Relaciones entre los coeficientes y las raíces

Relaciones entre los coeficientes y las raíces.

En una ecuación de segundo grado:

$a x^{2} + b x + c = 0$

sus soluciones (raíces) no son números aislados, sino que están directamente relacionadas con los coeficientes $a$ a, $b$ y $c$ .
Estas relaciones permiten calcular la suma y el producto de las raíces sin necesidad de resolver la ecuación.

Relacción entre coeficientes y raíces.

Suma de las raíces de la ecuación de 2.º grado.

En ax² + bx +c = 0 las raíces son:

$\large x=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\: \: ;\: \: x'=\frac{-5-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

sumando miembro a miembro tenemos:

$\large x+x'=\frac{-2b}{ 2a}=-\frac{\: b\: }{\: a\: }$

La suma de las raíces es igual al coeficiente de x con signo contrario partido del coeficiente de x².

En la ecuación:

$\large 3x^{}+8x-12=0\: \rightarrow \: x+x'=-\frac{\: 8\: }{\: 3\: }$

En la ecuación:

$\large x^{2}-7x+10=0\: \rightarrow \: x+x'=7$

Producto de las raíces de la ecuación de 2.º grado.

Multiplicándolas da:

$\large x\, .\, x'=\frac{(-b+\sqrt{b^{2}-4ac})(-b-\sqrt{b^{2}-4ac})}{2a^{2}}$

El numerador es el producto de la suma de dos números por su diferencia.

$\large b+(\sqrt{b^{2}-4ac})$

efectuando tendremos:

$\large x\, .x'=\frac{b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}=\frac{4ac}{4a^{2}}=\frac{\: c\: }{\: a\: }$

El producto de las raíces es igual al término independiente dividido por el coeficiente de x²

En la ecuación:

$\large 2x^{2}-11x-3=0\: \rightarrow \: x\: \: .\: x'=-\frac{3}{2}$

En la ecuación:

$\large x2-7x+10=0\: \rightarrow \: x\: .\: x'=10$

Observación.- Cuando el coeficiente de x² es la unidad, las propiedades anteriores se simplifican así:

La suma de las raíces es igual al coeficiente de x consigno contrario.

El producto de las raíces es igual al término independiente.

Discusión del signo de la raíces.

Supongamos a positivo, si no lo fuera multiplicaríamos la ecuación por -1

1.º c es positivo, entonces el producto de las raíces es positivo. Por tanto, las raíces tiene igual signo, las dos positivas o las dos negativas. Este signo es el contrario de b.

2.º c es negativo, entonces el producto de las raíces es negativo. Por tanto, una de la raíces tiene signo positivo y la otra negativo. La de mayor valor absoluto tiene signo contrario a b.

Ejemplo: Discutir los signos de las raíces de las ecuaciones:

$\large (1.)\; \; \; 4x^{2}+9x+2=0$

$\large (2.)\; \; \; 2x^{2}-9x-5=0$

En ambos caso tenemos que:

$\large b^{2}-4ac>0″></td></tr></tbody></table></figure> <div style=$

En la ecuación (1.) tenemos:

$\large c=+$ $\large b=+$

$\large P=+$ $\large S=-$

Si el producto es positivo las raíces tienen igual signo.

Si la suma es negativa las raíces son negativas

En la ecuación (2.) tenemos:

$\large c=-$ $\large b=-$

$\large P=-$ $\large S=+$

Si el producto es negativo, una raíz es positiva y la otra negativa.

Si la suma es positiva, la raíz de mayor valor absoluto es positiva.

Aplicaciones.-I. Resolver mentalmente algunas ecuaciones.

1.- Sea la ecuación:

$\large x^{2}-6x+8=0$

tiene raíces puesto que: 6² — 4.8 > 0

$\large 6^{2}-4\, .\, 8>0″></td></tr></tbody></table></figure> <div style=$

El producto es positivo (+ 8), las dos raíces son positivas o las dos son negativas.

La suma es positiva ( — 6), las dos raíces son positivas.

Tenemos que buscar dos números cuyo producto sea 8 y su suma 6, Estos números son 4 y 2.

2.- Sea la ecuación:

$\large x^{2}+6x-7=0$

El producto es negativo ( –7), una raíz es positiva y la otra negativa.

La suma es negativa (+6), la mayor en valor absoluto es negativa.

Hay que buscar dos números cuyo producto sea ( –7) y su diferencia 6. Estos números son –7 y +1.

Aplicaciones.-II. Formar una ecuación dadas sus raíces.

Sea hallar una ecuación cuyas raíces sean 5 y — 3.

La ecuación tiene la forma: ax² + bx +c = 0

Tenemos que hallar a, b y c.

Haciendo a = 1

$\large x^{2}-2x-15=0\left\{\begin{matrix} \: \: \: \: b=-[5+(-3)]=-2\\ \\ c=5(-3)-15\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \end{matrix}\right.$

Resumen de la discusión:

Para b² — 4ac > 0, tendremos dos raíces reales desiguales.

Cumpliéndose lo anterior tendremos:

Para c > 0 . Las raíces tienen el mismo signo y es contrario al de b.

Para c < 0 . Las raíces son de signo contrario, la de mayor valor absoluto tiene el signo contrario al de b.

Para c = 0 . Una de las raíces es a/b y la otra es cero.

Para b²— 4ax = 0 . Dos raíces:

$\large x=x'=-\frac{b}{2a}$

Para b²— 4ax < 0 . Dos raíces imaginarias.

Aplicación en problemas.

Estas relaciones son especialmente útiles para:

    • Problemas en los que se conocen sumas y productos de raíces.
    • Comprobaciones rápidas después de resolver la ecuación.
    • Resolver ecuaciones por factorización cuando aparecen condiciones entre raíces.

Observación final.

Aunque en muchos casos resolvemos la ecuación con la fórmula general, conocer estas relaciones te permite:

    • Evitar cálculos complejos cuando no son necesarios.
    • Verificar que tus soluciones son correctas.
    • Resolver problemas que no piden las raíces explícitas sino sus combinaciones.

Practique con algunos ejercicios

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