Resolución de triángulos cualesquiera.

Teoremas fundamentales en la resolución de triángulos cualesquiera.

Nos referimos básicamente a la resolución de triángulos obtusángulos.

I.- Teoremas fundamentales

Teorema del seno.

En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

En el triángulo ABC trazamos desde el vértice C una perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

En el triángulo ABC de la figura trazamos desde el vertice C una perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

En la primera figura los triángulos CAD y CBD dan:

\large CD=b\: sen\, A\: \: \: ;\: \: \: CD=a\: sen\, B
\large \: sen\, A=a\: sen\, B
\large \frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}

En la segunda figura, como los ángulos suplementarios tiene el mismo seno, tenemos:

\large CD=b\; sen\, CAD=b\; sen\, A\: \: ;\: \: CD=a\; sen\, B
\large \frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}

Y siendo dos lados cualesquiera proporcionales a los senos de los ángulos opuestos, tenemos:

\large \frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}=\frac{c}{sen\, C}\: \: \: [25]

Teorema del coseno.

En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos dos veces el producto de estos lados por el coseno del ángulo que forman.

Sea CD perpendicular a la base:

Primer caso: El triángulo es acutángulo (fig. superior):

\large a^{2}=h^{2}+n^{2}
\large h^{2}=b^{2}-m^{2}\: \: \: ;\: \: \: n=c-m
\large n^{2}=(c-m)^{2}=c^{2}+m^{2}-2cm
\large a^{2}=b^{2}-m^{2}+c^{2}+n^{2}-2cm
\large a^{2}=b^{2}+c^{2}-2cm
pero como:
\large m=b\; cos\, A
tenemos que:
\large a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\, bc\; cos\, A\: \: \: [26]

Segundo caso: El triángulo es obtusángulo (fig. inferior);

\large a^{2}=h^{2}+m^{2}
\large h^{2}=b^{2}-n^{2}\: \: \: ;\: \: \: m=c+n
\large m^{2}=c^{2}+n^{2}+2cn
\large a^{2}=b^{2}-n^{2}+c^{2}+n^{2}+2cn
\large a^{2}=b^{2}+c^{2}+2cn
pero como:
\large n=b\; cos\, DAC
Y siendo suplementarios los ángulos en A, tenemos:
\large cos\; DAC=-cos\, A\: \: \: ;\: \: \: AD=-b\; cos\,A
por lo tanto:
\large a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\; cos\, A\: \: \: [26]

Y como se puede tomar por base cualquier lado del triángulo podemos establecer las relaciones siguientes:

\large [26]\; \; \; \; \left\{\begin{matrix} a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\: cos\, A\\ b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\: cos\, B\\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\: cos\, C\end{matrix}\right.

II.- Casos de resolución de triángulos cualesquiera

Primer caso.- Resolver un triángulo conociendo el lado   c   y los ángulos A y B adyacentes.

\large C=180^{0}-(A+B)

Y según el teorema de los senos:

\large \frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}=\frac{c}{sen\, C}\: \: \: [25]
\large a=\frac{c\; sen\, A}{sen\, C}\: \: \: ;\: \: \: b=\frac{c\; sen\, B}{sen\, C}

Segundo caso.- Dados los lados   a   y   b   y el ángulo A opuesto al primero, calcular el lado   c   y los ángulos B y C.

Por el teorema de los senos tenemos:

\large \frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}=\frac{c}{sen\, C}\: \: \: [25]
\large sen\, B=\frac{b\; sen\, A}{a}
\large C=180^{0}-(A+B)
Finalmente:
\large c=\frac{a\; sen\, c}{sen\, A}

Nota.- El ángulo B viene dado por su seno, por tanto B puede tener dos valores entre sí suplementarios.

Si A < 90º: Podemos tener que a > b o que a = b, en estos dos casos B será agudo porque B ≤ A.
Si a > b hay dos soluciones, B será agudo y suplementario.

