Operaciones con arcos

I.- Adición y sustacción de arcos

Fórmula de sen ( a + b ).- Llevemos consecutivos los ángulos a y b cuya suma es el ángulo AOC < 90º.

En la figura vemos que el ángulo   CFG = a   por tener sus lados perpendiculares y que:

  sen(a+b)=DC=EF+FG (1)
  En el   \Delta \, OEF:    
  EF=OF.\, sen\, a=cos\, b\, .\, sen\, a  
  En el   \Delta \, FGC:    
  FG=CF\, .\, cos\, a=sen\, b\, .\, cos\: a  

Sustituyendo en (1) tenemos:

  sen(a+b)=sen\, a\:\, cos\, b+cos\, a\: \, sen\, b (8)

Fórmula del cos ( a + b ).- Según la misma figura tenemos:

  cos(a+b)=OD=OE-DE  
  En el   \Delta \, OEF:    
  OE=OF.\, cos\, a=cos\, b\, .\, sen\, a  
  En el   \Delta \, FGC:    
  DE=CG=CF.\, sen\, a\, =sen\, b\: \, sen\, a  

Sustituyendo en (1) tenemos:

  cos(a+b)=cos\, a\: \, cos\, b-sen\, a\: \, sen\, b (9)

Fórmula del sen ( a – b ).- En la fórmula (8) sustituimos b por (– b) teniendo en cuenta que:

  cos(-b)=cos\, b\: \: \: \: \: \textrm{y\: que}\: \: \: \: \: sen(-b)=-sen\, b  
  sen\left [a+(-b) \right ]=sen\, a\: \, cos(-b)+cos\, a\: \, sen(-b)  
  sen(a-b)=sen\, a\: \, cos\, b-cos\, a\: \, sen\, b (10)

Fórmula de cos ( a – b ).- En la fórmula (9) sustituimos b por (– b) teniendo en cuenta que:

  cos(-b)=cos\, b\: \: \: \: \: \textrm{y\: que}\: \: \: \: \: sen(-b)=-sen\, b  
  cos\left [ a+(-b) \right ]=cos\, a\: \, cos(-b)-sen\, a\: \, sen(-b)  
  cos(a-b)=cos\, a\: \, cos\, b+sen\, a\: \, sen\, b (11)

Ejemplo.- Conocidos el seno y coseno de 45º, el seno y coseno de 30º hallar el seno y coseno de 75º y de 15º.

Tenemos:     75 = 45+ 30           ;          15 = 45 – 30

  sen\, 45^{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: cos\, 45^{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}  
     
  sen\, 30^{0}=\frac{1}{2}\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: cos\, 30^{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}  

Aplicando las fórmulas anteriores tendremos:

  sen\, 75^{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}\, .\, \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\, .\, \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}  
     
  cos\, 75^{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}\, .\, \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\, .\, \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}  
  sen\, 15^{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}\, .\, \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\, .\, \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}  
     
  cos\, 15^{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}\, .\, \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\, .\, \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}  

Tg ( a + b ) y tb ( a – b ) en función de   tg a   y   tg b.

  tg(a+b)=\frac{sen(a+b)}{cos(a+b)}  

reemplazamos   sen( a +b )   y   cos( a + b )   por sus valores:

  tg(a+b)=\frac{sen\, a\: \, cos\, b+cos\, a\: \, sen\, b}{cos\, a\: \, cos\, b-sen\, a\: \, sen\, b}  

dividamos el numerador y el denominador del 2º miembro por   cos a . cos b:

  tg(a+b)=\frac{\frac{sen\, a\: \, cos\, b}{cos\, a\: \, cos\, b}+\frac{cos\, a\: \, sen\, b}{cos\, a\: \, cos\, b}}{\frac{cos\, a\: \, cos\, b}{cos\, a\: \, cos\, b}+\frac{sen\, a\: \, sen\, b}{cos\, a\: \, cos\, b}}  

