Resolución de triángulos cualesquiera.

En este capítulo resolvemos triángulos oblicuángulos (ni rectos ni isósceles necesariamente). Para ello se utilizan fundamentalmente dos teoremas:

• Teorema del seno
• Teorema del coseno

A partir de ellos se resuelven todos los casos posibles.

I. Teoremas fundamentales.

1. Teorema del seno.

En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

En el triángulo ABC trazamos desde el vértice C una perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

Caso 1: Triángulo acutángulo.

En el triángulo ABC de la figura trazamos desde el vertice C una perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

En la primera figura los triángulos CAD y CBD dan:

$\large CD=b\: sen\, A\: \: \: ;\: \: \: CD=a\: sen\, B$

$\large \: sen\, A=a\: sen\, B$

$\large \frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}$

Caso 2: Triángulo obtusángulo.

En la segunda figura, como los ángulos suplementarios tiene el mismo seno, tenemos:

$\large CD=b\; sen\, CAD=b\; sen\, A\: \: ;\: \: CD=a\; sen\, B$

$\large \frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}$

Y siendo dos lados cualesquiera proporcionales a los senos de los ángulos opuestos, tenemos:

$\large \frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}=\frac{c}{sen\, C}\: \: \: [25]$

2. Teorema del coseno.

En todo triángulo:
El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos dos veces el producto de dichos lados por el coseno del ángulo comprendido.

Sea CD perpendicular a la base:

Caso 1: Triángulo acutángulo. (fig. superior):

$\large a^{2}=h^{2}+n^{2}$

$\large h^{2}=b^{2}-m^{2}\: \: \: ;\: \: \: n=c-m$

$\large n^{2}=(c-m)^{2}=c^{2}+m^{2}-2cm$

$\large a^{2}=b^{2}-m^{2}+c^{2}+n^{2}-2cm$

$\large a^{2}=b^{2}+c^{2}-2cm$

pero como:

$\large m=b\; cos\, A$

tenemos que:

$\large a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\, bc\; cos\, A\: \: \: [26]$

Caso 2: Triángulo obtusángulo. (fig. inferior);

$\large a^{2}=h^{2}+m^{2}$

$\large h^{2}=b^{2}-n^{2}\: \: \: ;\: \: \: m=c+n$

$\large m^{2}=c^{2}+n^{2}+2cn$

$\large a^{2}=b^{2}-n^{2}+c^{2}+n^{2}+2cn$

$\large a^{2}=b^{2}+c^{2}+2cn$

pero como:

$\large n=b\; cos\, DAC$

Y siendo suplementarios los ángulos en A, tenemos:

$\large cos\; DAC=-cos\, A\: \: \: ;\: \: \: AD=-b\; cos\,A$

por lo tanto:

$\large a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\; cos\, A\: \: \: [26]$

Formas simétricas.

$\large [26]\; \; \; \; \left\{\begin{matrix} a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\: cos\, A\\ b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\: cos\, B\\ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\: cos\, C\end{matrix}\right.$

II. Casos de resolución de triángulos cualesquiera.

Primer caso.
Se conoce un lado $c$ y los ángulos adyacentes $A$ y $B$

$\large C=180^{0}-(A+B)$

Y según el teorema de los senos:

$\large \frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}=\frac{c}{sen\, C}\: \: \: [25]$

$\large a=\frac{c\; sen\, A}{sen\, C}\: \: \: ;\: \: \: b=\frac{c\; sen\, B}{sen\, C}$

Segundo caso.
Se conocen $a$ , $b$ y el ángulo $A$

Por el teorema de los senos tenemos:

$\large \frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}=\frac{c}{sen\, C}\: \: \: [25]$

$\large sen\, B=\frac{b\; sen\, A}{a}$

$\large C=180^{0}-(A+B)$

Finalmente:

$\large c=\frac{a\; sen\, c}{sen\, A}$

Nota importante (caso ambiguo).
Dado que un seno corresponde a dos ángulos suplementarios:

• Si $A < 90^\circ$ :
   •Si $a > b$ : una solución
   • Si $a = b$ : una solución
   • Si $a < b$ a: dos soluciones

Tercer caso.
Se conocen los lados $a$ y $b$ y el ángulo comprendido $C$

$\large A+B=180^{0}-C$

$\large \frac{1}{2}(A+B)=90^{0}-\frac{C}{2}$

Para hallar la semidiferencia aplicamos el teorema de los senos y una de las propiedades de las proporciones.

$\large \frac{a}{sen\; A}=\frac{b}{sen\; B}$

$\large \frac{a+b}{a-b}=\frac{sen\; A+sen\; B}{sen\; A-sen\; B}$

Aplicando la fórmula de Neper o de la tangentes, tenemos:

$\large \frac{sen\; A+sen\; B}{sen\; A-sen\; B}=\frac{tg\frac{1}{2}(A+B)}{tg\frac{1}{2}(A-B)}$

de donde:

$\large tg\, \frac{1}{2}(A-B)=\frac{a-b}{a+b}\, tg\, \frac{1}{2}(A+B)$

Conocida esta tangente podemos hallar el valor del ángulo (A – B)/2. Y combinando por sumas y resta las fracciones (A + B)/2 y (A – B)/2 tendremos los ángulos A y B.
Finalmente se halla el valor de c por el teorema de los senos.

