Líneas trigonométricas

Definiciones de las líneas trigonométricas.

Si en la fig. 4 hacemos centro en B y con un radio igual a la hipotenusa trazamos el arco A’C.

Por A’ trazamos la tangente A’T (A’T perperdicular a BA’).

Si tomamos ahora por unidad la hipotenusa o radio , las razones trigonométricas se convierten en líneas trigonométricas.

\large sen\, \alpha =b\: \: \: ;\: \: \: tg\, \alpha =A'T
  \large cos\, \alpha =c\: \: \: ;\: \: \: sec\, \alpha =BT

Construcción.- En la fig. 5 los radios OA y OB son perpendiculares, por tanto α y ß son complementarios.
Tomando A como origen de ángulos y B como origen de complementarios tendremos:

\large NM=sen\, \alpha =cos\, \beta
 \large AT=tg\, \alpha =cotg\, \beta
      \large OT=sec\, \alpha =cosec\, \beta
                \large PM=ON=cos\, \alpha =sen\, \beta
  \large BR=cotg\, \alpha =tg\, \beta 

Trazado de las líneas trigonométricas en cada uno de los cuadrantes.

      \large sen\, a=NM

\large cosec\, a=OR
\large cos\, a=PM=ON

\large sec\, a=OT
   \large tg\, a=AT

\large cotg\, a=BR

Primer y segundo cuadrante:

Tercer y cuarto cuadrante:

Signos de las líneas trigonométricas.

seno
coseno
tangente

a) El seno es positivo cuando el arco termina en el primero y segundo cuadrante y negativo en los otros dos.

b) El coseno es positivo en el primero y cuarto cuadrante y negativo en los otros dos.

c) La tangente es positiva en el primero y tercer cuadrante y negativa en los otros dos.

cosecante
secante
cotangente

La secante, cosecante y cotangente tienen los mismos signos que sus respectivas inversas.

Variaciones de las líneas trigonométricas.

Variaciones de valor.- En el circulo inferior el punto P se mueve describiendo arcos a partir de A. Cuando P coincide con A, el arco y el seno son nulos, podemos decir.

\large sen\, 0^{0}=0\: \: \: ;\: \: \: cos\, 0^{0}=1

A medida que Pse va acercando a B el arco aumenta, lo mismo que el seno, pero el coseno disminuye; cuando llegue a B, es decir cuando el arco a valga 90o .

A π/2 radianes tendremos:

\large sen\, 90^{0}=1\: \: \: ;\: \: \: cos\, 90^{0}=0

Pasado el punto B se va acercando P a A’; el arco aumenta, el seno disminuye y el coseno aumenta en valor absoluto perose hace negativo, al llegar a A’, arco a = 180º = π

\large sen\, 180^{0}=0\: \: \: ;\: \: \: cos\, 180^{0}=-1

Al pasar de A’, el arco sgue aumentado, el seno aumenta en valor absoluto , pero negativo; el coseno disminuye en valoe abdoluto , al llegar a B’ tenemos a = 270º = 3π/2

\large sen\, 270^{0}=-1\: \: \: ;\: \: \: cos\, 270^{0}=0

En el cuarto cuadrante el arco aumenta, el seno dieminuye en valor absoluto pero se conseva negativo, el coseno se hace positico y va aumentando. Al llegar el arco a = 360º = 2π

\large sen\, 360^{0}=0\: \: \: ;\: \: \: cos\, 360^{0}=1

Relaciones entre las líneas trigonométricas de ciertos ángulos.

a) Arcos que se diferencian en un número entero de circuferencias.- Por tener el mismo origen y el mismo extremo tienen las mismas razomes trigonométricas. Por lo tanto, el arco a tiene las mismas líneas, en valor y signo que el arco (2kπ + a).

b) Arcos suplementarios.- Tienen sus extremos sobre una recta paralela al eje AA’. Sus líneas son iguales y de signo contrario, excepto el seno y la cosecante.

\large sen\:( \alpha -a)=\: \: sen\, \alpha  \large cosec\, (\alpha -a)=\: \: cosec\, a 
\large cos\, (\alpha -a)=-cos\, a \large sec\, (\alpha -a)=-sec\, a
\large tg\, (\alpha -a)=-tg\, a \large cotg\, (\alpha -a)=-cotg\, a

c) Arcos que se diferencian en una semicircuferencia.- Tienen sus extremos en los extremos de un diámetro. Sus líneasson iguales y de signo contrario excepto la tangente y la cotangente.

\large sen\:( \alpha -a)=\: \: sen\, \alpha  \large cosec\, (\alpha -a)=\: \: cosec\, a 
\large cos\, (\alpha -a)=-cos\, a \large sec\, (\alpha -a)=-sec\, a
\large tg\, (\alpha -a)=-tg\, a \large cotg\, (\alpha -a)=-cotg\, a

d) Arcos iguales y de signo contrario.- Tienen sus extremos en una recta paralela al eje BB’. Sus líneas son iguales y de signo contrario excepto el coseno y la secante.

\large sen(-\alpha )=-sen\, \alpha  \large cosec(-\alpha )=-cosec\, \alpha 
\large cos(-\alpha )=cos\, \alpha       \large sec(-\alpha )=sec\, \alpha     
\large tg(-\alpha )=-tg\, \alpha   \large cotg(-\alpha )=-cotg\, \alpha 

Aplicación.- Hallar la razón trigonométrica del ángulo menos que 90º equivalente a cada una de las siguientes:

\large sen\, 1965^{0}=sen(1965^{0}-(360^{0} . 5))=sen\, 165^{0} \large =sen(180^{0}-165^{0})=sen\, 15^{0}

…………………….

