Líneas trigonométricas

Definiciones de las líneas trigonométricas.

Si en la figura 4 tomamos como centro el punto $B$ y, con un radio igual a la hipotenusa, trazamos el arco $A’C$ , y por el punto $A’$ trazamos la tangente $A’T$ perpendicular a $BA’$ , obtenemos la construcción clásica de las líneas trigonométricas.

Por A’ trazamos la tangente A’T (A’T perperdicular a BA’).

Si ahora tomamos como unidad la hipotenusa (o radio), las razones trigonométricas se convierten en segmentos, llamados líneas trigonométricas:

Se obtiene:

$\large sen\, \alpha =b\: \: \: ;\: \: \: tg\, \alpha =A'T$

$\large cos\, \alpha =c\: \: \: ;\: \: \: sec\, \alpha =BT$

Construcción de las líneas trigonométricas.

En la figura 5, los radios $OA$ y $OB$ son perpendiculares, por lo que los ángulos $\alpha$ y $\beta$ son complementarios.

Tomando:

• A como origen de ángulos.
• B como origen de complementarios,

$\large NM=sen\, \alpha =cos\, \beta$

$\large AT=tg\, \alpha =cotg\, \beta$

$\large OT=sec\, \alpha =cosec\, \beta$

$\large PM=ON=cos\, \alpha =sen\, \beta$

$\large BR=cotg\, \alpha =tg\, \beta$

Trazado de las líneas trigonométricas en cada uno de los cuadrantes.

Para un ángulo $a$ :

$\large sen\, a=NM$

$\large cosec\, a=OR$

$\large cos\, a=PM=ON$

$\large sec\, a=OT$

$\large tg\, a=AT$

$\large cotg\, a=BR$

Estas líneas se representan de forma distinta en cada uno de los cuatro cuadrantes, conservando su valor absoluto y variando el signo según el cuadrante.

Primer y segundo cuadrante:

Tercer y cuarto cuadrante:

Signos de las líneas trigonométricas.

Seno, coseno y tangente.

a) El seno es positivo en el primer y segundo cuadrante, y negativo en el tercero y cuarto.

b) El coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante, y negativo en el segundo y tercero.

c) La tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante, y negativa en el segundo y cuarto.

Secante, cosecante y cotangente.

La secante, cosecante y cotangente tienen el mismo signo que sus razones inversas:

Variaciones de las líneas trigonométricas.

Variaciones de valor.- En el circulo inferior el punto P se mueve describiendo arcos a partir de A. Cuando P coincide con A, el arco y el seno son nulos, podemos decir.

$\large sen\, 0^{0}=0\: \: \: ;\: \: \: cos\, 0^{0}=1$

A medida que Pse va acercando a B el arco aumenta, lo mismo que el seno, pero el coseno disminuye; cuando llegue a B, es decir cuando el arco a valga 90^o .

A π/2 radianes tendremos:

$\large sen\, 90^{0}=1\: \: \: ;\: \: \: cos\, 90^{0}=0$

Pasado el punto B se va acercando P a A’; el arco aumenta, el seno disminuye y el coseno aumenta en valor absoluto perose hace negativo, al llegar a A’, arco a = 180º = π

$\large sen\, 180^{0}=0\: \: \: ;\: \: \: cos\, 180^{0}=-1$

Al pasar de A’, el arco sgue aumentado, el seno aumenta en valor absoluto , pero negativo; el coseno disminuye en valoe abdoluto , al llegar a B’ tenemos a = 270º = 3π/2

$\large sen\, 270^{0}=-1\: \: \: ;\: \: \: cos\, 270^{0}=0$

En el cuarto cuadrante el arco aumenta, el seno dieminuye en valor absoluto pero se conseva negativo, el coseno se hace positico y va aumentando. Al llegar el arco a = 360º = 2π

$\large sen\, 360^{0}=0\: \: \: ;\: \: \: cos\, 360^{0}=1$

Relaciones entre las líneas trigonométricas de ciertos ángulos.

a) Arcos que se diferencian en un número entero de circuferencias.- Por tener el mismo origen y el mismo extremo tienen las mismas razomes trigonométricas. Por lo tanto, el arco a tiene las mismas líneas, en valor y signo que el arco (2kπ + a).

b) Arcos suplementarios.- Tienen sus extremos sobre una recta paralela al eje AA’. Sus líneas son iguales y de signo contrario, excepto el seno y la cosecante.

$\large sen\:( \alpha -a)=\: \: sen\, \alpha$

$\large cos\, (\alpha -a)=-cos\, a$

$\large tg\, (\alpha -a)=-tg\, a$

$\large cosec\, (\alpha -a)=\: \: cosec\, a$

$\large sec\, (\alpha -a)=-sec\, a$

$\large cotg\, (\alpha -a)=-cotg\, a$

c) Arcos que se diferencian en una semicircuferencia.- Tienen sus extremos en los extremos de un diámetro. Sus líneasson iguales y de signo contrario excepto la tangente y la cotangente.

$\large sen\:( \alpha -a)=\: \: sen\, \alpha$

$\large cos\, (\alpha -a)=-cos\, a$

$\large tg\, (\alpha -a)=-tg\, a$

$\large cosec\, (\alpha -a)=\: \: cosec\, a$

$\large sec\, (\alpha -a)=-sec\, a$

$\large cotg\, (\alpha -a)=-cotg\, a$

d) Arcos iguales y de signo contrario.- Tienen sus extremos en una recta paralela al eje BB’. Sus líneas son iguales y de signo contrario excepto el coseno y la secante.

