Resolución de triángulos obtusángulos

I.- Teoremas fundamentales

Teorema de los senos.- En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

En el triángulo ABC trazamos desde el vértice C una perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

En el triángulo ABC de la figura trazamos desde el vertice C una perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

En el primer caso los triángulos CAD y CBD dan:

  CD=b\, sen\, A\: \: \: \: \: \textrm{y}\: \: \: \: \: CD=a\, sen\, B  
  luego: b\: sen\, A=a\: sen\, B  
  de donde: \frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}  

En el segundo caso, como los ángulos suplementarios tiene el mismo seno, tenemos:

  CD=b\: sen\, CAD=b\: sen\, A\: \: \: \textrm{y}\: \: \: CD=a\: sen\, B  
  de donde: \frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}  

Y siendo dos lados cualesquiera proporcionales a los senos de los ángulos opuestos, tenemos:

  \frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}=\frac{c}{sen\, C} (25)

Teorema del coseno.- En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos dos veces el producto de estos lados por el coseno del ángulo que forman.

Sea CD perpendicular a la base:

Primer caso: El triángulo es acutángulo (fig. superior):

  a2 = h2 + n2 b
  m2 = c2 + n2 + 2cn  
  h2 = b2 — m2      ;      n = c — m  
  n2 = ( c — m )2 = c2 + m2 — 2cm  
  a2 = b2 — m2 + c2 + n2 — 2cm  
  a2 = b2 + c2 — 2cm  
y como m=b\: cos\, A  
tenemos que a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\: cos\, A (26)

Segundo caso: El triángulo es obtusángulo (fig. inferior);

  a^{2}=h^{2}+m^{2}  
  h^{2}=b^{2}-n^{2}\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: m=c+n  
  n2 = ( c — m )2 = c2 + m2 — 2cm  
  a^{2}=b^{2}-n^{2}+c^{2}+n^{2}+2cn  
  a^{2}=b^{2}+c^{2}+2cn  

n2 = ( c — m )2 = c2 + m2 — 2cm

y como n=b\: cos\, DAC  

y siendo suplementarios los ángulos en A, tenemos:

  cos\, DAC=-cos\: A  
luego AD=-b\: cos\, A  
tenemos que a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\: cos\, A (26)

Y como se puede tomar por base cualquier lado del triángulo podemos establecer las relaciones siguientes:

  a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\, cos\, A  
  b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ab\: cos\, B      (26)
  c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\: cos\, C  

II.- Casos de resolución de triángulos cualesquiera

Primer caso.- Resolver un triángulo conociendo el lado   c   y los ángulos A y B adyacentes.

tenemos C=180^{0}-(A+B)  

Y según el teorema de los senos:

  \frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}=\frac{c}{sen\, C}  
tendremos: a=\frac{c\: sen\, A}{sen\, C}\: \: \: \textrm{y}\: \: \: \frac{c\: sen\, B}{sen\, C}  

Segundo caso.- Dados los lados   a   y   b   y el ángulo A opuesto al primero, calcular el lado   c   y los ángulos B y C.

Por el terorema de los senos tenemos:

  \frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}=\frac{c}{sen\, C}  
de donde sen\: B=\frac{b\: sen\, A}{a}  
y C=180^{0}-(A+B)  
finalmente c=\frac{a\: sen\, C}{sen\, A}  

Nota.- El ángulo B viene dado por su seno, por tanto B puede tener dos valores entre sí suplementarios.

Si A < 90º: Podemos tener que a > b o que a = b, en estos dos casos B será agudo porque B A.
Si a > b hay dos soluciones, B será agudo y suplementario.

Tercer caso.- Resolver un triángulo conociendo los lados a y b y el ángulo comprendido C.

  A+B=180^{0}-C  
por tanto: \frac{1}{2}(A+B)=90^{0}-\frac{C}{2}  

Para hallar la semidiferencia aplicamos el teorema de los senos y una de las propiedades de las proporciones.

