir paréntesis n menos 1 cerrar paréntesis espacio espacio punto y coma espacio espacio r espacio igual espacio fracción numerador a subíndice n menos a subíndice 1 entre denominador n menos 1 fin fracción espacio espacio punto y coma espacio espacio n igual fracción numerador a subíndice n menos a subíndice 1 entre denominador r fin fracción más 1 fin estilo$

Ejemplo I. Hallar el 8.º término de la progresión: ÷25 . 21 . 17 …

$estilo tamaño 20px r igual 21 menos 25 igual menos 4 espacio espacio espacio punto y coma espacio espacio espacio a subíndice 8 igual 25 menos abrir paréntesis 4 espacio. espacio 7 cerrar paréntesis igual menos 3 fin estilo$

Solución: El término buscado es -3.

Ejemplo II. Hallar la razón de la progresión aritmética cuyo primer término es 25 y el octavo es -3.

$estilo tamaño 20px r igual fracción numerador menos 3 menos 25 entre denominador 8 menos 1 fin fracción igual menos 4 fin estilo$

Solución: La razón es -4.

Ejemplo III. Hallar cuántos términos tiene una progresión aritmética cuyos extremos son 25 y -3, teniendo -4 por razón.

$estilo tamaño 20px n igual fracción numerador menos 3 menos 25 entre denominador menos 4 fin fracción más 1 igual 8 fin estilo$

Solución: El número de términos es de 8.

Teorema.- En una progresión aritmética la suma de dos términos cualesquiera equidistantes de los extremos es siempre igual a la suma de los extremos.

En la progresión:

$estilo tamaño 20px dividido por a espacio. espacio b espacio. espacio c espacio. espacio d espacio.......... espacio i espacio. espacio j espacio. espacio k espacio. espacio l fin estilo$

tenemos:

$estilo tamaño 20px d igual a más 3 r espacio espacio espacio espacio espacio e espacio espacio espacio espacio espacio i igual l menos 3 r fin estilo$

y sumando miembro a miembro las dos igualdades, resulta:

$estilo tamaño 20px d más i igual a más l fin estilo$

Cuando la progresión tiene un número impar de términos, el término del medio es igual a la semisuma de los extremos.

Ejemplo: En una progresión de 11 términos cuyo primer término es 2 y el último es 32, el término del medio es igual a:

$estilo tamaño 20px fracción numerador 2 más 32 entre denominador 2 fin fracción igual 17 fin estilo$

Suma de los términos de una progresión aritmética.

La suma de los términos de una progresión aritmética es igual a la semisuma de los extremos multiplicada por el número de términos.

Sea la progresión:

$estilo tamaño 20px dividido por a subíndice 1. paréntesis izquierdo a subíndice 1 más r paréntesis derecho. paréntesis izquierdo a subíndice 1 más 2 r paréntesis derecho.... paréntesis izquierdo a subíndice n menos 2 r paréntesis derecho. paréntesis izquierdo a subíndice n menos r paréntesis derecho. a subíndice n fin estilo$

Su suma será:

$estilo tamaño 20px S igual a subíndice 1 más paréntesis izquierdo a subíndice 1 más r paréntesis derecho más paréntesis izquierdo a subíndice 1 más 2 r paréntesis derecho más... espacio fin estilo$ $estilo tamaño 20px más paréntesis izquierdo a subíndice menos menos 2 r paréntesis derecho más paréntesis izquierdo a subíndice n menos r paréntesis derecho más a subíndice n fin estilo$

O bien:

$estilo tamaño 20px S igual a subíndice n más paréntesis izquierdo a subíndice n menos r paréntesis derecho más paréntesis izquierdo a subíndice n menos 2 r paréntesis derecho más... fin estilo$ $estilo tamaño 20px más paréntesis izquierdo a subíndice 1 más 2 r paréntesis derecho más paréntesis izquierdo a subíndice 1 más r paréntesis derecho más a subíndice 1 fin estilo$

Sumando miembro a miembro tenemos:

$estilo tamaño 20px 2 S igual paréntesis izquierdo a subíndice 1 más a subíndice n paréntesis derecho más paréntesis izquierdo a subíndice 1 más a subíndice n paréntesis derecho más... fin estilo$ $estilo tamaño 20px más paréntesis izquierdo a subíndice 1 más a subíndice n paréntesis derecho más paréntesis izquierdo a subíndice 1 más a subíndice n paréntesis derecho fin estilo$

La suma ( a₁ + a_n ) entra tantas veces como términos tiene la progresión, luego:

$estilo tamaño 20px 2 S igual n paréntesis izquierdo a subíndice 1 más a subíndice n paréntesis derecho espacio espacio espacio espacio flecha doble derecha espacio espacio espacio espacio S igual fracción numerador a subíndice 1 más a subíndice n entre denominador 2 fin fracción. espacio n fin estilo$

Ejemplo 1.º Hallar la suma de los cien primeros números.