Tercer caso.- Resolver un triángulo conociendo los lados a y b y el ángulo comprendido C.

\large A+B=180^{0}-C
\large \frac{1}{2}(A+B)=90^{0}-\frac{C}{2}

Para hallar la semidiferencia aplicamos el teorema de los senos y una de las propiedades de las proporciones.

\large \frac{a}{sen\; A}=\frac{b}{sen\; B}
\large \frac{a+b}{a-b}=\frac{sen\; A+sen\; B}{sen\; A-sen\; B}

Aplicando la fórmula de Neper o de la tangentes, tenemos:

\large \frac{sen\; A+sen\; B}{sen\; A-sen\; B}=\frac{tg\frac{1}{2}(A+B)}{tg\frac{1}{2}(A-B)}

de donde:

\large tg\, \frac{1}{2}(A-B)=\frac{a-b}{a+b}\, tg\, \frac{1}{2}(A+B)

Conocida esta tangente podemos hallar el valor del ángulo (A – B)/2. Y combinando por sumas y resta las fracciones (A + B)/2 y (A – B)/2 tendremos los ángulos A y B

Conociendo A y B se halla el valor de c por el teorema de los senos.

Cuarto caso.- Conociendo tres lados resolver el triángulo.

Los ángulos se hallan mediante teorema del coseno:

\large a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\; cos\, A
\large cos\, A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\: \: \: [27]

Esta fórmula NO puede emplearse utilizando logaritmos, para poder, se hacen unas transformaciones quedando así:

\large tg\, \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}\: \: \: [28]
\large tg\, \frac{B}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{p(-b)}}\: \: \: [29]
\large tg\frac{C}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}\: \: \: [30]
siendo p = perímetro.

Estos radicales son siempre positivos ya que la mitad de un ángulo de un triángulo es siempre menor a 90º.

Área del triángulo.-Es igual al semiproducto de dos lados por el seno del ángulo que forman.

En la figura anterior tenemos:

\large S=\frac{1}{2}\, c\; CD
\large S=\frac{1}{2}\, c\, b\; sen\, A\: \: \: [31]

Primer caso.- Se conoce el lado   c   y los ángulos adyacentes A y B.

\large S=\frac{1}{2}\, c\, b\; sen\, A\: \: \: [31]

pero tenemos que:

\large b=\frac{c\; sen\, B}{sen\, C}=\frac{c\; sen\, B}{sen(A+B)}

por lo tanto:

\large S=\frac{c^{2}\; sen\, A\; sen\, B}{2\; sen(A+B)}

El ángulo C es suplementario con la suma A + B.

Segundo caso.- Se conocen los lados   a   y   b   y el ángulo A.

Empleamos la fórmula (31) después de haber calculado C.

\large S=\frac{a\, b\; sen\, C}{2}

Tercer caso.- Se conocen los lados   b   y   c   y el ángulo comprendido. Se utiliza la fórmula [31]

\large S=\frac{1}{2}\, c\, b\; sen\, A\: \: \: [31]

Cuarto caso.- Conocinendo los tres lados.

Su fórmula también es:

\large S=\frac{1}{2}\, c\, b\; sen\, A\: \: \: [31]

pero tenemos que:

\large sen\, A=2\, sen\, \frac{A}{2}\; cos\, \frac{A}{2}\: \: \: [14']

por lo tanto:

\large S=b\, c\; sen\, \frac{A}{2}\; cos\, \frac{A}{2}\: \: \: (1)

Pero sabemos ya que:

\large sen\, \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1-cos\, A}{2}}\: \:;\: \: cos\, \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1+cos\, A}{2}}\: \: \: (2)
\large 1+cos\, A=\frac{2p(p-a)}{bc}
\large 1-cos\, A=\frac{2(p-b)(p-c)}{bc}

Sustituyendo en (2) nos queda:

\large sen\, \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}
\large cos\, \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}

Sustituyendo en (1) nos queda:

\large S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\: \: \: [32]

Ejemplos de resolución de triángulos oblicuángulos

1.- Conocemos sus tres lados.

