Operaciones con arcos

Operaciones con arcos.

En este tema aprenderemos las cuatro operaciones básicas que podemos realizar con los arcos de circunferencias, tales son: Suma, resta multiplicación y división.

Adición y sustracción de arcos.

Fórmula de sen ( a + b ).- Llevemos consecutivos los ángulos a y b cuya suma es el ángulo AOC < 90º.

En la figura vemos que el ángulo   CFG = a   por tener sus lados perpendiculares y que:

\large sen(a+b)=DC=EF+FG\: \: \: (1)

En el triángulo OEF tenemos:

\large EF=OF\: sen\, a=cos\, b\: sen\, a

En el triángulo FGC tenemos:

\large FG=CF\: cos\, a=sen\, b\: cos\, a

Sustituyendo en (1) tenemos:

\large sen(a+b)=sen\, a\: cos\, b+cos\, a\: sen\, b\: \: \: [8]

Fórmula del cos ( a + b ).- Según la misma figura tenemos:

\large cos(a+b)=OD=OE-DE\: \: \: (1)

En el triángulo OEF tenemos:

\large OE=OF\: cos\, a=cos\, b\,cos\, a

En el triángulo FGC tenemos:

\large DE=CF\: sen\, a=sen\, b\: sen\, a

Sustituyendo en (1) tenemos:

\large cos(a+b)=cos\, a\: cos\, b-sen\, a\: sen\, b\: \: \: [9]

Fórmula del sen ( a – b ).- En la fórmula [8] sustituimos b por (– b) teniendo en cuenta que:

\large cos(-b)=cos\, b\: \: \: ;\: \: \: sen(-b)=-sen\, b
\large sen[a+(-b)]=sen\, a\: cos(-b)+cos\, a\: sen(-b)
\large sen(a-b)=sen\, a\: cos\, b-cos\, a\: sen\, b\: \: \: [10]

Fórmula de cos ( a – b ).- En la fórmula [9] sustituimos b por (– b) teniendo en cuenta que:

\large cos(-b)=cos\, b\: \: \: ;\: \: \: sen(-b)=-sen\, b
\large cos[a+(-b)]=cos\, a\: cos(-b)-sen\, a\: sen(-b)
\large cos(a-b)=cos\, a\: cos\, b+sen\, a\: sen\, b\: \: \: [11]

Ejemplo.- Conocidos el seno y coseno de 45º, el seno y coseno de 30º hallar el seno y coseno de 75º y de 15º.

Tenemos:     75 = 45+ 30           ;          15 = 45 – 30

\large sen\, 45^{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}\: \: ;\: \:cos\, 45^{0}= \frac{\sqrt{2}}{2}
     \large sen\, 30^{0}=\frac{1}{2}\: \: ;\: \: cos\, 30^{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}

Aplicando las fórmulas [8], [9], [10] y [11] tendremos:

  \large sen\, 75^{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}\: \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\: \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
\large cos\, 75^{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\, \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
\large sen\, 15^{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}\, \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\, \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
\large cos\, 15^{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}\, \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\, \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

Tg ( a + b ) y tb ( a – b ) en función de   tg a   y   tg b.

\large tg(a+b)=\frac{sen(a+b)}{cos(a+b)}

reemplazamos   sen( a +b )   y   cos( a + b )   por sus valores:

\large tg(a+b)=\frac{sen\, a\: cos\, b+cos\, a\: sen\, b}{cos\, a\: cos\, b-sen\, a\: sen\, b}

dividamos el numerador y el denominador del 2º miembro por   cos a . cos b:

Simplificando resulta:

\large tg(a+b)=\frac{tg\, a+tg\, b}{1-tg\, a\: tg\, b}\: \: \: [12]

Aplicando esta fórmula a los arcos   a   y   —b,   nos dará:

\large tg(a-b)=\frac{tg\, a-tg\, b}{1+tg\, a\: tg\, b}\: \: \: [13]

Ejemplo.- Conociendo las tangentes de 45º y 30º, hallar las de 75º y 15º.

\large tg\, 45^{0}=1\: \: \: ;\: \: \: tg\, 30^{0}=\frac{\sqrt{3}}{3}

llevándolos a las fórmulas (12) y (13) tendremos:

\large tg\, 75^{0}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-1(\frac{\sqrt{3}}{3})}=\frac{\frac{3+\sqrt{3}}{3}}{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}
\large tg\, 15^{0}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+1(\frac{\sqrt{3}}{3})}=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}

Multiplicación y división de arcos.

Seno, coseno y tangente del duplo de un ángulo.- Si en las fórmulas (8), (9) y (12) hacemos   a = b   tendremos:

\large sen(a+a)=sen\, a\: cos\, a+cos\, a\: sen\, a
\large sen\, 2a=2\, sen\, a\: cos\, a\: \: \: [14]
\large cos(a+a)=cos\, a\: cos\, a-sen\, a\: sen\, a
\large ccos\, 2a=cos^{2}\, a-sen^{2}\, a\: \: \: [15]
\large tg(a+a)=\frac{tg\, a+tg\, a}{1-tg\, a\: tg\, a}
\large tg\, 2a=\frac{2 tg\, a}{1-tg\, 2a}\: \: \: [16]

Seno, coseno y tangente de la mitad de un ángulo.- En las igualdades anteriores sustituimos   a   por   2a.

