Resolución de triángulos obtusángulos

I.- Teoremas fundamentales

Teorema de los senos.- En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

En el triángulo ABC trazamos desde el vértice C una perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

En el triángulo ABC de la figura trazamos desde el vertice C una perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

En el primer caso los triángulos CAD y CBD dan:

$CD=b\, sen\, A\: \: \: \: \: \textrm{y}\: \: \: \: \: CD=a\, sen\, B$

luego:

$b\: sen\, A=a\: sen\, B$

de donde:

$\frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}$

En el segundo caso, como los ángulos suplementarios tiene el mismo seno, tenemos:

$CD=b\: sen\, CAD=b\: sen\, A\: \: \: \textrm{y}\: \: \: CD=a\: sen\, B$

de donde:

$\frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}$

Y siendo dos lados cualesquiera proporcionales a los senos de los ángulos opuestos, tenemos:

$\frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}=\frac{c}{sen\, C}$

(25)

Teorema del coseno.- En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos dos veces el producto de estos lados por el coseno del ángulo que forman.

Sea CD perpendicular a la base:

Primer caso: El triángulo es acutángulo (fig. superior):

	a² = h² + n²	b
	m² = c² + n² + 2cn
	h² = b² — m² ; n = c — m
	n² = ( c — m )² = c² + m² — 2cm
	a² = b² — m² + c² + n² — 2cm
	a² = b² + c² — 2cm

y como

$m=b\: cos\, A$

tenemos que

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\: cos\, A$

(26)

Segundo caso: El triángulo es obtusángulo (fig. inferior);

$a^{2}=h^{2}+m^{2}$

	$h^{2}=b^{2}-n^{2}\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: m=c+n$
	n² = ( c — m )² = c² + m² — 2cm
	$a^{2}=b^{2}-n^{2}+c^{2}+n^{2}+2cn$
	$a^{2}=b^{2}+c^{2}+2cn$

n² = ( c — m )² = c² + m² — 2cm

y como

$n=b\: cos\, DAC$

y siendo suplementarios los ángulos en A, tenemos:

$cos\, DAC=-cos\: A$

luego

$AD=-b\: cos\, A$

tenemos que

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\: cos\, A$

(26)

Y como se puede tomar por base cualquier lado del triángulo podemos establecer las relaciones siguientes:

	$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\, cos\, A$
	$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ab\: cos\, B$	(26)
	$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\: cos\, C$

II.- Casos de resolución de triángulos cualesquiera

Primer caso.- Resolver un triángulo conociendo el lado c y los ángulos A y B adyacentes.

tenemos

$C=180^{0}-(A+B)$

Y según el teorema de los senos:

$\frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}=\frac{c}{sen\, C}$

tendremos:

$a=\frac{c\: sen\, A}{sen\, C}\: \: \: \textrm{y}\: \: \: \frac{c\: sen\, B}{sen\, C}$

Segundo caso.- Dados los lados a y b y el ángulo A opuesto al primero, calcular el lado c y los ángulos B y C.

Por el terorema de los senos tenemos:

$\frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}=\frac{c}{sen\, C}$

de donde

$sen\: B=\frac{b\: sen\, A}{a}$

$C=180^{0}-(A+B)$

finalmente

$c=\frac{a\: sen\, C}{sen\, A}$

Nota.- El ángulo B viene dado por su seno, por tanto B puede tener dos valores entre sí suplementarios.

Si A < 90º: Podemos tener que a > b o que a = b, en estos dos casos B será agudo porque B ≤ A.
Si a > b hay dos soluciones, B será agudo y suplementario.

Tercer caso.- Resolver un triángulo conociendo los lados a y b y el ángulo comprendido C.

$A+B=180^{0}-C$

por tanto:

$\frac{1}{2}(A+B)=90^{0}-\frac{C}{2}$

Para hallar la semidiferencia aplicamos el teorema de los senos y una de las propiedades de las proporciones.