  \frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, b}  
  \frac{a+b}{a-b}=\frac{sen\, A+sen\, B}{sen\, A-sen\, B}  

Aplicando la fórmula de Neper o de la tangentes, tenemos:

  \frac{sen\, A+sen\, B}{sen\, A-sen\, B}=\frac{tg\frac{1}{2}(A+B)}{tg\frac{1}{2}(A-B)}  

de donde:

  tg\frac{1}{2}(A-B)=\frac{a-b}{a+b}\, tg\frac{1}{2}(A+B)  

Conocida esta tangente podemos hallar el vlaor del ángulo (A – B)/2. Y combinando por sumas y resta las fracciones (A + B)/2 y (A – B)/2 tendremos los ángulos A y B

Conociendo A y B se halla el valor de c por el teorema de los senos.

Cuarto caso.- Conociendo tres lados resolver el triángulo.

Los ángulos se hallan mediante teorema del coseno:

  a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\: cos\, A  
  cos\, A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} (27)

Esta fórmula NO puede emplearse utilizando logaritmos, para poder, se hacen unas transformaciones quedando así:

  tg\, \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}} (28)
  tg\, \frac{B}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{p(p-b)}} (29)
  tg\, \frac{C}{2}=\sqrt{\frac{(p-a(p-b))}{p(p-c)}} (30)

siendo p = perímetro.

Área del triángulo.-Es igual al semiproducto de dos lados por el seno del ángulo que forman.

En la figura anterior tenemos:

  S=\frac{1}{2}\, c\, .\, CD  
pero CD=b\: sen\, A  
luego S=\frac{1}{2}\, cb\: sen\, A (31)

Primer caso.- Se conoce el lado   c   y los ángulos adyacentes A y B.

tenemos: CD=b\: sen\, A  
  pero b=\frac{c\, sen\, B}{sen\, C}=\frac{c\: sen\, B}{sen\, (A+B)}  

El ángulo C es suplementario con la suma A + B.

  luego S=\frac{c^{2}\: sen\, A\: sen\, B}{2\: sen\, (A+B)}  

Segundo caso.- Se conocen los lados   a   y   b   y el ángulo A.

Empleamos la fórmula (31) después de haber calculado C.

  S=\frac{ab\: sen\, C}{2}  

Tercer caso.- Se conocen los lados   b   y   c   y el ángulo comprendido.

Fórmula (31) S=\frac{1}{2}\, cb\: sen\, A  

Cuarto caso.- Conocinendo los tres lados.

Su fórmula también es:

  S=\frac{1}{2}\, cb\: sen\, A  
pero sen\: A=2\: sen\, \frac{A}{2}\, cos\, \frac{A}{2}    (14′)
luego \bg_black S=bc\: sen\frac{A}{2}\, cos\frac{A}{2}    (1)

Pero sabemos ya que:

  sen\, \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1-cos\, A}{2}}\: \: \: ;\: \: \: cos\, \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1+cos\, A}{2}}    (2)
  \bg_black 1+cos\, A=\frac{2p\left ( p-a \right )}{bc}  
     
  \bg_black 1-cos\, A=\frac{2\left ( p-b \right )\left ( p-c \right )}{bc}  

Sustituyendo en (2) nos queda:

  sen\, \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}\: \: y\: \: cos\, \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}  

Sustituyendo en (1) nos queda:

  S=bc\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}.\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}=  
     
  =bc\sqrt{\frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{b^{2}\, c^{2}}}  
     
  S=\sqrt{p\, (p-a)(p-b)(p-c)}    (32)

Ejemplos de resolución de triángulos oblicuángulos

Primer caso: Se conocen dos ángulos y el lado común a ambos.

