Resolución de triángulos obtusángulos
I.- Teoremas fundamentales
Teorema de los senos.- En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
En el triángulo ABC trazamos desde el vértice C una perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

En el triángulo ABC de la figura trazamos desde el vertice C una perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.
En el primer caso los triángulos CAD y CBD dan:
luego: |
de donde: |
En el segundo caso, como los ángulos suplementarios tiene el mismo seno, tenemos:
de donde: |

Y siendo dos lados cualesquiera proporcionales a los senos de los ángulos opuestos, tenemos:
(25) |
Teorema del coseno.- En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos dos veces el producto de estos lados por el coseno del ángulo que forman.
Sea CD perpendicular a la base:

Primer caso: El triángulo es acutángulo (fig. superior):
a2 = h2 + n2 | b | |
m2 = c2 + n2 + 2cn | ||
h2 = b2 — m2 ; n = c — m | ||
n2 = ( c — m )2 = c2 + m2 — 2cm | ||
a2 = b2 — m2 + c2 + n2 — 2cm | ||
a2 = b2 + c2 — 2cm |
y como |
tenemos que | (26) |
Segundo caso: El triángulo es obtusángulo (fig. inferior);

n2 = ( c — m )2 = c2 + m2 — 2cm | ||
n2 = ( c — m )2 = c2 + m2 — 2cm
y como |
y siendo suplementarios los ángulos en A, tenemos:
luego |
tenemos que | (26) |
Y como se puede tomar por base cualquier lado del triángulo podemos establecer las relaciones siguientes:
(26) | ||
II.- Casos de resolución de triángulos cualesquiera
Primer caso.- Resolver un triángulo conociendo el lado c y los ángulos A y B adyacentes.
tenemos |
Y según el teorema de los senos:
tendremos: |
Segundo caso.- Dados los lados a y b y el ángulo A opuesto al primero, calcular el lado c y los ángulos B y C.
Por el terorema de los senos tenemos:
de donde |
y |
finalmente |

Nota.- El ángulo B viene dado por su seno, por tanto B puede tener dos valores entre sí suplementarios.
Si A < 90º: Podemos tener que a > b o que a = b, en estos dos casos B será agudo porque B ≤ A.
Si a > b hay dos soluciones, B será agudo y suplementario.
Tercer caso.- Resolver un triángulo conociendo los lados a y b y el ángulo comprendido C.
por tanto: |
Para hallar la semidiferencia aplicamos el teorema de los senos y una de las propiedades de las proporciones.
Aplicando la fórmula de Neper o de la tangentes, tenemos:
de donde:
Conocida esta tangente podemos hallar el vlaor del ángulo (A – B)/2. Y combinando por sumas y resta las fracciones (A + B)/2 y (A – B)/2 tendremos los ángulos A y B
Conociendo A y B se halla el valor de c por el teorema de los senos.
Cuarto caso.- Conociendo tres lados resolver el triángulo.
Los ángulos se hallan mediante teorema del coseno:
(27) |
Esta fórmula NO puede emplearse utilizando logaritmos, para poder, se hacen unas transformaciones quedando así:
(28) |
(29) |
(30) |
siendo p = perímetro.
Área del triángulo.-Es igual al semiproducto de dos lados por el seno del ángulo que forman.

En la figura anterior tenemos:
pero |
luego | (31) |
Primer caso.- Se conoce el lado c y los ángulos adyacentes A y B.
tenemos: |
pero |
El ángulo C es suplementario con la suma A + B.
luego |
Segundo caso.- Se conocen los lados a y b y el ángulo A.
Empleamos la fórmula (31) después de haber calculado C.
Tercer caso.- Se conocen los lados b y c y el ángulo comprendido.
Fórmula (31) |
Cuarto caso.- Conocinendo los tres lados.
Su fórmula también es:
pero | (14′) |
luego | (1) |
Pero sabemos ya que:
(2) |
Sustituyendo en (2) nos queda:
Sustituyendo en (1) nos queda:
(32) |
Ejemplos de resolución de triángulos oblicuángulos
Primer caso: Se conocen dos ángulos y el lado común a ambos.
Datos: |
Incógnitas: |
Solución: b = 180,715 m. c = 87,814 m. S = 4315,72 m2
Segundo caso: Se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Datos: |
Incógnitas: |
Siendo A < 90º y a < b habrá dos soluciones:
Soluciones: | ||||
B1 = 62º 40′ 37″ | B2 =117º 19′ 24″ | |||
C1 =59º 19′ 23″ | C2 =4º 40′ 37″ | |||
c = 106,49 m. | c = 10,09 | |||
S = 4966,91 m² | S = 470,86 m² |
Tercer caso: Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Datos: |
Incógnitas: |
El lado c lo podemos hallar usando el teorema del coseno:
Los ángulos restantes los podemos averiguar a partir del teorema del coseno:
Colocando valores dados y efectuando las operaciones resulta:
Solución: A = 70º 52′ ; B = 55º 7′ ; c = 143 m. ; S = 9795,18 m2
Cuarto caso: Se conocen los tres lados.
Datos: |
Incógnitas: |
Despejando en el teorema del coseno tendremos:
Otra forma de resolver este caso es usando las fórmulas del ángulo medio y siendo p el semiperímetro del triángulo.
También se puede utilizar:
Para hallar la superficie utilicemos:
Colocando valores dados y efectuando las operaciones resulta:
Solución: A = 43º 28′ ; B = 57º 33′ ; C = 78º 58′ ; S = 3386,29 m2
Problemas de aplicación
Para resolver cualquir ejercicios de triángulos oblicuangulos usaremos las herramienta vistas anteriormente, que son:
Ley de los senos | Ley de los cosenos | |||
|
Suma de los ángulos interiores de un triángulo
Con respecto al área tenemos al menos dos fórmula para hallarla.
Siendo el ángulo C el formado por los dos lados que aparecen en la fórmula |
Siendo p el semiperímetro de los lados del triángulo |
Ejercicio 1.- Tenemos una parcela triangular con los datos de la figura. Calcular el triángulo.
En este caso tenemos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

Aplicamos la lay de los cosenos y tenemos:
Para calcular el valor de uno cualquiera de los otros dos ángulos recurrimos al teorema de los senos.
Para conoce el valor del ángulo B aplicamos la propiedad de los ángulos interiores de un triángulo.
Para conocer la superficie basta con utilizar una de las fórmulas dadas anteriormente, tendremos:
Solución: c = 9,84 m. A = 19,130 B = 119,170 S = 21,619 m2
Ejercicio 1.- Resolver el triángulo de la figura inferior.
En este caso conocemos dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos.

Calculamos el lado b.
Calculamos el lado a, podemos aplicar el teorema del seno o del coseno, aplicamos el del seno.
Solución: A = 98º 9′ b = 39,88 m. a = 49,86 m.
Ejercicio 2.- Resolver el triángulo de la figura inferior.
En este caso conocemos los tres lados.

Calculamos el ángulo A haciendo uso del teorema del coseno.
De igual manera calculamos el ángulo B.
Para calcular el ángulo C.
Solución: A = 53º 9′ B = 14º 18 C = 112º 34′