Líneas trigonométricas

I.- Definiciones

Si en la fig. 4 hacemos centro en B y con un radio igual a la hipotenusa trazamos el arco A’C.

Por A’ trazamos la tangente A’T (A’T perperdicular a BA’).

Si tomamos ahora por unidad la hipotenusa o radio , las razones trigonométricas se convierten en líneas trigonometrícas.

$\dpi{100} \bg_black sen\alpha =\frac{b}{a}=1\: \: \: ;\: \: \: \: tg\, \alpha =\frac{AC}{BA}=\frac{A'T}{BA'}=A'T$

Construcción.- En la fig. 5 los radios OA y OB son perpendiculares, por tanto α y ß son complementarios.
Tomando A como origen de ángulos y B como origen de complementarios tendremos:

	$\dpi{100} \bg_black NM=sen\, \alpha =cos\, \beta$
	$\dpi{100} \bg_black AT=tg\, \alpha =cotg\, \beta$
	$\dpi{100} \bg_black OT=sec\, \alpha =cosec\, \beta$
	$\dpi{100} \bg_black PM=ON=cos\, \alpha =sen\, \beta$
	$\dpi{100} \bg_black BR=cotg\, \alpha =tg\, \beta$
	$\dpi{100} \bg_black OR=cosec\, \alpha =sec\, \beta$

Trazado de las líneas trigonométricas en cada uno de los cuadrantes.

	$\dpi{100} \bg_black cos\, \alpha =PM=ON$	$\dpi{100} \bg_black tg\, \alpha =AT$
$\dpi{100} \bg_black cosec\, \alpha =OR$	$\dpi{100} \bg_black sec\, \alpha =OT$	$\dpi{100} \bg_black cotg\, \alpha =BR$

Primer y segundo cuadrante:

Tercer y cuarto cuadrante:

Signos de las líneas trigonométricas.

seno

coseno

tangente

cosecante

secante

cotangente

a) El seno es positivo cuando el arco termina en el primero y segundo cuadrante y negativo en los otros dos.

b) El coseno es positivo en el primero y cuarto cuadrante y negativo en los otros dos.

c) La tangente es positiva en el primero y tercer cuadrante y negativa en los otros dos.

La secante, cosecante y cotangente tienen los mismos signos que sus respectivas inversas.

II.- Variaciones de las líneas trigonométricas.

Variaciones de valor.- En el circulo inferior el punto P se mueve describiendo arcos a partir de A. Cuando P coincide con A, el arco y el seno son nulos, podemos decir.

$sen\, 0=0\: \: \: ;\: \: \: cos\, 0=1$

A medida que Pse va acercando a B el arco aumenta, lo mismo que el seno, pero el coseno disminuye; cuando llegue a B, es decir cuando el arco a valga 90^o .

A π/2 radianes tendremos:

Pasado el punto B se va acercando P a A’; el arco aumenta, el seno disminuye y el coseno aumenta en valor absoluto perose hace negativo, al llegar a A’, arco a = 180º = π

Al pasar de A’, el arco sgue aumentado, el seno aumenta en valor absoluto , pero negativo; el coseno disminuye en valoe abdoluto , al llegar a B’ tenemos a = 270º = 3π/2

En el cuarto cuadrante el arco aumenta, el seno dieminuye en valor absoluto pero se conseva negativo, el coseno se hace positico y va aumentando. Al llegar el arco a = 360º = 2π

III.- Relaciones entre las líneas trigonométricasde ciertos ángulos

a) Arcos que se diferencian en un número entero de circuferencias.- Por tener el mismo origen y el mismo extremo tienen las mismas razomes trigonométricas. Por lo tanto, el arco a tiene las mismas líneas, en valor y signo que el arco (2kπ + a).

b) Arcos suplementarios.- Tienen sus extremos sobre una recta paralela al eje AA’. Sus líneas son iguales y de signo contrario, excepto el seno y la cosecante.


	$cos\, (\pi -\alpha )=-cos\, \alpha \: \: ;\: \: sec\: \: \: (\pi -\alpha )=-sec\: \: \alpha$

c) Arcos que se diferencian en una semicircuferencia.- Tienen sus extremos en los extremos de un diámetro. Sus líneasson iguales y de signo contrario excepto la tangente y la cotangente.

Representando ( π + α ) por V tendremos:

$sen\, V=-sen\: \alpha$	$cos\, V=-cos\, \alpha$	$tg\, V=tg\, \alpha$
$cosec\, V=-cosec\, \alpha$	$sec\, V=-sec\, \alpha$

d) Arcos iguales y de signo contrario.- Tienen sus extremos en una recta paralela al eje BB’. Sus líneas son iguales y de signo contrario excepto el coseno y la secante.

$sen\, (-\alpha )=-sen\, \alpha$

$cos\, (-\alpha )=cos\, \alpha$

$cosec\, (-\alpha )=-cosec\, \alpha$

$sec\, (-\alpha )=sec\, \alpha$

$cotg\, (-\alpha )=-cotg\, \alpha$

Aplicación.- Hallar la razón trigonométrica del ángulo menos que 90º equivalente a cada una de las siguientes:

	$sen\, 1965^{0}=sen\, (1965^{0}-360^{0}.\, 5)=sen\, 165^{0}=$
	$=sen\, (180^{0}-165^{0})=sen\, 15^{0}$

…………………….