Simplificando resulta:

  tg(a+b)=\frac{tg\, a+tg\, b}{1-tg\, a\, .\, tg\, b} (12)

Aplicando esta fórmula a los arcos   a   y   —b,   nos dará:

  tg(a-b)=\frac{tg\, a-tg\, b}{1+tg\, a\: \, tg\, b} (13)

Ejemplo.- Conociendo las tangentes de 45º y 30º, hallar las de 75º y 15º.

  tg\, 45^{0}=1\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: tg\, 30=\frac{\sqrt{3}}{3}  

llevándolos a las fórmulas (12) y (13) tendremos:

  tg\, 75^{0}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-1\, .\, \frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{\frac{3+\sqrt{3}}{3}}{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}  
  tg\, 15^{0}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+1\, .\, \frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}  

II.- Multiplicación y división de arcos

Seno, coseno y tangente del duplo de un ángulo.- Si en las fórmulas (8), (9) y (12) hacemos   a = b   tendremos:

  sen(a+a)=sen\, a\: \, cos\, a+cos\, a\: \, sen\, a  
  sen\, 2a=2\, sen\, a\, .\, cos\, a (14)
  cos(a+a)=cos\, a\: \, cos\, a-sen\, a\: \, sen\, a  
  cos\, 2a=cos^{2}a-sen^{2}a (15)
  tg(a+a)=\frac{tg\, a+tg\, a}{1-tg\, a\: \, tg\, a}  
  tg2a=\frac{2tg\, a}{1-tg^{2}a} (16)

Seno, coseno y tangente de la mitad de un ángulo.- En las igualdades anteriores sustituimos   a   por   2a.

  sen \, a=2\, sen\frac{a}{2}\, .\, cos\frac{a}{2} (14′)
  cos\, a=cos^{2}\, \frac{a}{2}-sen^{2}\, \frac{a}{2} (15′)
  tg\, a=\frac{2\, tg\, \frac{a}{2}}{1-tg^{2}\, \frac{a}{2}} (16′)

Calcular seno, coseno y tangente de a / 2 en función del coseno de a.

Tenemos (1) cos^{2}\, \frac{a}{2}-sen^{2}\, \frac{a}{2}=1  
de (15′) cos^{2}\, \frac{a}{2}+sen^{2}\, \frac{a}{2}=cos\, a  

Sumamos primero y restamos después miembro a miembro :

  2\, cos^{2}\, \frac{a}{2}=1+cos\, a\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: 2\, sen^{2}\, \frac{a}{2}=1-cos\, a  

despejando en cada una:

  cos\, \frac{a}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+cos\, a}{2}} (17)
  sen\, \frac{a}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cos\, a}{2}} (18)

Y dividiendo miembro a miembro estas dos igualdades:

  \frac{sen\, a}{cos\, a}=\frac{\pm \sqrt{\frac{1-cos\, a}{2}}}{\pm \sqrt{\frac{1+cos\, a}{2}}}  
  tg\, \frac{a}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cos\, a}{1+cos\, a}} (19)

Transformación en producto de la suma y diferencia de dos senos y de dos cosenos.

de    (8): sen(a+b)=sen\, a\:\, cos\, b+cos\, a\: \, sen\, b  
de  (10): sen(a-b)=sen\, a\: \, cos\, b-cos\, a\: \, sen\, b  

Sumando y restando sucesivamente da:

  sen(a+b)+sen(a-b)=2\, sen\, a\, \: cos\, b  
  sen(a+b)-sen(a-b)=2\, cos\, a\: \, sen\, b  
de   (9): cos(a+b)=cos\, a\: \, cos\, b-sen\, a\: \, sen\, b  
de (11): cos(a-b)=cos\, a\: \, cos\, b+sen\, a\: \, sen\, b  

sumando y restando sucesivamente da:

   cos(a+b)+cos(a-b)=\: \, 2cos\, a\: \, cos\, b  
  cos(a+b)-cos(a-b)=-2\, sen\, a\: \, sen\, b  