$estilo tamaño 20px S igual fracción numerador 1 más 100 entre denominador 2 fin fracción.100 igual 5050 fin estilo$

Luego la suma de los 100 primeros números será: 5.050

Ejemplo 2.º Hallar la suma de los 51 términos dela progresión: ÷1 . 6 . 11 . 16 …

a) El último término será:

$estilo tamaño 20px a subíndice 51 igual 1 más paréntesis izquierdo 50 espacio. espacio 5 paréntesis derecho igual 251 fin estilo$

b) Su suma es:

$estilo tamaño 20px S igual fracción numerador 1 más 251 entre denominador 2 fin fracción.51 igual 6426 fin estilo$

Luego la suma de los 51 términos de la progresión dada es : 6.426

Otra fórmula.- Si se desconoce el último término se reemplaza a_n por su valor a_n = a₁ + (n – 1)r en la fórmula:

$estilo tamaño 20px a subíndice n igual a subíndice 1 más r paréntesis izquierdo n menos 1 paréntesis derecho fin estilo$

y tendremos:

$estilo tamaño 20px S igual fracción numerador corchete izquierdo a subíndice 1 más a subíndice 1 más r paréntesis izquierdo n menos 1 paréntesis derecho corchete derecho n entre denominador 2 fin fracción igual fin estilo$ $estilo tamaño 20px fracción numerador corchete izquierdo 2 a subíndice 1 más r paréntesis izquierdo n menos 1 paréntesis derecho corchete derecho n entre denominador 2 fin fracción fin estilo$

Ejemplo: Hallar la suma de los n primeros números pares.

$estilo tamaño 20px S igual fracción numerador corchete izquierdo 2.2 más paréntesis izquierdo n menos 1 paréntesis derecho n entre denominador 2 fin fracción igual fin estilo$ $estilo tamaño 20px fracción numerador 4 n más 2 n al cuadrado menos 2 n entre denominador 2 fin fracción igual n al cuadrado más n fin estilo$

Luego la suma de los 100 primeros números pares será:
100² + 100 = 10.100

Medios aritméticos o diferenciales.

son los números que forman con otros dos, que se toman como extremos, una progresión aritmética.

Así, con los extremos 2 y 12 podmos formar una progresión interponiendo entre ellos otros números, tendremos:

$estilo tamaño 20px dividido por 2 espacio. espacio 4 espacio. espacio 6 espacio. espacio 8 espacio. espacio 10 fin estilo$

Esta acción se llama interpolación.

Para interpolar cierto número de términos entre dos números dados se halla primero la razón de la nueva progresión y después se forman los términos añadiendo la razón al anterior.

Ejemplo: Interpólese entre 2 y 26 cinco medios aritméticos.

La razón será:

$estilo tamaño 20px r igual fracción numerador 26 menos 2 entre denominador 7 menos 1 fin fracción igual 4 fin estilo$

Los medios pedidos son:

$estilo tamaño 20px 6 coma espacio 10 coma espacio 14 coma espacio 18 espacio y espacio 22 fin estilo$

Como se ve, cuando se quiere interpolar varios medios la razón es igual a la diferencia de los extremos dividida por el número de medios que se interpolan má 1.

Llamando m al número de medios que se interpolan, el valor de la r será:

$estilo tamaño 20px r igual fracción numerador a subíndice n menos a subíndice 1 entre denominador n menos 1 fin fracción igual fracción numerador a subíndice n menos a subíndice 1 entre denominador m más 1 fin fracción fin estilo$

Si entre los términos consecutivos de una misma progresión se va interpolando el mismo número de medios se forma una sola progresión.

Ejemplo: Interpolar tres medios aritméticos entre cada dos términos consecutivos de la progresión:

$estilo tamaño 20px dividido por 2 espacio. espacio 14 espacio. espacio 26 espacio. espacio 38 espacio. fin estilo$

La razón será:

$estilo tamaño 20px fracción numerador 14 menos 2 entre denominador 4 fin fracción igual fracción numerador 26 menos 14 entre denominador 4 fin fracción igual fracción numerador 38 menos 26 entre denominador 4 fin fracción igual 3 fin estilo$

luego tendremos:

$estilo tamaño 20px dividido por espacio espacio 2 espacio espacio. espacio espacio 5 espacio. espacio espacio espacio 8 espacio. espacio 11 espacio. espacio 14 espacio dividido por espacio 14 espacio. espacio 17 espacio. espacio 20 espacio. espacio 23 espacio. espacio 26 dividido por espacio 26 espacio. espacio 29 espacio. espacio 32 espacio. espacio 35 espacio. espacio 38 fin estilo$

que se puede escribir:

$estilo tamaño 20px dividido por 2 espacio. espacio 5 espacio. espacio 8 espacio. espacio 14 espacio. espacio 17 espacio. espacio 20 espacio. espacio 23 espacio. espacio 26 espacio. espacio 29 espacio. espacio 32 espacio. espacio 35 espacio. espacio 38 fin estilo$

Practique con algunos ejercicios…

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