Líneas trigonométricas
I.- Definiciones

Si en la fig. 4 hacemos centro en B y con un radio igual a la hipotenusa trazamos el arco A’C.
Por A’ trazamos la tangente A’T (A’T perperdicular a BA’).
Si tomamos ahora por unidad la hipotenusa o radio , las razones trigonométricas se convierten en líneas trigonometrícas.
Construcción.- En la fig. 5 los radios OA y OB son perpendiculares, por tanto α y ß son complementarios.
Tomando A como origen de ángulos y B como origen de complementarios tendremos:

Trazado de las líneas trigonométricas en cada uno de los cuadrantes.
Primer y segundo cuadrante:
Tercer y cuarto cuadrante:
Signos de las líneas trigonométricas.
seno |
coseno |
tangente |
cosecante |
secante |
cotangente |
a) El seno es positivo cuando el arco termina en el primero y segundo cuadrante y negativo en los otros dos.
b) El coseno es positivo en el primero y cuarto cuadrante y negativo en los otros dos.
c) La tangente es positiva en el primero y tercer cuadrante y negativa en los otros dos.
La secante, cosecante y cotangente tienen los mismos signos que sus respectivas inversas.
II.- Variaciones de las líneas trigonométricas.
Variaciones de valor.- En el circulo inferior el punto P se mueve describiendo arcos a partir de A. Cuando P coincide con A, el arco y el seno son nulos, podemos decir.
A medida que Pse va acercando a B el arco aumenta, lo mismo que el seno, pero el coseno disminuye; cuando llegue a B, es decir cuando el arco a valga 90o .

A π/2 radianes tendremos:
Pasado el punto B se va acercando P a A’; el arco aumenta, el seno disminuye y el coseno aumenta en valor absoluto perose hace negativo, al llegar a A’, arco a = 180º = π
Al pasar de A’, el arco sgue aumentado, el seno aumenta en valor absoluto , pero negativo; el coseno disminuye en valoe abdoluto , al llegar a B’ tenemos a = 270º = 3π/2
En el cuarto cuadrante el arco aumenta, el seno dieminuye en valor absoluto pero se conseva negativo, el coseno se hace positico y va aumentando. Al llegar el arco a = 360º = 2π
III.- Relaciones entre las líneas trigonométricasde ciertos ángulos
a) Arcos que se diferencian en un número entero de circuferencias.- Por tener el mismo origen y el mismo extremo tienen las mismas razomes trigonométricas. Por lo tanto, el arco a tiene las mismas líneas, en valor y signo que el arco (2kπ + a).
b) Arcos suplementarios.- Tienen sus extremos sobre una recta paralela al eje AA’. Sus líneas son iguales y de signo contrario, excepto el seno y la cosecante.

c) Arcos que se diferencian en una semicircuferencia.- Tienen sus extremos en los extremos de un diámetro. Sus líneasson iguales y de signo contrario excepto la tangente y la cotangente.

Representando ( π + α ) por V tendremos:
d) Arcos iguales y de signo contrario.- Tienen sus extremos en una recta paralela al eje BB’. Sus líneas son iguales y de signo contrario excepto el coseno y la secante.

Aplicación.- Hallar la razón trigonométrica del ángulo menos que 90º equivalente a cada una de las siguientes:
…………………….
…………………….
…………………….
IV.- Líneas trigonométrics de algunos ángulos
Calcular cos α y tg α en función del sen α
De la fórmula: | |
se deduce: | |
cotg Sabiendo que: | |
Calcular sen α y cos α en función de tg α
Despejamos sen α en (2) y lo llevamos a (1)
Sustituimos este último valor en (3) y tendremos:
Nota.- En las fórmulas obtenidas en IV y V hay dobles signos; quiere decir que para cada valor del dato hay dos soluciones. La inderminación cesa si se conoce el valor del ámgulo α.
Ejemplo 1.º.- Conociendo que sen a = 4/5 calcular las demás líneas trigonométricas.
Ejemplo 2.º.- Siendo el sen 45º = hallar el cosec 45º
Solución:
Razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º.

áng N=60º ; áng M=30
Por tanto tenemos: | ||
Razones trigonométricas del ángulo de 45º.
En el triángulo rectángulo isósceles los ángulos B y C valen 45º.

Por lo tanto:
Valores interesantes de memorizar.
ángulo | sen | cos | tg | cotg | sec | cosec |
0º | ||||||
30º | ||||||
60º | ||||||
45º | ||||||
90º |