\large Datos\left\{\begin{matrix} a=\: 75\, m.\\ b=\: 92\, m.\\ c=107\, m.\end{matrix}\right. \: \: ;\: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} A\\ B\\ C\end{matrix}\right.
\large cos\, A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2\, b\, c}\: \: \: ;\: \: \: A=43,47^{0}
\large cos\, B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2\, a\, c}\: \: \: ;\: \: \: B=57,56^{0}
\large C=180-(A+B)\: \: \: ;\: \: \: C=78,97^{0}

Solución:  A = 43,47º ; B = 57,56º ; C = 78,97º

2.- Conocemos un lado y los ángulos adyacentes.

\large Datos\left\{\begin{matrix} a=117\, m.\\ A=33^{0}\: \: \: \: \: \: \: \: \\ B=123^{0}\: \: \: \: \: \: \: \end{matrix}\right. \: \: \: ;\: \: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} C\\ b\\ c\end{matrix}\right.
\large C=180^{0}-(A+B)\: \: \: ;\: \: \: C=24^{0}
\large \frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}\: \: \: ;\: \: \: b=\frac{a\; sen\, B}{sen\, A}
\large b=\frac{117\; sen\, 123^{0}}{sen\, 33^{0}}\: \: ;\: \: b=180,16
\large \frac{a}{sen\, A}=\frac{c}{sen\, C}\: \: \: ;\: \: \: c=\frac{a\; sen\, C}{sen\, A}
\large c=\frac{117\; sen\, 24^{0}}{sen\, 33^{0}}\: \: \: ;\: \: \: c=87,37

Solución:  C = 24º ; b = 180,15 m. ; c = 87,37 m.

3.- Conocemos dos lados y el ángulo que forman.

\large Datos\left\{\begin{matrix} a=167\, m.\\ b=145\, m.\\ C=54^{0}\: \: \: \: \: \: \: \: \end{matrix}\right. \: \: ;\: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} A\\ B\\ c\end{matrix}\right.

El lado c lo podemos hallar usando el teorema del coseno:

\large c=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2\, ab\; cos\, C}
\large c=\sqrt{167^{2}+145^{2}-(2.167.145.cos\, 54^{0})}=142,99

Los ángulos restantes los podemos averiguar a partir del teorema del coseno:

\large \frac{a}{sen\, A}=\frac{c}{sen\, C}\: \: ;\: \: sen\, A=\frac{a\; sen\, C}{c}
\large sen\, A=\frac{167\; sen\, 54^{0}}{142,99}\: \: \: ;\: \: \: A=70,88^{0}
\large B=180-(A+C)\: \: \: ;\: \: \: B=55,12^{0}

Colocando valores dados y efectuando las operaciones resulta:

Solución:   A = 70º 88′    ;    B = 55º 12′    ;   c = 142,99 m.

4.- Conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.- Este es caso más complejo pues generalmente se puede dar dos situaciones: Existe un triángulo o existe dos triángulos.

Para que existan dos triángulos, el lado a debe ser menor que el b, a < b.

\large Datos\left\{\begin{matrix} a=105\, m.\\ b=110\, m.\\ A=58^{0}\: \: \: \: \: \: \: \: \end{matrix}\right. \: \: ;\: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} B\\ C\\ c\end{matrix}\right.
\large \frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}\: \: ;\: \: sen\, B=\frac{b\; sen\, A}{a}
\large sen\, B=\frac{110\; sen\, 58^{0}}{105}\: \: ;\: \: B=62,67^{0}
\large C=180-(A+B)\: \: \: ;\: \: \: C=59,33^{0}
\large c=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\; cos\, C}=106,49