Cuarto caso.
Conociendo los tres lados.

Los ángulos se hallan mediante teorema del coseno:

$\large a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\; cos\, A$

$\large cos\, A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\: \: \: [27]$

Para uso con logaritmos clásicos, se transforman en las fórmulas de las semitangentes:

$\large tg\, \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}\: \: \: [28]$

$\large tg\, \frac{B}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{p(-b)}}\: \: \: [29]$

$\large tg\frac{C}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}\: \: \: [30]$

Estos radicales son siempre positivos ya que la mitad de un ángulo de un triángulo es siempre menor a 90º.

III. Área del triángulo.

Es igual al semiproducto de dos lados por el seno del ángulo que forman.

En la figura anterior tenemos:

$\large S=\frac{1}{2}\, c\; CD$

$\large S=\frac{1}{2}\, c\, b\; sen\, A\: \: \: [31]$

Caso 1.
Se conoce el lado c y los ángulos adyacentes A y B.

$\large S=\frac{1}{2}\, c\, b\; sen\, A\: \: \: [31]$

pero tenemos que:

$\large b=\frac{c\; sen\, B}{sen\, C}=\frac{c\; sen\, B}{sen(A+B)}$

por lo tanto:

$\large S=\frac{c^{2}\; sen\, A\; sen\, B}{2\; sen(A+B)}$

El ángulo C es suplementario con la suma A + B.

Caso 2.
Se conocen los lados a y b y el ángulo A.

Empleamos la fórmula (31) después de haber calculado C.

$\large S=\frac{a\, b\; sen\, C}{2}$

Caso 3.
Se conocen los lados b y c y el ángulo comprendido. Se utiliza la fórmula [31]

$\large S=\frac{1}{2}\, c\, b\; sen\, A\: \: \: [31]$

Caso 4. Fórmula de Heron.
Conociendo los tres lados.

$\large S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\: \: \: [32]$

IV. Ejemplos resueltos (oblicuángulos).

Ejemplo 1 – Conocemos sus tres lados.

$\large Datos\left\{\begin{matrix} a=\: 75\, m.\\ b=\: 92\, m.\\ c=107\, m.\end{matrix}\right. \: \: ;\: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} A\\ B\\ C\end{matrix}\right.$

$\large cos\, A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2\, b\, c}\: \: \: ;\: \: \: A=43,47^{0}$

$\large cos\, B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2\, a\, c}\: \: \: ;\: \: \: B=57,56^{0}$

$\large C=180-(A+B)\: \: \: ;\: \: \: C=78,97^{0}$

Solución: A = 43,47º ; B = 57,56º ; C = 78,97º

Ejemplo 2 – Conocemos un lado y los ángulos adyacentes.

$\large Datos\left\{\begin{matrix} a=117\, m.\\ A=33^{0}\: \: \: \: \: \: \: \: \\ B=123^{0}\: \: \: \: \: \: \: \end{matrix}\right. \: \: \: ;\: \: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} C\\ b\\ c\end{matrix}\right.$

$\large C=180^{0}-(A+B)\: \: \: ;\: \: \: C=24^{0}$

$\large \frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}\: \: \: ;\: \: \: b=\frac{a\; sen\, B}{sen\, A}$

$\large b=\frac{117\; sen\, 123^{0}}{sen\, 33^{0}}\: \: ;\: \: b=180,16$

$\large \frac{a}{sen\, A}=\frac{c}{sen\, C}\: \: \: ;\: \: \: c=\frac{a\; sen\, C}{sen\, A}$

$\large c=\frac{117\; sen\, 24^{0}}{sen\, 33^{0}}\: \: \: ;\: \: \: c=87,37$

Solución: C = 24º ; b = 180,15 m. ; c = 87,37 m.

Ejemplo 3 – Conocemos dos lados y el ángulo que forman.

$\large Datos\left\{\begin{matrix} a=167\, m.\\ b=145\, m.\\ C=54^{0}\: \: \: \: \: \: \: \: \end{matrix}\right. \: \: ;\: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} A\\ B\\ c\end{matrix}\right.$

El lado c lo podemos hallar usando el teorema del coseno:

$\large c=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2\, ab\; cos\, C}$

$\large c=\sqrt{167^{2}+145^{2}-(2.167.145.cos\, 54^{0})}=142,99$

Los ángulos restantes los podemos averiguar a partir del teorema del coseno:

$\large \frac{a}{sen\, A}=\frac{c}{sen\, C}\: \: ;\: \: sen\, A=\frac{a\; sen\, C}{c}$

$\large sen\, A=\frac{167\; sen\, 54^{0}}{142,99}\: \: \: ;\: \: \: A=70,88^{0}$

$\large B=180-(A+C)\: \: \: ;\: \: \: B=55,12^{0}$

Solución: A = 70º 88′ ; B = 55º 12′ ; c = 142,99 m.

