Progresiones aritméticas

Progresiones.- Es un conjunto de términos que se deducen unos de otros según una ley constante.

Hay dos clases de progresiones: aritméticas o por diferencia y geométricas o por cociente.

Progresion aritméticas es una serie de números tales que cada uno de ellos es igual al anterior más una cantidad fija llamada razón de la proporción.

Si a razón es positiva, los términos van aumentando y la progresión es creciente, si la razón es negativa, los términos van disminuyendo y la progresión es decreciente.

Las progresiones aritméticas se escriben poniendo delante del primer término ÷ que se lee como, y entre cada dos términos consecutivos un punto, que se lee es a.

Ejemplo:

÷ 2 . 5 . 8 . 11 . 14…     y     ÷ 30 . 28 . 26 . 24 . 22…

que se leen: como 2 es a 5, es a 8, es a 11…  y  como 30 es 28, es a 26…

La primera progresión es creciente y su razón es +3, la segunda es decreciente y su razón es -2.

Cálculo de un término.-En una progresión aritmética un término cualquiera esi igual al primero más tantas veces la razón como términos hay delante de él.

  Sea la progresión:     \div \: a_{1}\: .\: a_{2}\: .\: a_{3}\: .\: a_{4}\: ...  
  Por definición a_{2}=a_{1}+r  
       
    a_{3}=a_{2}+r=a_{1}+r+r=a_{1}+2r  
       
    a_{4}=a_{3}+r=a_{1}+2r+r=a_{1}+3r  
    ——————————————————-  
  En general: a_{n}=a_{1}+r(n-1)  

Fórmulas derivadas.- De la anterior se deducen:

a_{1}=a_{n}-r(n-1) r=\frac{a_{n}-a_{1}}{n-1} n=\frac{a_{n}-a_{1}}{r}+1

Ejemplo I. Hallar el 8º término de la progresión:      ÷25 . 21 . 17 …

r=21-25=4 a_{8}=25-(4\: \mathrm{x}\: 7)=-3

Solución: El témino buscado es -3.

Ejemplo II. Hallar la razón de la progresión aritmética cuyo primer término es 25 y el octavo es -3.

  r=\frac{-3-25}{8-1}=-4  

Solución: La razón es -4.

Ejemplo III. Hallar cuántos términos tiene una progresión aritmética cuyos extremos son 25 y -3, teniendo -4 por razón.

  n=\frac{-3-25}{-4}+1=8  

Solución: El número de términos es de 8.

Teorema.- En una progresión aritmética la suma de dos términos cualesquiera equidistantes de los extremos es siempre igual a la suma de los extremos.

En la progresión      ÷ a . b . c . d …..i . j . k . l

tenemos:                   d = a + 3r      e      i = l – 3r

y sumando miembro a mienbro las dos igualdades, resulta:       d + i = l – 3r

Cuando la progresión tiene un número impar de términos, el término del medio es igual a la semisuma de los extremos.

Ejemplo: En una progresión de 11 términos cuyo primer término es 2 y el último es 32, el término del medio es igual a:

  \frac{2+32}{2}=17  

Suma de los términos.- La suma de los términos de una progresión aritmética es igual a la semisuma de los extremos multiplicada por el número de términos.

Sea la progresión:

\div a_{1}\: .\: (a_{1}+r)\: .\: (a_{1}+2r)\: ...\: (a_{n}-2r)\: .\: (a_{n}-r)\: .\: a_{n}

Su suma será:

a_{1}+(a_{1}+r)+(a_{1}+2r)+..+(a_{n}-2r)+(a_{n}-r)+a_{n}

O bien:

a_{n}+(a_{n}-r)+(a_{n}-2r)+..+(a_{1}+2r)+(a_{1}+r)+a_{1}

Sumando miembro a miembro tenemos:

2S=(a_{1}+a_{n})+(a_{1}+a_{n})+..+(a_{1}+a_{n})+(a_{1}+a_{n})

La suma ( a1 + an ) entra tantas veces como términos tiene la progresión, luego:

2S=(a_{1}+a_{n})n de donde S=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\: .\; n

Ejemplo 1.º Hallar la suma de los cien primeros números.

S=\frac{1+100}{2}\mathrm{\: x\: }100=5050

Luego la suma de los 100 primeros números será: 5.050

Ejemplo 2.º Hallar la suma de los 51 términos dela progresión: ÷1 . 6 . 11 . 16 …

a) El último término será:

a_{51}=1+(50\mathrm{\: x\: }5)=251

b) Su suma es:

S=\frac{1+251}{2}\mathrm{\: x\: 51}=6426

Luego la suma de los 51 términos de la pregresión dada es : 6.426

Otra fórmula.- Si se desconce el último término se reemplaza  an  por su valor  an = a1 + (n – 1)r  en la fórmula:

S=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\: .\; n

y tendremos:

S=\frac{[a_{1}+a_{1}+(n-1)r]n}{2}=\frac{[2a_{1}+(n-1)r]n}{2}

Ejemplo: Hallar la suma de los n primeros números pares.

S=\frac{[2.2+(n-1)2]n}{2}=\frac{4n+2n^{2}-2n}{2}=n^{2}+n

Luego la suma de los 100 primeros números pares será:
1002 + 100 = 10.100

Medios aritméticos o diferenciales son los números que forman con otros dos, que se toman como extremos, una progresión aritmética.

Así, con los extremos 2 y 12 podmos formar una progresión interponiendo entre ellos otros números, tendremos:

÷ 2 . 4 . 6 . 8 . 10 . 12 .

Esta acción se llama interpolación.

Para interpolar cierto número de términos entre dos números dados se halla primero la razón de la nueva progresión y después se forman los términos añadiendo la razón al anterior.

Ejemplo: Interpólese entre 2 y 26 cinco medios aritméticos.

   La razón será: r=\frac{26-2}{7-1}=4

 Luego los medios pedidos son:    6, 10, 14, 18 y 22

Como se ve, cuando se quiere interpolar varios medios la razón es igual a la diferencia de los extremos dividida por el número de medios que se interpolan má 1.

Llamando m al número de medios que se interpolan, el valor de la r  será:

r=\frac{a_{n}-a_{1}}{n-1}=\frac{a_{n}-a_{1}}{m+1}

Si entre los términos consecutivos de una misma progresión se va interpolando el mismo número de medios se forma una sola progresión.

Ejemplo: Interpolar tres medios aritméticos entre cada dos términos consecutivos de la progresión:

÷ 2 . 14 . 26 . 38 .

La razón será:

\frac{14-2}{4}=\frac{26-14}{4}=\frac{38-26}{4}=3

luego tendremos:

  ÷   2 .   5 .   8 . 11 . 38 .  
  ÷ 14 . 17 . 20 . 23 . 26 .  
  ÷ 26 . 29 . 32 . 35 . 38 .  

que se puede escribir:

÷ 2 . 5 . 8 . 11 . 14 . 17 . 20 . 23 . 26 . 29 . 32 . 35 . 38 .