Existen dos triángulos puesto que a < b

\large B_{1}=180^{0}-B=117,33^{0}
\large C_{1}=180^{0}-(A+B_{1})=4,67^{0}
\large c=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2\, ab\; cos\, C_{1}}=10,095

          B =  62,67º    ;   C = 59,33º    ;     S = 4.966,41 m2
        B1 = 117,33º   ;   C1 = 4,67º    ;     S = 470,863 m2

Problemas de aplicación

Para resolver cualquir ejercicios de triángulos oblicuangulos usaremos las herramienta vistas anteriormente, que son:

\large \frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}=\frac{c}{sen\, C}
\large a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\; cos\, A
\large b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ab\; cos\, B
\large c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\; cos\, C

Suma de los ángulos interiores de in triángulo.

\large A+B+C=180^{0}

Con respecto al área tenemos al menos dos fórmula para hallarla.

\large A\Delta =\frac{ab}{2}\, sen C

Siendo el ángulo C el formado por los dos lados que aparecen en la fórmula.

\large A\Delta =\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

Siendo p el semiperímetro de los lados del triángulo.

Ejercicio 1.- Tenemos una parcela triangular con los datos de la figura. Calcular el triángulo.

En este caso tenemos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

Aplicamos la lay de los cosenos y tenemos:

\large c^{2}=5^{2}+13^{2}-2.5.13\; cos\, 41,70^{0}
\large c^{2}=96,94\: \: \: ;\: \: \: c=9,85

Para calcular el valor de uno cualquiera de los otros dos ángulos recurrimos al teorema de los senos.

\large \frac{a}{sen\, A}=\frac{c}{sen\, 41,70^{0}}\: \: ;\: \: sen\, A=\frac{5\; sen\, 41,70^{0}}{9,84}
\large A=19,13^{0}

Para conocer el valor del ángulo B aplicamos la propiedad de los ángulos interiores de un triángulo.

\large 180^{0}=B+41,70^{0}+19,13^{0}
\large B=119,17^{0}

Para conocer la superficie basta con utilizar una de las fórmulas dadas anteriormente, tendremos:

\large A\Delta =\frac{a\, b}{2}\, sen\, C=21,619

Solución:     c = 9,84 m.     A = 19,130       B = 119,170      S = 21,619 m2

Ejercicio 1.- Resolver el triángulo de la figura inferior.

En este caso conocemos dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos.

\large A=180^{0}(52,35^{2}+29,50^{0})=98,15^{0}

Calculamos el lado b.

\large \frac{b}{sen\, 52,35^{0}}=\frac{24,80}{sen\, 29,50^{0}}\: \: ;\: \: b=\frac{24,80\; sen\, 52,35^{0}}{sen\, 29,50^{0}}
\large b=39,88

Calculamos el lado a, podemos aplicar el teorema del seno o del coseno, aplicamos el del seno.

\large \frac{39,88}{sen\, 98,15^{0}}=\frac{b}{sen\, 52,21^{0}}\: \: ;\: \: a=\frac{39,88\; sen\, 98,15^{0}}{sen\, 52,35^{0}}
\large a=49,86

Solución:     A = 98º 9′     b = 39,88 m.     a = 49,86 m.

Ejercicio 2.- Resolver el triángulo de la figura inferior.

En este caso conocemos los tres lados.

Calculamos el ángulo A haciendo uso del teorema del coseno.

\large a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\; cos\, A
\large cos\, A=\frac{-72}{-120}\: \: \: ;\: \: \: A=53,13^{0}

De igual manera calculamos el ángulo B.

\large b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\; cos\, B
\large cos\, B=\frac{-378}{-390}\: \: \: ;\: \: \: B=14,30^{0}

Para calcular el ángulo C.

\large C=180^{0}-(53,13^{0}+14,30^{0})=112,57^{0}

Solución:     A = 53º 9′     B = 14º 18     C = 112º 34′

Practique con algunos ejercicios…

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