  Datos:\left\{\begin{matrix} a=117,20 m.\\ B=123^{0}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ A=32^{0}\, 57'\: \: \: \: \: \: \: \end{matrix}\right. Incógnitas:\left\{\begin{matrix} C\\ b\\ c \end{matrix}\right.  
  C=180^{0}-(A+B)=180^{0}-(32^{0}\, 57'+123^{0})=24^{0}\, 3'  
  b=\frac{a\: sen\, B}{sen\, A}\: \: \: ;\: \: \: c=\frac{a\: sen\, C}{sen\, }  
  S=\frac{1}{2}\, a^{2}\: \frac{sen\, B\: sen\, C}{sen\, }  

Solución:  b = 180,715 m.  c = 87,814 m.  S = 4315,72 m2

Segundo caso: Se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

  Datos:\left\{\begin{matrix} a=105\: m.\\ b=110\: m.\\ A=58^{0}\: \: \: \: \: \: \: \: \end{matrix}\right. Incógnitas:\left\{\begin{matrix} C\\ B\\ c \end{matrix}\right.  
sen\, B=\frac{b\: sen\, A}{a} C=180^{0}-(A+B) c=\frac{a\: sen\, C}{sen\, A}

Siendo A < 90º y a < b habrá dos soluciones:

    Soluciones:    
  B1 = 62º 40′ 37″   B2 =117º 19′ 24″  
  C1 =59º 19′ 23″   C2 =4º 40′ 37″  
  c = 106,49 m.   c = 10,09  
  S = 4966,91 m²   S = 470,86 m²  

Tercer caso: Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

  Datos:\bg_black \left\{\begin{matrix} a=167 m.\\ \\ b=145 m.\\ \\ C=54^{0} \: \: \: \: \end{matrix}\right. Incógnitas:\left\{\begin{matrix} A\\ B\\ c \end{matrix}\right.  

El lado c lo podemos hallar usando el teorema del coseno:

  c=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2bc\: cos\, C}  

Los ángulos restantes los podemos averiguar a partir del teorema del coseno:

  \frac{a}{sen\, A}=\frac{c}{sen\, C}\: \: \: ;\: \: \: sen\, A=\frac{a\: sen\, C}{c}  
  \frac{b}{sen\, B}=\frac{c}{sen\, C}\: \: \: ;\: \: sen\, B=\frac{b\: sen\, C}{c}  
  S=\, \frac{1}{2}\, ab\: sen\: C  

Colocando valores dados y efectuando las operaciones resulta:

Solución:   A = 70º 52′    ;    B = 55º 7′    ;   c = 143 m.    ;     S = 9795,18 m2

Cuarto caso: Se conocen los tres lados.

  Datos:\left\{\begin{matrix} a=75\: m.\: \: \\ b=92\: m.\: \: \\ c=107\: m. \end{matrix}\right. Incógnitas:\left\{\begin{matrix} A\\ B\\ C \end{matrix}\right.  

Despejando en el teorema del coseno tendremos:

  a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\: cos\, A\: \: ;\: \: cos\, A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}  
     
  b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\: cos\, B\: \: \: ;\: \: \: cos\, B=\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}  
     
  \bg_black c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\: cos\, C\: \: ;\: \: cos\, C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}  

Otra forma de resolver este caso es usando las fórmulas del ángulo medio y siendo p el semiperímetro del triángulo.

  sen\, \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}  
     
  sen\, \frac{B}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{ac}}  
     
  sen\, \frac{c}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{ab}}  

También se puede utilizar:

  cos\, \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}  
     
  cos\, \frac{B}{2}=\sqrt{\frac{p(p-b)}{ac}}  
     
  cos\, \frac{C}{2}=\sqrt{\frac{p(p-c)}{ab}}  

Para hallar la superficie utilicemos:

  S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}  

Colocando valores dados y efectuando las operaciones resulta:

Solución:   A = 43º 28′    ;    B = 57º 33′    ;   C = 78º 58′    ;     S = 3386,29 m2

Problemas de aplicación

Para resolver cualquir ejercicios de triángulos oblicuangulos usaremos las herramienta vistas anteriormente, que son:

Ley de los senos Ley de los cosenos
\frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}=\frac{c}{sen\, C}
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\: cos\, A
b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\: cos\, B
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\: cos\, C

Suma de los ángulos interiores de un triángulo

A+B+C=180^{0}

Con respecto al área tenemos al menos dos fórmula para hallarla.