Hagamos    a + b = s    y    a – b = d

  a=\frac{s+d}{2}\: \: \: \: \: \textrm{y}\: \: \: \: \: b=\frac{s-d}{2}   
luego: sen\, s+sen\, d=2\, sen\, \frac{s+d}{2}\, cos\frac{s-d}{2}  (20)
  sen\, s-sen\, d=2\, cos\, \frac{s+d}{2}\, sen\, \frac{s-d}{2}  (21)
  cos\, c+cos\, d=2\, cos\, \frac{s+d}{2}\, cos\, \frac{s-d}{2}  (22)
  cos\, s-cos\, d=-2\, sen\, \frac{s+d}{2}\, sen\, \frac{s-d}{2}  (23)

Lo cual, en lenguaje ordinario, se expresa diciendo:

La suma de los senos de dos arcos es igual al doble producto del seno de la semisuma de los arcos por el coseno de la semisuma de la diferencia.

Lo mismo se enuncian las otras tres.

Fórmula de Neper o de las tangentes.- Dividiendo miembro a miembro las f´rmulas (20) y (21) tenemos:

  \frac{sen\, s+sen\, d}{sen\, s-sen\, d}=  
     
  = 2\, sen\frac{s+d}{2}.cos\frac{s-d}{2}/2\, cos\frac{s+d}{2}.sen\frac{s-d}{2}=  
     
  =tg\, \frac{s+d}{2}.cotg\, \frac{s.d}{2}  

Y como cotangente es la inversa de la tangente, podemos decir que :

  \frac{sen\, s+sen\, d}{sen\, s-sen\, d}= tg\, \frac{s+d}{2}\: \: /\: \: tg\, \frac{s-d}{2} (24)

La suma de los senos de dos arcos es a su diferencia como la tangente de la semisuma de los arcos es a la tangente de la semidiferencia de los arcos.

Ejemplos:

1.- Súmense los arcos que miden  45º 27′ 32′ ‘  y  38º 19′ 48’ ‘.

  45^{0}\: 27'\: 32''  
  38^{0}\: 19'\: 48''  
  —————–  
  83^{0}\: 46'\: 80''  

Solución:      83º 47′ 20”

2.- Hállese el complemento de un ángulos de 58º 15′ 43′ ‘.

  89^{0}\: 59'\: 60''  
  58^{0}\: 15'\: 43''  
  —————–  
  31^{0}\: 44'\: 17''  

Solución:      31º 44′ 17”

3.- Calcular el suplemento de un ángulo de 73º 42′ 28′ ‘.

  179^{0}\: 59'\: 60''  
  73^{0}\: 42'\: 38''  
  —————–  
  106^{0}\: 17'\: 32''  

Solución:      103º 17′ 32”

4.- Conociendo los ángulos   A= 25º 24′ 52′ ‘   y   B= 1743′ 6’ ‘  calcular el ángulo   C   de un triángulo.

  35^{0}\: 24'\: 52'' 179^{0}\: 59'\: 60''  
  17^{0}\: 43'\: \: 6'' 53^{0}\: \: 7'\: 58''  
  —————- —————–  
  52^{0}\: 67'\: 58'' 126^{0}\: 52'\: \: 2''  

Solución:      126º 52′ 2”

5.- Conociendo que   seno 18º = 0,3090, cos 18º = 0,9511 y tg 18º = 0,3249   hallar el seno, coseno y tangente de 36º

  sen\, 36^{0}=2\, sen\, 18^{0}\, cos\, 18^{0}=2.0,3090.0,9511=0,5878  
  cos\, 36^{0}=cos^{2}18-sen^{2}18=0,9511^{2}-0,3090^{2}=0,8091  
  tg\, 36^{0}=\frac{2\, tg\, 18^{0}}{1-tg^{2}\, 18^{0}}=\frac{2.0,3249}{1-0,3249^{2}}=0,7265  

Solución:   sen 36º= 0,5878   cos 36º = 0,8091   tg 36º = 0,7265