Ejemplo 4 – Conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.- Este es caso más complejo pues generalmente se puede dar dos situaciones: Existe un triángulo o existe dos triángulos.

Para que existan dos triángulos, el lado a debe ser menor que el b, a < b.

$\large Datos\left\{\begin{matrix} a=105\, m.\\ b=110\, m.\\ A=58^{0}\: \: \: \: \: \: \: \: \end{matrix}\right. \: \: ;\: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} B\\ C\\ c\end{matrix}\right.$

$\large \frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}\: \: ;\: \: sen\, B=\frac{b\; sen\, A}{a}$

$\large sen\, B=\frac{110\; sen\, 58^{0}}{105}\: \: ;\: \: B=62,67^{0}$

$\large C=180-(A+B)\: \: \: ;\: \: \: C=59,33^{0}$

$\large c=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\; cos\, C}=106,49$

Existen dos triángulos puesto que a < b

$\large B_{1}=180^{0}-B=117,33^{0}$

$\large C_{1}=180^{0}-(A+B_{1})=4,67^{0}$

$\large c=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2\, ab\; cos\, C_{1}}=10,095$

Soluciones:
B = 62,67º ; C = 59,33º ; S = 4.966,41 m²
B₁ = 117,33º ; C₁ = 4,67º ; S = 470,863 m²

V. Problemas de aplicación.

Para resolver cualquir ejercicios de triángulos oblicuangulos usaremos las herramienta vistas anteriormente, que son:

$\large \frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}=\frac{c}{sen\, C}$

$\large a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\; cos\, A$

$\large b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ab\; cos\, B$

$\large c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\; cos\, C$

Suma de los ángulos interiores de un triángulo.

$\large A+B+C=180^{0}$

Hallar el área de un triángulo no rectángulo.

$\large A\Delta =\frac{ab}{2}\, sen C$

Siendo el ángulo C el formado por los dos lados que aparecen en la fórmula.

$\large A\Delta =\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Siendo p el semiperímetro de los lados del triángulo.

Ejercicio 1 – Tenemos una parcela triangular con los datos de la figura. Calcular el triángulo.

En este caso tenemos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

Aplicamos la lay de los cosenos y tenemos:

$\large c^{2}=5^{2}+13^{2}-2.5.13\; cos\, 41,70^{0}$

$\large c^{2}=96,94\: \: \: ;\: \: \: c=9,85$

Para calcular el valor de uno cualquiera de los otros dos ángulos recurrimos al teorema de los senos.

$\large \frac{a}{sen\, A}=\frac{c}{sen\, 41,70^{0}}\: \: ;\: \: sen\, A=\frac{5\; sen\, 41,70^{0}}{9,84}$

$\large A=19,13^{0}$

Para conocer el valor del ángulo B aplicamos la propiedad de los ángulos interiores de un triángulo.

$\large 180^{0}=B+41,70^{0}+19,13^{0}$

$\large B=119,17^{0}$

Para conocer la superficie basta con utilizar una de las fórmulas dadas anteriormente, tendremos:

$\large A\Delta =\frac{a\, b}{2}\, sen\, C=21,619$

Solución: c = 9,84 m. A = 19,13⁰ B = 119,17⁰ S = 21,619 m²

Ejercicio 2 – Resolver el triángulo de la figura inferior.

En este caso conocemos dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos.

$\large A=180^{0}(52,35^{2}+29,50^{0})=98,15^{0}$

Calculamos el lado b.

$\large \frac{b}{sen\, 52,35^{0}}=\frac{24,80}{sen\, 29,50^{0}}\: \: ;\: \: b=\frac{24,80\; sen\, 52,35^{0}}{sen\, 29,50^{0}}$

$\large b=39,88$

Calculamos el lado a, podemos aplicar el teorema del seno o del coseno, aplicamos el del seno.

$\large \frac{39,88}{sen\, 98,15^{0}}=\frac{b}{sen\, 52,21^{0}}\: \: ;\: \: a=\frac{39,88\; sen\, 98,15^{0}}{sen\, 52,35^{0}}$

$\large a=49,86$

Solución: A = 98º 9′ b = 39,88 m. a = 49,86 m.

Ejercicio 3 – Resolver el triángulo de la figura inferior.

En este caso conocemos los tres lados.

Calculamos el ángulo A haciendo uso del teorema del coseno.

$\large a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\; cos\, A$

$\large cos\, A=\frac{-72}{-120}\: \: \: ;\: \: \: A=53,13^{0}$

De igual manera calculamos el ángulo B.

$\large b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\; cos\, B$

$\large cos\, B=\frac{-378}{-390}\: \: \: ;\: \: \: B=14,30^{0}$

Para calcular el ángulo C.

$\large C=180^{0}-(53,13^{0}+14,30^{0})=112,57^{0}$

Solución: A = 53º 9′ B = 14º 18 C = 112º 34′

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