Líneas trigonométricas

I.- Definiciones

Si en la fig. 4 hacemos centro en B y con un radio igual a la hipotenusa trazamos el arco A’C.

Por A’ trazamos la tangente A’T (A’T perperdicular a BA’).

Si tomamos ahora por unidad la hipotenusa o radio , las razones trigonométricas se convierten en líneas trigonometrícas.

\dpi{100} \bg_black sen\alpha =\frac{b}{a}=1\: \: \: ;\: \: \: \: tg\, \alpha =\frac{AC}{BA}=\frac{A'T}{BA'}=A'T
 

Construcción.- En la fig. 5 los radios OA y OB son perpendiculares, por tanto α y ß son complementarios.
Tomando A como origen de ángulos y B como origen de complementarios tendremos:

  \dpi{100} \bg_black NM=sen\, \alpha =cos\, \beta  
  \dpi{100} \bg_black AT=tg\, \alpha =cotg\, \beta  
  \dpi{100} \bg_black OT=sec\, \alpha =cosec\, \beta  
  \dpi{100} \bg_black PM=ON=cos\, \alpha =sen\, \beta  
  \dpi{100} \bg_black BR=cotg\, \alpha =tg\, \beta  
  \dpi{100} \bg_black OR=cosec\, \alpha =sec\, \beta  

Trazado de las líneas trigonométricas en cada uno de los cuadrantes.

\dpi{100} \bg_black cos\, \alpha =PM=ON \dpi{100} \bg_black tg\, \alpha =AT
\dpi{100} \bg_black cosec\, \alpha =OR \dpi{100} \bg_black sec\, \alpha =OT \dpi{100} \bg_black cotg\, \alpha =BR

Primer y segundo cuadrante:

Tercer y cuarto cuadrante:

Signos de las líneas trigonométricas.

   

seno

coseno

tangente

   
   

cosecante

secante

cotangente

   

a) El seno es positivo cuando el arco termina en el primero y segundo cuadrante y negativo en los otros dos.

b) El coseno es positivo en el primero y cuarto cuadrante y negativo en los otros dos.

c) La tangente es positiva en el primero y tercer cuadrante y negativa en los otros dos.

La secante, cosecante y cotangente tienen los mismos signos que sus respectivas inversas.

II.- Variaciones de las líneas trigonométricas.

Variaciones de valor.- En el circulo inferior el punto P se mueve describiendo arcos a partir de A. Cuando P coincide con A, el arco y el seno son nulos, podemos decir.

  sen\, 0=0\: \: \: ;\: \: \: cos\, 0=1  

A medida que Pse va acercando a B el arco aumenta, lo mismo que el seno, pero el coseno disminuye; cuando llegue a B, es decir cuando el arco a valga 90o .

A π/2 radianes tendremos:

   

Pasado el punto B se va acercando P a A’; el arco aumenta, el seno disminuye y el coseno aumenta en valor absoluto perose hace negativo, al llegar a A’, arco a = 180º = π

   

Al pasar de A’, el arco sgue aumentado, el seno aumenta en valor absoluto , pero negativo; el coseno disminuye en valoe abdoluto , al llegar a B’ tenemos a = 270º = 3π/2

   

En el cuarto cuadrante el arco aumenta, el seno dieminuye en valor absoluto pero se conseva negativo, el coseno se hace positico y va aumentando. Al llegar el arco a = 360º = 2π

   

III.- Relaciones entre las líneas trigonométricasde ciertos ángulos

a) Arcos que se diferencian en un número entero de circuferencias.- Por tener el mismo origen y el mismo extremo tienen las mismas razomes trigonométricas. Por lo tanto, el arco a tiene las mismas líneas, en valor y signo que el arco (2kπ + a).

b) Arcos suplementarios.- Tienen sus extremos sobre una recta paralela al eje AA’. Sus líneas son iguales y de signo contrario, excepto el seno y la cosecante.

   
  cos\, (\pi -\alpha )=-cos\, \alpha \: \: ;\: \: sec\: \: \: (\pi -\alpha )=-sec\: \: \alpha  
   

c) Arcos que se diferencian en una semicircuferencia.- Tienen sus extremos en los extremos de un diámetro. Sus líneasson iguales y de signo contrario excepto la tangente y la cotangente.

Representando ( π + α ) por V tendremos:

sen\, V=-sen\: \alpha cos\, V=-cos\, \alpha tg\, V=tg\, \alpha
cosec\, V=-cosec\, \alpha sec\, V=-sec\, \alpha

d) Arcos iguales y de signo contrario.- Tienen sus extremos en una recta paralela al eje BB’. Sus líneas son iguales y de signo contrario excepto el coseno y la secante.

sen\, (-\alpha )=-sen\, \alpha
cos\, (-\alpha )=cos\, \alpha
cosec\, (-\alpha )=-cosec\, \alpha
sec\, (-\alpha )=sec\, \alpha
cotg\, (-\alpha )=-cotg\, \alpha

Aplicación.- Hallar la razón trigonométrica del ángulo menos que 90º equivalente a cada una de las siguientes:

  sen\, 1965^{0}=sen\, (1965^{0}-360^{0}.\, 5)=sen\, 165^{0}=  
  =sen\, (180^{0}-165^{0})=sen\, 15^{0}  