A=\frac{ab}{2}\, sen\, C
Siendo el ángulo C el formado por los dos lados que aparecen en la fórmula
A\Delta =\sqrt{p(p-a)(p-b))(p-c)}
Siendo p el semiperímetro de los lados del triángulo

Ejercicio 1.- Tenemos una parcela triangular con los datos de la figura. Calcular el triángulo.

En este caso tenemos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

Aplicamos la lay de los cosenos y tenemos:

c^{2}=5^{2}+13^{2}-2.5.13.\, cos\, 41,7^{0}
c^{2}=194-(130.\, 0,7466)
c^{2}=194-97,06
c^{2}=96,94
c=9,84\: m.

Para calcular el valor de uno cualquiera de los otros dos ángulos recurrimos al teorema de los senos.

\frac{a}{sen\, a}=\frac{c}{sen\, 41,7^{0}}
 
sen\, A=\frac{5\: sen\, 41,7^{0}}{9,84}
 
sen\, A=\frac{5.\: 0,6652}{9,84}
 
sen\: A=0,327\textrm{7}
A=19,13^{0}

Para conoce el valor del ángulo B aplicamos la propiedad de los ángulos interiores de un triángulo.

B+41,7^{0}+19,13^{0}=180
B=180^{0}-60,83^{0}
B=119,17^{0}

Para conocer la superficie basta con utilizar una de las fórmulas dadas anteriormente, tendremos:

A\Delta =\frac{ab}{2}\: sen\, C
 
A\Delta =\frac{5.13}{2}\, sen\, 41,7^{0}
 
A\Delta =21,619\, m^{2}

Solución:     c = 9,84 m.     A = 19,130       B = 119,170      S = 21,619 m2

Ejercicio 1.- Resolver el triángulo de la figura inferior.

En este caso conocemos dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos.

A=180^{0}-(52^{0}\, 21'+29^{0}\, 30')
A=98^{0}\, 9'

Calculamos el lado b.

\frac{b}{sen\, 52^{0}\, 21'}=\frac{24,80}{sen\, 29^{0}\, 30'}
 
b=\frac{24,80\: sen\, 52^{0}\, 21'}{sen\, 29^{0}30'}
 
b=39,88

Calculamos el lado a, podemos aplicar el teorema del seno o del coseno, aplicamos el del seno.

\frac{a}{sen\, 98^{0}\, 9'}=\frac{b}{sen\, 52^{0}\, 21'}
 
a=\frac{39,88\: sen\, 98^{0}\, 9'}{sen\: 52^{0}\, 21'}
 
a=49,86

Solución:     A = 98º 9′     b = 39,88 m.     a = 49,86 m.

Ejercicio 2.- Resolver el triángulo de la figura inferior.

En este caso conocemos los tres lados.

Calculamos el ángulo A haciendo uso del teorema del coseno.

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\: cos\, A
169=16+225-120\: cos\, A
-72=-120\: cos\, A
 
cos\, A=\frac{-72}{-120}
 
cos\, A=0,6
A=53^{0}\, 8'

De igual manera calculamos el ángulo B.

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\: cos\, B
16=169+225-390\: cos\, B
-378=-390\: cos\, B
 
cos\, B=\frac{-378}{-390}
 
cos\, B=0,969
B=14^{0}\, 18'

Para calcular el ángulo C.

C=180^{0}-53^{0}\, 8'-14^{0}\, 18
`C=112^{0}\, 34

Solución:     A = 53º 9′     B = 14º 18     C = 112º 34′