Relaciones entre los coeficientes y las raices

Suma de las raices.- En ax² + bx +c = 0   las raices son:

   
   
     
  sumando mienbro a miembro:  
  x+x'=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}  

La suma se la raices es igual al coeficiente de x con signo contrario partido del coeficiente de .

En la ecuación:

    3x^{2}+8x-12=0 será: x+x'=-\frac{8}{3}    

En la ecuación:

    x^{2}-7x+10=0 será: x+x'=+7    

Producto de las raíces.- Multiplicándolas da:

  x+x'=\frac{(-b+\sqrt{b^{2}-4ac})(-b-\sqrt{b^{2}-4ac})}{4a^{2}}  

El numerador es el producto de la suma de dos números por su diferncia, efectuando tendremos:

  x+x'=\frac{b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}=\frac{b^{2}-b^{2}+4ac}{4ac}=  
  =\frac{4ac}{4a^{2}}=\frac{c}{a}  

El producto de las raices es igual al término independiente dividido por el coeficiente de .

En la ecuación:

    2x^{2}-11x-3=0 será: x\, .\, x=-\frac{3}{2}    

En la ecuación:

    x^{2}-7x+10=0 será: \bg_black x\, .\, x'=+10    

Observación.- Cuando el coeficiente de es la unidad, las propiedades anteriores se simplifican así:

La suma de las raices es igual al coeficiente de x consigno contrario.

El producto de las raices es igual al término independiente.

Discución del signo de la raices.- Supongamos a positivo, si no lo fueramultiplicariamos la ecuación por -1

1.º   c es positivo, entonces el producto de las raices es positivo. Por tanto, las raices tiene igual signo, las dos positivas o las dos negativas. Este signo es el contrario de b.

2.º   c es negativo, entonces el producto de las raices es negativo. POr tanto, una de la raices tiene signo positivo y la otra negativo. La de mayor valor absoluto tiene signo contrario a b.

Ejemplo:

1. 4x^{2}+9x+2=0  
2. 2x^{2}-9x-5=0  
En ambos casos:  
  c=-\: \; \; \; \; \; b=+  
  P=-\; \; \; \; \; S=+  

Si el producto es negativo, una raiz es positiva y la otra negativa.

Si la suma es positiva, la raiz de mayor valor absoluto es positiva.

Estos números son -7 y +1.

II. Formar una ecuación dadas sus raices.

Sea hallar una ecuación cuyas raices sean 5 y -3.

La ecuación tiene la forma:   ax² + bx +c = 0

Tenemos que hallar   a,  b  y  c.

Haciendo   a = 1

   
   
     
   

Resumen de la discución.

Suponemos que    a  >  1

I.   b^{2}-4ac>0\left\{\begin{matrix} \mathrm{Dos\: raices\:reales\: iguales} \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} c>0\:\rightarrow \mathrm{Ver\: A} \\ c<0\: \rightarrow \mathrm{Ver\: B} \\ c=0\: \rightarrow \mathrm{Ver\: C} \end{matrix}\right.

A.   Las raices tiene el mismo signo, este signo es contrario al que tenga b.

B.   Las raices son de signo contrario, la de mayor valor absoluto tiene signo contrario al de b.

C.   Una de las raices es – b/a, la otra es cero.

II. b^{2}-4ac=0 Dos raíces iguales x=x'=-\frac{b}{2a}
III. b^{2}-4ac<0 Dos raíces imaginarias  

Aplicaciones:

I . Resolver mentalmente alguna ecuaciones.

   Sea la ecuación:
   Tiene raíces ya que:

El producto es positivo ( +8 ), las dos raíces son positivas o las dos negativas.

La suma es positiva ( – 6 ), las dos raíces son positivas.

Por lo tanto hay que buscar dos números cuyo producto sea 8 y su suma 6, estos dos números son: 4 y 2.

   Sea la ecuación:

Su producto es negativo ( -7 ), por lo tanto una raíz es positiva y la otra negativa.

La suma es negativa ( +6 ), por lo tanto la mayor en valor absoluto es negativa.

Tenemos que buscar dos números cuyo producto sea 7 y su diferencia 6, estos dos números son: –7 y +1

II.- Resolver una ecuación cuyas raíces se dan.

Sea hallar una ecuación cuyas raíces sean 5 y –3.

La ecuación será de la forma: ax2 + bx + c = 0

Tenemos que hallar a, b y c.

Hacemos a = 1.

b = — [ 5 + ( –3 ) ] = -2
c = 5 ( –3 ) = –15           
ecuación será:     x2 –2x –15 = 0

Resumen de la discusión:

Suponemos que    a  >  1

I. b^{2}-4ac>0\left\{\begin{matrix} \mathrm{Dos\: raices\:reales\: iguales} \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} c>0\:\rightarrow \mathrm{Ver\: A} \\ c<0\: \rightarrow \mathrm{Ver\: B} \\ c=0\: \rightarrow \mathrm{Ver\: C} \end{matrix}\right.

A.   Las raíces tiene el mismo signo, este signo es contrario al que tenga b.
B.   Las raíces son de signo contrario, la de mayor valor absoluto tiene signo contrario al de b.
C.   Una de las raíces es – b/a, la otra es cero

II. b2 — 4ac == 0, dos raíces iguales: x’ = x” = — b/2a

III. b2 — 4ac < 0, dos raíces imaginarias.