	$sen\, 2065^{0}=sen\, (2065^{0}-360^{0}.\, 5)=sen\, 265^{0}$
	$=-sen\, (265^{0}-180^{0})=-sen\, 85^{0}$

…………………….

	$cos\, 690^{0}=cos\, (690^{0}-330^{0})=cos\, 330^{0}$
	$=cos\, (360^{0}-330^{0})=cos\, 30^{0}$

…………………….

	$tg\, 500^{0}=tg\, (500^{0}-360^{0})=tg\, 140^{0}$
	$=-tg(180^{0}-140^{0})=tg\, 40$

IV.- Líneas trigonométrics de algunos ángulos

Calcular cos α y tg α en función del sen α

De la fórmula:	$sen^{2}\, +cos^{2}\alpha =1$

se deduce:	$cos^{2}\alpha =1-sen^{2}\alpha$

	$cos\, \alpha =\pm \sqrt{1-sen^{2}\alpha }$

cotg Sabiendo que:	$tg\, \alpha =\frac{sen\, \alpha }{cos\, \alpha }$

	$tg\, \alpha =\pm \frac{sen\, \alpha }{\sqrt{1-sen^{2}\alpha }}$

Calcular sen α y cos α en función de tg α

$\mathrm{Se\, resuelve\, el\, sistema\left\{\begin{matrix} sen^{2}\alpha +cos^{2\alpha }=1\: \: \: \: (1)\\ \\ tg\, \alpha =\frac{sen\, \alpha }{cos\, \alpha }\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: (2) \end{matrix}\right.}$

Despejamos sen α en (2) y lo llevamos a (1)

$sen\, \alpha =cos\, \alpha \, .\, tg\, \alpha \: \: \: \: \: (3)$

	$cos^{2}\alpha \, .\, tg^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1$

	$cos^{2}\alpha \, (tg^{2}\alpha +1)=1$

	$cos^{2}\alpha =\frac{1}{1+tg^{2}\alpha }$

$cos\, \alpha =\pm \frac{1}{\sqrt{1+tg^{2}\alpha }}$

Sustituimos este último valor en (3) y tendremos:

$sen\, \alpha =\pm \frac{tg\, \alpha }{\sqrt{1+tg^{2}\alpha }}$

Nota.- En las fórmulas obtenidas en IV y V hay dobles signos; quiere decir que para cada valor del dato hay dos soluciones. La inderminación cesa si se conoce el valor del ámgulo α.

Ejemplo 1.º.- Conociendo que sen a = 4/5 calcular las demás líneas trigonométricas.

$cosec\: \alpha =\frac{1}{sen\: \alpha }=\frac{5}{4}$

$cos\: \alpha =\sqrt{1-sen^{2}\alpha }=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}$

$sec\: \alpha =\frac{1}{cos\: \alpha }=\frac{5}{3}$

$tg\: \alpha =\frac{sen\, \alpha }{cos\, \alpha }=\frac{4}{5}:\frac{3}{5}=\frac{4}{3}$

$cotg\: \alpha =\frac{1}{tg\: \alpha }=\frac{3}{4}$

Ejemplo 2.º.- Siendo el sen 45º = $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ hallar el cosec 45º

$cosec\, 45^{0}=\frac{1}{sec\, 45^{0}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

Solución: $\sqrt{2}=1,41421$

Razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º.

áng N=60º ; áng M=30

$NA=\frac{NP}{2}=\frac{a}{2}$

$AM=\sqrt{a^{2}-\left ( \frac{a}{2} \right )^{2}}=\sqrt{\frac{3a^{2}}{4}}=\frac{a}{2}\sqrt{3}$

	Por tanto tenemos:

	$sen\, 30^{0}=cos\, 60^{0}=\frac{HN}{NM}=\frac{a/2}{a}=\frac{1}{2}$

	$cos\, 30^{0}=sen\, 60^{0}=\frac{HM}{NM}=\frac{a/2.\sqrt{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

	$tg\, 30^{0}=cotg\, 60^{0}=\frac{sen\, 30}{cos\, 30}=\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Razones trigonométricas del ángulo de 45º.

En el triángulo rectángulo isósceles los ángulos B y C valen 45º.

	$m^{2}+m^{2}=a^{2}$

	$m^{2}=\frac{a^{2}}{2}$

	$m=\sqrt{\frac{a^{2}}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Por lo tanto:

$sen\, 45^{0}=cos\, 45^{0}=\frac{m}{a}=\frac{\frac{a}{2}\sqrt{2}}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$tg\, 45^{0}=cotd\, 45^{0}=\frac{m}{m}=1$

Valores interesantes de memorizar.

ángulo	sen	cos	tg	cotg	sec	cosec
0º	$0$	$1$	$0$	$\infty$	$1$	$\infty$

30º	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$\sqrt{3}$	$\frac{2}{\sqrt{3}}$	$2$

60º	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$2$	$\frac{2}{\sqrt{3}}$

45º	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$	$\bg_black \sqrt {2}$	$\bg_black \sqrt {2}$

90º	$1$	$0$	$\infty$	$0$	$\infty$	$1$