$\frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, b}$

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{sen\, A+sen\, B}{sen\, A-sen\, B}$

Aplicando la fórmula de Neper o de la tangentes, tenemos:

$\frac{sen\, A+sen\, B}{sen\, A-sen\, B}=\frac{tg\frac{1}{2}(A+B)}{tg\frac{1}{2}(A-B)}$

de donde:

$tg\frac{1}{2}(A-B)=\frac{a-b}{a+b}\, tg\frac{1}{2}(A+B)$

Conocida esta tangente podemos hallar el vlaor del ángulo (A – B)/2. Y combinando por sumas y resta las fracciones (A + B)/2 y (A – B)/2 tendremos los ángulos A y B

Conociendo A y B se halla el valor de c por el teorema de los senos.

Cuarto caso.- Conociendo tres lados resolver el triángulo.

Los ángulos se hallan mediante teorema del coseno:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\: cos\, A$

$cos\, A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

(27)

Esta fórmula NO puede emplearse utilizando logaritmos, para poder, se hacen unas transformaciones quedando así:

$tg\, \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}$

(28)

$tg\, \frac{B}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{p(p-b)}}$

(29)

$tg\, \frac{C}{2}=\sqrt{\frac{(p-a(p-b))}{p(p-c)}}$

(30)

siendo p = perímetro.

Área del triángulo.-Es igual al semiproducto de dos lados por el seno del ángulo que forman.

En la figura anterior tenemos:

$S=\frac{1}{2}\, c\, .\, CD$

pero

$CD=b\: sen\, A$

luego

$S=\frac{1}{2}\, cb\: sen\, A$

(31)

Primer caso.- Se conoce el lado c y los ángulos adyacentes A y B.

tenemos:

$CD=b\: sen\, A$

pero

$b=\frac{c\, sen\, B}{sen\, C}=\frac{c\: sen\, B}{sen\, (A+B)}$

El ángulo C es suplementario con la suma A + B.

luego

$S=\frac{c^{2}\: sen\, A\: sen\, B}{2\: sen\, (A+B)}$

Segundo caso.- Se conocen los lados a y b y el ángulo A.

Empleamos la fórmula (31) después de haber calculado C.

$S=\frac{ab\: sen\, C}{2}$

Tercer caso.- Se conocen los lados b y c y el ángulo comprendido.

Fórmula (31)

$S=\frac{1}{2}\, cb\: sen\, A$

Cuarto caso.- Conocinendo los tres lados.

Su fórmula también es:

$S=\frac{1}{2}\, cb\: sen\, A$

pero

$sen\: A=2\: sen\, \frac{A}{2}\, cos\, \frac{A}{2}$

(14′)

luego

$\bg_black S=bc\: sen\frac{A}{2}\, cos\frac{A}{2}$

(1)

Pero sabemos ya que:

$sen\, \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1-cos\, A}{2}}\: \: \: ;\: \: \: cos\, \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1+cos\, A}{2}}$

(2)

	$\bg_black 1+cos\, A=\frac{2p\left ( p-a \right )}{bc}$

	$\bg_black 1-cos\, A=\frac{2\left ( p-b \right )\left ( p-c \right )}{bc}$

Sustituyendo en (2) nos queda:

$sen\, \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}\: \: y\: \: cos\, \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}$

Sustituyendo en (1) nos queda:

	$S=bc\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}.\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}=$

	$=bc\sqrt{\frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{b^{2}\, c^{2}}}$

	$S=\sqrt{p\, (p-a)(p-b)(p-c)}$	(32)

Ejemplos de resolución de triángulos oblicuángulos

Primer caso: Se conocen dos ángulos y el lado común a ambos.