\large sen\, 2065^{0}=sen(2065^{0}-(360^{0}.5))=sen\, 265^{0} \large =-sen(265^{0}-180^{0})=-sen\, 85^{0}

…………………….

\large cos\, 690^{0}=cos(690^{0}-360^{0})=cos\, 330^{0} \large =cos(360^{0}-330^{0})=cos\, 30^{0}

…………………….

\large tg\, 500^{0}=tg(500^{0}-360^{0})=tg\, 140^{0} \large =-tg(180^{0}-140^{0})=tg\, 40^{0}

Líneas trigonométricas de algunos ángulos.

Calcular   cos α   y   tg α   en función del sen α

1.º Dela fórmula:

\large sen^{2}\, \alpha +cos^{2}\, \alpha =1

se deduce:

\large cos^{2}\, \alpha =1-sen^{2}\, \alpha\: \: ;\: \: cos\, \alpha =\pm \sqrt{1-sen^{2}\, \alpha }

2.º Sabiendo que:

\large tg\, \alpha =\frac{sen\, \alpha }{cos\, \alpha }\: \: ;\: \: tg\, \alpha =\pm \frac{sen\, \alpha }{\sqrt{1-sen^{2}\, \alpha }}

Calcular    sen α    y   cos α    en función de tg α

estilo tamaño 22px S e espacio r e s u e l v e espacio e l espacio s i s t e m a espacio abrir llaves tabla atributos alineación columna left fin atributos fila celda s e n al cuadrado espacio alfa más cos al cuadrado espacio alfa igual 1 espacio espacio espacio espacio espacio paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho fin celda fila celda espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio espacio fracción numerador s e n espacio alfa entre denominador cos espacio alfa fin fracción igual t g espacio alfa espacio espacio espacio espacio espacio paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho fin celda fin tabla cerrar fin estilo

Despejamos sen α en (2) y lo llevamos a (1)

\large sen\, \alpha =cos\, \alpha \, .\, tg\, \alpha \: \: \: (3)

Luego podemos escribir:

\large cos^{2}\, \alpha \, .\, tg^{2}\, \alpha +cos^{2}\, \alpha =1
\large cos^{2}\, \alpha (tg^{2}\, \alpha +1)=1
\large cos^{2}\, \alpha =\frac{1}{1+tg^{2}\, \alpha }
\large cos\, \alpha =\pm \frac{1}{\sqrt{1+tg^{2}\, \alpha }}\: \: \: (4)

Sustituimos este último valor en (3) y tendremos:

\large sen\, \alpha =\pm \frac{tg\, \alpha }{\sqrt{1+tg^{2}\, \alpha }}\: \: \: (5)

Nota.- Los dobles signos; quiere decir que para cada valor del dato hay dos soluciones. La indeterminación cesa si se conoce el valor del ángulo α.

Ejemplo 1.º.- Conociendo que sen a = 4/5 calcular las demás líneas trigonométricas.

\large cosec\, a=\frac{1}{sen\, a}=\frac{5}{4}
\large cos\, a=\sqrt{1-sen^{2}\, a}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}
\large sec\, a=\frac{1}{cos\, a}=\frac{5}{3}
\large tg\, a=\frac{sen\, a}{cos\, a}=\frac{4}{3}\: \: ;\: cotg\, a=\frac{1}{tg\, a}=\frac{3}{4}

Ejemplo 2.º.- Siendo el sen 45º = 1/2 √2 hallar el cosec de 45º

\large cosec\, 45^{0}=\frac{1}{sen\, 45^{0}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}

Razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º.

En el triángulo equilátero MNP trazamos la altura MA.
Resulta: áng N=60º  ;  áng M=30

NA=\frac{NP}{2}=\frac{a}{2}
\large sen\, 30^{0}=cos\, 60^{0}=\frac{AN}{NM}=\frac{a/2}{a}=\frac{1}{2}               
\large cos\, 30^{0}=sen\, 60^{0}=\frac{AM}{NM}=\frac{2/2\sqrt{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}  
       \large tg\, 30^{0}=cotg\, 60^{0}=\frac{sen\, 30^{0}}{cos\, 30^{0}}=\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}

Razones trigonométricas del ángulo de 45º.

En el triángulo rectángulo isósceles los ángulos B y C valen 45º.

\large m^{2}+m^{2}=a^{2}\: \: \: ;\: \: \: m^{2}=\frac{a^{2}}{2}
\large m=\sqrt{\frac{a^{2}}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}

Por lo tanto:

\large sen\, 45^{0}=cos\, 45^{0}=\frac{m}{a}=\frac{2/a\: \sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}
\large tg\, 45^{0}=cotg\, 45^{0}=\frac{m}{m}=1

Valores interesantes de memorizar.

ángulosencostgcotgseccosec
010\infty1\infty
       
30º\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{3}\frac{2}{\sqrt{3}}2
       
60º\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{2}\sqrt{3}\frac{1}{\sqrt{3}}2\frac{2}{\sqrt{3}}
       
45º\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}11\bg_black \sqrt {2}\bg_black \sqrt {2}
       
90º10\infty0\infty1

 

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