$\large sen(-\alpha )=-sen\, \alpha$

$\large cos(-\alpha )=cos\, \alpha$

$\large tg(-\alpha )=-tg\, \alpha$

$\large cosec(-\alpha )=-cosec\, \alpha$

$\large sec(-\alpha )=sec\, \alpha$

$\large cotg(-\alpha )=-cotg\, \alpha$

Aplicación.- Hallar la razón trigonométrica del ángulo menos que 90º equivalente a cada una de las siguientes:

$\large sen\, 1965^{0}=sen(1965^{0}-(360^{0} . 5))=sen\, 165^{0}$ $\large =sen(180^{0}-165^{0})=sen\, 15^{0}$

…………………….

$\large sen\, 2065^{0}=sen(2065^{0}-(360^{0}.5))=sen\, 265^{0}$ $\large =-sen(265^{0}-180^{0})=-sen\, 85^{0}$

…………………….

$\large cos\, 690^{0}=cos(690^{0}-360^{0})=cos\, 330^{0}$ $\large =cos(360^{0}-330^{0})=cos\, 30^{0}$

…………………….

$\large tg\, 500^{0}=tg(500^{0}-360^{0})=tg\, 140^{0}$ $\large =-tg(180^{0}-140^{0})=tg\, 40^{0}$

Líneas trigonométricas de algunos ángulos.

Calcular cos α y tg α en función del sen α

1.º Dela fórmula:

$\large sen^{2}\, \alpha +cos^{2}\, \alpha =1$

se deduce:

$\large cos^{2}\, \alpha =1-sen^{2}\, \alpha\: \: ;\: \: cos\, \alpha =\pm \sqrt{1-sen^{2}\, \alpha }$

2.º Sabiendo que:

$\large tg\, \alpha =\frac{sen\, \alpha }{cos\, \alpha }\: \: ;\: \: tg\, \alpha =\pm \frac{sen\, \alpha }{\sqrt{1-sen^{2}\, \alpha }}$

Calcular sen α y cos α en función de tg α

$estilo tamaño 22px S e espacio r e s u e l v e espacio e l espacio s i s t e m a espacio abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos fila celda s e n al cuadrado espacio alfa más cos al cuadrado espacio alfa igual 1 espacio espacio espacio espacio espacio paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho fin celda fila celda espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio fracción numerador s e n espacio alfa entre denominador cos espacio alfa fin fracción igual t g espacio alfa espacio espacio espacio espacio espacio paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho fin celda fin tabla cerrar fin estilo$

Despejamos sen α en (2) y lo llevamos a (1)

$\large sen\, \alpha =cos\, \alpha \, .\, tg\, \alpha \: \: \: (3)$

Luego podemos escribir:

$\large cos^{2}\, \alpha \, .\, tg^{2}\, \alpha +cos^{2}\, \alpha =1$

$\large cos^{2}\, \alpha (tg^{2}\, \alpha +1)=1$

$\large cos^{2}\, \alpha =\frac{1}{1+tg^{2}\, \alpha }$

$\large cos\, \alpha =\pm \frac{1}{\sqrt{1+tg^{2}\, \alpha }}\: \: \: (4)$

Sustituimos este último valor en (3) y tendremos:

$\large sen\, \alpha =\pm \frac{tg\, \alpha }{\sqrt{1+tg^{2}\, \alpha }}\: \: \: (5)$

Nota.- Los dobles signos; quiere decir que para cada valor del dato hay dos soluciones. La indeterminación cesa si se conoce el valor del ángulo α.

Ejemplo 1.º.- Conociendo que sen a = 4/5 calcular las demás líneas trigonométricas.

$\large cosec\, a=\frac{1}{sen\, a}=\frac{5}{4}$

$\large cos\, a=\sqrt{1-sen^{2}\, a}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}$

$\large sec\, a=\frac{1}{cos\, a}=\frac{5}{3}$

$\large tg\, a=\frac{sen\, a}{cos\, a}=\frac{4}{3}\: \: ;\: cotg\, a=\frac{1}{tg\, a}=\frac{3}{4}$

Ejemplo 2.º.- Siendo el sen 45º = 1/2 √2 hallar el cosec de 45º

$\large cosec\, 45^{0}=\frac{1}{sen\, 45^{0}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

Razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º.

En el triángulo equilátero MNP trazamos la altura MA.
Resulta: áng N=60º ; áng M=30

$NA=\frac{NP}{2}=\frac{a}{2}$

$\large sen\, 30^{0}=cos\, 60^{0}=\frac{AN}{NM}=\frac{a/2}{a}=\frac{1}{2}$

$\large cos\, 30^{0}=sen\, 60^{0}=\frac{AM}{NM}=\frac{2/2\sqrt{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\large tg\, 30^{0}=cotg\, 60^{0}=\frac{sen\, 30^{0}}{cos\, 30^{0}}=\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Razones trigonométricas del ángulo de 45º.

En el triángulo rectángulo isósceles los ángulos B y C valen 45º.

$\large m^{2}+m^{2}=a^{2}\: \: \: ;\: \: \: m^{2}=\frac{a^{2}}{2}$

$\large m=\sqrt{\frac{a^{2}}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Por lo tanto:

$\large sen\, 45^{0}=cos\, 45^{0}=\frac{m}{a}=\frac{2/a\: \sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\large tg\, 45^{0}=cotg\, 45^{0}=\frac{m}{m}=1$

Valores interesantes de memorizar.

ángulo	sen	cos	tg	cotg	sec	cosec
0º	$0$	$1$	$0$	$\infty$	$1$	$\infty$

30º	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$\sqrt{3}$	$\frac{2}{\sqrt{3}}$	$2$

60º	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$2$	$\frac{2}{\sqrt{3}}$

45º	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$	$\bg_black \sqrt {2}$	$\bg_black \sqrt {2}$

90º	$1$	$0$	$\infty$	$0$	$\infty$	$1$

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