Datos: $\left\{\begin{matrix} a=117,20 m.\\ B=123^{0}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ A=32^{0}\, 57'\: \: \: \: \: \: \: \end{matrix}\right.$

Incógnitas: $\left\{\begin{matrix} C\\ b\\ c \end{matrix}\right.$

$C=180^{0}-(A+B)=180^{0}-(32^{0}\, 57'+123^{0})=24^{0}\, 3'$

$b=\frac{a\: sen\, B}{sen\, A}\: \: \: ;\: \: \: c=\frac{a\: sen\, C}{sen\, }$

$S=\frac{1}{2}\, a^{2}\: \frac{sen\, B\: sen\, C}{sen\, }$

Solución: b = 180,715 m. c = 87,814 m. S = 4315,72 m²

Segundo caso: Se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

Datos: $\left\{\begin{matrix} a=105\: m.\\ b=110\: m.\\ A=58^{0}\: \: \: \: \: \: \: \: \end{matrix}\right.$

Incógnitas: $\left\{\begin{matrix} C\\ B\\ c \end{matrix}\right.$

$sen\, B=\frac{b\: sen\, A}{a}$

$C=180^{0}-(A+B)$

$c=\frac{a\: sen\, C}{sen\, A}$

Siendo A < 90º y a < b habrá dos soluciones:

	Soluciones:
B₁ = 62º 40′ 37″		B₂ =117º 19′ 24″
C₁ =59º 19′ 23″		C₂ =4º 40′ 37″
c = 106,49 m.		c = 10,09
S = 4966,91 m²		S = 470,86 m²

Tercer caso: Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

Datos: $\bg_black \left\{\begin{matrix} a=167 m.\\ \\ b=145 m.\\ \\ C=54^{0} \: \: \: \: \end{matrix}\right.$

Incógnitas: $\left\{\begin{matrix} A\\ B\\ c \end{matrix}\right.$

El lado c lo podemos hallar usando el teorema del coseno:

$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2bc\: cos\, C}$

Los ángulos restantes los podemos averiguar a partir del teorema del coseno:

$\frac{a}{sen\, A}=\frac{c}{sen\, C}\: \: \: ;\: \: \: sen\, A=\frac{a\: sen\, C}{c}$

$\frac{b}{sen\, B}=\frac{c}{sen\, C}\: \: \: ;\: \: sen\, B=\frac{b\: sen\, C}{c}$

$S=\, \frac{1}{2}\, ab\: sen\: C$

Colocando valores dados y efectuando las operaciones resulta:

Solución: A = 70º 52′ ; B = 55º 7′ ; c = 143 m. ; S = 9795,18 m²

Cuarto caso: Se conocen los tres lados.

Datos: $\left\{\begin{matrix} a=75\: m.\: \: \\ b=92\: m.\: \: \\ c=107\: m. \end{matrix}\right.$

Incógnitas: $\left\{\begin{matrix} A\\ B\\ C \end{matrix}\right.$

Despejando en el teorema del coseno tendremos:

	$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\: cos\, A\: \: ;\: \: cos\, A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

	$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\: cos\, B\: \: \: ;\: \: \: cos\, B=\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}$

	$\bg_black c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\: cos\, C\: \: ;\: \: cos\, C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Otra forma de resolver este caso es usando las fórmulas del ángulo medio y siendo p el semiperímetro del triángulo.

	$sen\, \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}$

	$sen\, \frac{B}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{ac}}$

	$sen\, \frac{c}{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{ab}}$

También se puede utilizar:

	$cos\, \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}$

	$cos\, \frac{B}{2}=\sqrt{\frac{p(p-b)}{ac}}$

	$cos\, \frac{C}{2}=\sqrt{\frac{p(p-c)}{ab}}$

Para hallar la superficie utilicemos:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Colocando valores dados y efectuando las operaciones resulta:

Solución: A = 43º 28′ ; B = 57º 33′ ; C = 78º 58′ ; S = 3386,29 m²

Problemas de aplicación

Para resolver cualquir ejercicios de triángulos oblicuangulos usaremos las herramienta vistas anteriormente, que son:

Ley de los senos

Ley de los cosenos

$\frac{a}{sen\, A}=\frac{b}{sen\, B}=\frac{c}{sen\, C}$

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\: cos\, A$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\: cos\, B$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\: cos\, C$

Suma de los ángulos interiores de un triángulo

$A+B+C=180^{0}$

Con respecto al área tenemos al menos dos fórmula para hallarla.