\large sen\, a=2\, sen\frac{a}{2}\: cos\frac{a}{2}\: \: \: [14']
\large cos\, a=cos^{2}\, \frac{a}{2}-sen^{2}\, \frac{a}{2}\: \: \: [15']
\large tg\, a=\frac{2\, tg\, \frac{a}{2}}{1-tg^{2}\, \frac{a}{2}}\: \: \: [16']

Calcular seno, coseno y tangente de a / 2 en función del coseno de a.

Tenemos (1):

\large cos^{2}\, \frac{a}{2}-sen^{2}\, \frac{a}{2}=1

De [15′] tenemos:

\large cos^{2}\, \frac{a}{2}+sen^{2}\, \frac{a}{2}=cos\, a

Sumamos primero y restamos después miembro a miembro :

\large 2\, cos^{2}\, \frac{a}{2}=1+cos\, a\: \: ;\: \: 2\, sen^{2}\, \frac{a}{2}=1-cos\, a

despejando en cada una:

\large cos\, \frac{a}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+cos\, a}{2}}\: \: \: [17]
\large sen\, \frac{a}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cos\, a}{2}}\: \: \: [18]

Y dividiendo miembro a miembro estas dos igualdades:

\large tg\, \frac{a}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cos\, a}{1+cos\, a}}\: \: \: [19]

Transformación en producto de la suma y diferencia de dos senos y de dos cosenos.

a)

  \large \: \: [8]:\: sen(a+b)=sen\, a\: cos\, b+cos\, a\: sen\, b
\large [10]:\: sen(a-b)=sen\, a\: cos\, b-cos\, a\: senb

Sumando y restando sucesivamente da:

\large sen(a+b)+sen(a-b)=2\, sen\, a\: cos\, b
\large sen(a+b)-sen(a-b)=2\, cos\, a\: sen\, b

b)

  \large [9]:\: cos(a+b)=cos\, a\: cos\, b-sen\, a\: sen\, b
\large [11]:\: cos(a-b)=cos\, a\: cos\, b+sen\, a\: sen\, b

sumando y restando sucesivamente da:

\large cos(a+b)+cos(a-b)=\: \: \: \: 2\, cos\, a\: cos\, b
    \large cos(a+b)-cos(a-b)=-2\, sen\, a\: sen\, b

Hagamos    a + b = s    y    a – b = d y tendremos:

\large a=\frac{s+b}{2}\: \: \: ;\: \: \: b=\frac{s-d}{2}
  \large sen\, s+sen\, d=2\, sen\, \frac{s+d}{2}\: cos\, \frac{s-d}{2}\: \: \: [20]
\large sen\, s-sen\, d=2\, cos\, \frac{s+d}{2}\, sen\, \frac{s-d}{2}\: \: \: [21]
\large cos\, s+cos\, d=2\, cos\, \frac{s+d}{2}\, cos\, \frac{s-d}{2}\: \: \: [22]
      \large cos\, s-cos\, d=-2\, sen\, \frac{s+d}{2}\, sen\, \frac{s-d}{2}\: \: \: [23]

Lo cual, en lenguaje ordinario, se expresa diciendo:

La suma de los senos de dos arcos es igual al doble producto del seno de la semisuma de los arcos por el coseno de la semisuma de la diferencia.

Lo mismo se enuncian las otras tres.

Fórmula de Neper o de las tangentes.

Dividiendo miembro a miembro las fórmulas [20] y [21] tenemos la fórmula [24]:

Y como cotangente es la inversa de la tangente, podemos decir que :

La suma de los senos de dos arcos es a su diferencia como la tangente de la semisuma de los arcos es a la tangente de la semidiferencia de los arcos.

Ejemplos:

5.- Conociendo que   seno 18º = 0,3090, cos 18º = 0,9511 y tg 18º = 0,3249   hallar el seno, coseno y tangente de 36º

\large sen\, 36^{0}=2\, sen\, 18^{0}\, cos\, 18^{0}=0,5878
\large cos\, 36^{0}=cos^{2}\, 18^{0}-sen^{2}\, 18^{0}=0,8091
\large tg\, 36^{0}=\frac{2\, tg\, 18^{0}}{1-tg^{2}\, 18^{0}}=\frac{2\, .\, 0,3249}{1-0,3249^{2}}=0,7265

Solución:   sen 36º= 0,5878   cos 36º = 0,8091   tg 36º = 0,7265

Siendo cos 18º = 0,8511 calcular sen, cos, y tg de 9º.

\large sen\, 9^{0}=\sqrt{\frac{1-cos\, 18^{0}}{2}}=\sqrt{\frac{1-0,9511}{2}}=0,1564
\large cos\, 9^{0}=\sqrt{\frac{1+cos\, 18^{0}}{2}}=\sqrt{\frac{1+0,9511}{2}}=0,9877
\large tg\, 9^{0}=\frac{sen\, 9^{0}}{cos\, 9^{0}}=0,1584

Practique con algunos ejercicios…

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