Resolución gráfica de la ecuación de primer grado

La resolución gráfica de la ecuación de primer grado consiste en representar una ecuación lineal en el plano cartesiano y obtener su solución a partir de su gráfica. Este método es especialmente útil para visualizar ecuaciones y sistemas de ecuaciones en ESO y Bachillerato.

Sistema cartesiano o plano de representación

Para situar un punto en un plano se tazan dos rectas perpendiculares, a las que se dan el nombre de ejes cartesianos, concepto que necesitamos saber para entender la resolución gráfica de la ecuación de primer grado

Ejes cartesianos.

Eje de abscisas (eje x) recta horizontal.
Eje de ordenadas (eje y) recta vertical.
Origen de coordenadas (o) es el punto donde se cortan ambos ejes.

Coordenadas de un punto:

Abscisa de un punto es la distancia al eje de ordenadas.
Ordenada de un punto es la distancia al eje de abscisas.

Un punto se escribe como P(x, y), donde:

• x es la abscisa.
• y es la ordenada

Si un punto tiene abscisa 2 y ordenada 3, se escribe:

$P (2, 3)$

La distancia de un punto a una recta se obtiene trazando una perpendicular desde dicho punto a la recta.

Signo de las coordenadas de un punto.

• Las abscisas son positivas la derecha del eje Y, negativas cuando están a su izquierda.
• Las ordenadas son positivas por encima del eje X, negativas cuando están debajo.

Puntos sobre los ejes.

• Sobre el eje X → ordenada 0.
• Sobre el eje Y → abscisa 0.
• El origen → (0, 0)

En la figura anterior tenemos:

La abscisa de P es NP = OM
La ordenada de P es MP =ON

Puntos sobre los ejes.-
1.º Los puntos sobre el eje de abscisas tienen ordenada nula, son nulos los puntos E y G de la figura siguiente.
2.º Los puntos sobre el eje de ordenadas tienen abscisa nula, son nulos los puntos F y H de la figura siguiente.
3.º El origen O tiene las coordenadas nulas.

Aplicación. Hallar las coordenadas de los puntos A, B, C, D, E, F, G. Tómese como unidad el lado del cuadradito.

Respuesta:
A(2,3), B(-3,4), C(-4,-2), D(1,-3), E(3,0), F(0,5), G(-2,0), H(0,4)

Representación gráfica de una ecuación

Se llama representación gráfica de una ecuación al conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen dicha ecuación.

Procedimiento general

Se dan valores a la variable independiente (x).
Se calculan los valores correspondientes de y.
Cada par (x, y) determina un punto.
Al unir los puntos se obtiene la gráfica.

Función de primer grado.

Una función de primer grado tiene la forma:

$\large y=ax+b$

• Su gráfica es una recta.
• El número a indica la pendiente.
• El número b es la ordenada en el origen.

Ejemplo:

$\large y=2x-1$

Damos valores a x, enteros y consecutivos para obtener los puntos A, B, C, D..

Unimos A con B, B con C, C con D….Por A, B, C,…. Trazamos AM, BN, CP,… paralelas al eje Ox.

Los triángulos rectángulos así formados son iguales, por tanto son también iguales los ángulos agudos BAM, CBN, DCP,… y como tienen la disposición de ángulos correspondientes, los puntos A, B, C, D,… están en línea recta.

Casos particulares de rectas.

1.º La recta pasa por el origen.

$y = a x$

2.º Recta paralela al eje X.

$y = b$

3.º Recta es paralela al eje Y.

$x = c$

Construcción práctica.- Como la gráfica es una línea recta basta con calcular dos puntos. El cuadro queda reducido a dos valores que pueden ser los correspondientes a x=0 y a y=0.

Ejemplos: Hallar las gráficas de :

$\large y=3x$