$A=\frac{ab}{2}\, sen\, C$

Siendo el ángulo C el formado por los dos lados que aparecen en la fórmula

$A\Delta =\sqrt{p(p-a)(p-b))(p-c)}$

Siendo p el semiperímetro de los lados del triángulo

Ejercicio 1.- Tenemos una parcela triangular con los datos de la figura. Calcular el triángulo.

En este caso tenemos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

Aplicamos la lay de los cosenos y tenemos:

$c^{2}=5^{2}+13^{2}-2.5.13.\, cos\, 41,7^{0}$

$c^{2}=194-(130.\, 0,7466)$

$c^{2}=194-97,06$

$c^{2}=96,94$

$c=9,84\: m.$

Para calcular el valor de uno cualquiera de los otros dos ángulos recurrimos al teorema de los senos.

$\frac{a}{sen\, a}=\frac{c}{sen\, 41,7^{0}}$

$sen\, A=\frac{5\: sen\, 41,7^{0}}{9,84}$

$sen\, A=\frac{5.\: 0,6652}{9,84}$

$sen\: A=0,327\textrm{7}$

$A=19,13^{0}$

Para conoce el valor del ángulo B aplicamos la propiedad de los ángulos interiores de un triángulo.

$B+41,7^{0}+19,13^{0}=180$

$B=180^{0}-60,83^{0}$

$B=119,17^{0}$

Para conocer la superficie basta con utilizar una de las fórmulas dadas anteriormente, tendremos:

$A\Delta =\frac{ab}{2}\: sen\, C$

$A\Delta =\frac{5.13}{2}\, sen\, 41,7^{0}$

$A\Delta =21,619\, m^{2}$

Solución: c = 9,84 m. A = 19,13⁰ B = 119,17⁰ S = 21,619 m²

Ejercicio 1.- Resolver el triángulo de la figura inferior.

En este caso conocemos dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos.

$A=180^{0}-(52^{0}\, 21'+29^{0}\, 30')$

$A=98^{0}\, 9'$

Calculamos el lado b.

$\frac{b}{sen\, 52^{0}\, 21'}=\frac{24,80}{sen\, 29^{0}\, 30'}$

$b=\frac{24,80\: sen\, 52^{0}\, 21'}{sen\, 29^{0}30'}$

$b=39,88$

Calculamos el lado a, podemos aplicar el teorema del seno o del coseno, aplicamos el del seno.

$\frac{a}{sen\, 98^{0}\, 9'}=\frac{b}{sen\, 52^{0}\, 21'}$

$a=\frac{39,88\: sen\, 98^{0}\, 9'}{sen\: 52^{0}\, 21'}$

$a=49,86$

Solución: A = 98º 9′ b = 39,88 m. a = 49,86 m.

Ejercicio 2.- Resolver el triángulo de la figura inferior.

En este caso conocemos los tres lados.

Calculamos el ángulo A haciendo uso del teorema del coseno.

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\: cos\, A$

$169=16+225-120\: cos\, A$

$-72=-120\: cos\, A$

$cos\, A=\frac{-72}{-120}$

$cos\, A=0,6$

$A=53^{0}\, 8'$

De igual manera calculamos el ángulo B.

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\: cos\, B$

$16=169+225-390\: cos\, B$

$-378=-390\: cos\, B$

$cos\, B=\frac{-378}{-390}$

$cos\, B=0,969$

$B=14^{0}\, 18'$

Para calcular el ángulo C.

$C=180^{0}-53^{0}\, 8'-14^{0}\, 18$

$`C=112^{0}\, 34$

Solución: A = 53º 9′ B = 14º 18 C = 112º 34′