…………………….

  sen\, 2065^{0}=sen\, (2065^{0}-360^{0}.\, 5)=sen\, 265^{0}  
  =-sen\, (265^{0}-180^{0})=-sen\, 85^{0}  

…………………….

  cos\, 690^{0}=cos\, (690^{0}-330^{0})=cos\, 330^{0}  
  =cos\, (360^{0}-330^{0})=cos\, 30^{0}  

…………………….

  tg\, 500^{0}=tg\, (500^{0}-360^{0})=tg\, 140^{0}  
  =-tg(180^{0}-140^{0})=tg\, 40  

IV.- Líneas trigonométrics de algunos ángulos

Calcular   cos α   y   tg α   en función del sen α

    De la fórmula: sen^{2}\, +cos^{2}\alpha =1
   
    se deduce:        cos^{2}\alpha =1-sen^{2}\alpha
   
  cos\, \alpha =\pm \sqrt{1-sen^{2}\alpha }
cotg   Sabiendo que: tg\, \alpha =\frac{sen\, \alpha }{cos\, \alpha }
   
    tg\, \alpha =\pm \frac{sen\, \alpha }{\sqrt{1-sen^{2}\alpha }}

Calcular    sen α    y   cos α    en función de tg α

  \mathrm{Se\, resuelve\, el\, sistema\left\{\begin{matrix} sen^{2}\alpha +cos^{2\alpha }=1\: \: \: \: (1)\\ \\ tg\, \alpha =\frac{sen\, \alpha }{cos\, \alpha }\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: (2) \end{matrix}\right.}  

Despejamos sen α en (2) y lo llevamos a (1)

  sen\, \alpha =cos\, \alpha \, .\, tg\, \alpha \: \: \: \: \: (3)  
  cos^{2}\alpha \, .\, tg^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1  
     
  cos^{2}\alpha \, (tg^{2}\alpha +1)=1  
     
  cos^{2}\alpha =\frac{1}{1+tg^{2}\alpha }  
  cos\, \alpha =\pm \frac{1}{\sqrt{1+tg^{2}\alpha }}  

Sustituimos este último valor en (3) y tendremos:

  sen\, \alpha =\pm \frac{tg\, \alpha }{\sqrt{1+tg^{2}\alpha }}  

Nota.- En las fórmulas obtenidas en IV y V hay dobles signos; quiere decir que para cada valor del dato hay dos soluciones. La inderminación cesa si se conoce el valor del ámgulo α.

Ejemplo 1.º.- Conociendo que sen a = 4/5 calcular las demás líneas trigonométricas.

  cosec\: \alpha =\frac{1}{sen\: \alpha }=\frac{5}{4}  
  cos\: \alpha =\sqrt{1-sen^{2}\alpha }=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}  
  sec\: \alpha =\frac{1}{cos\: \alpha }=\frac{5}{3}  
  tg\: \alpha =\frac{sen\, \alpha }{cos\, \alpha }=\frac{4}{5}:\frac{3}{5}=\frac{4}{3}  
  cotg\: \alpha =\frac{1}{tg\: \alpha }=\frac{3}{4}  

Ejemplo 2.º.- Siendo el sen 45º = \frac{1}{2}\sqrt{2}  hallar el cosec 45º

  cosec\, 45^{0}=\frac{1}{sec\, 45^{0}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}  

Solución:      \sqrt{2}=1,41421

Razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º.

áng N=60º  ;  áng M=30

NA=\frac{NP}{2}=\frac{a}{2}

  AM=\sqrt{a^{2}-\left ( \frac{a}{2} \right )^{2}}=\sqrt{\frac{3a^{2}}{4}}=\frac{a}{2}\sqrt{3}  
  Por tanto tenemos:  
     
  sen\, 30^{0}=cos\, 60^{0}=\frac{HN}{NM}=\frac{a/2}{a}=\frac{1}{2}  
     
  cos\, 30^{0}=sen\, 60^{0}=\frac{HM}{NM}=\frac{a/2.\sqrt{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}  
     
  tg\, 30^{0}=cotg\, 60^{0}=\frac{sen\, 30}{cos\, 30}=\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}  

Razones trigonométricas del ángulo de 45º.

En el triángulo rectángulo isósceles los ángulos B y C valen 45º.

  m^{2}+m^{2}=a^{2}  
     
  m^{2}=\frac{a^{2}}{2}  
     
  m=\sqrt{\frac{a^{2}}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}  

Por lo tanto:

sen\, 45^{0}=cos\, 45^{0}=\frac{m}{a}=\frac{\frac{a}{2}\sqrt{2}}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}
tg\, 45^{0}=cotd\, 45^{0}=\frac{m}{m}=1

Valores interesantes de memorizar.

ángulo sen cos tg cotg sec cosec
0 1 0 \infty 1 \infty
             
30º \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{3} \frac{2}{\sqrt{3}} 2
             
60º \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{2} \sqrt{3} \frac{1}{\sqrt{3}} 2 \frac{2}{\sqrt{3}}
             
45º \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} 1 1 \bg_black \sqrt {2} \bg_black \sqrt {2}
             
90º 1 0 \infty 0 \infty 1