Operaciones con arcos

Operaciones con arcos.

En este tema se estudian las operaciones fundamentales que pueden realizarse con los arcos de circunferencia: suma, resta, multiplicación y división.

Adición y sustracción de arcos.

Fórmula del seno de la suma de dos arcos.

Fórmula de sen ( a + b )

Sean dos ángulos $a$ y $b$ consecutivos, cuya suma es el ángulo $AOC < 90^\circ$ .

En la figura vemos que el ángulo CFG = a por tener sus lados perpendiculares y que:

$\large sen(a+b)=DC=EF+FG\: \: \: (1)$

En el triángulo OEF tenemos:

$\large EF=OF\: sen\, a=cos\, b\: sen\, a$

En el triángulo FGC tenemos:

$\large FG=CF\: cos\, a=sen\, b\: cos\, a$

Sustituyendo en (1) tenemos:

$\large sen(a+b)=sen\, a\: cos\, b+cos\, a\: sen\, b\: \: \: [8]$

Fórmula del coseno de la suma.

Fórmula del cos ( a + b ).

Según la misma figura tenemos:

$\large cos(a+b)=OD=OE-DE\: \: \: (1)$

En el triángulo OEF tenemos:

$\large OE=OF\: cos\, a=cos\, b\,cos\, a$

En el triángulo FGC tenemos:

$\large DE=CF\: sen\, a=sen\, b\: sen\, a$

Sustituyendo en (1) tenemos:

$\large cos(a+b)=cos\, a\: cos\, b-sen\, a\: sen\, b\: \: \: [9]$

Fórmula del seno de la diferencia.

Fórmula del sen ( a – b )

En la fórmula [8] sustituimos b por (– b) teniendo en cuenta que:

$\large cos(-b)=cos\, b\: \: \: ;\: \: \: sen(-b)=-sen\, b$

$\large sen[a+(-b)]=sen\, a\: cos(-b)+cos\, a\: sen(-b)$

$\large sen(a-b)=sen\, a\: cos\, b-cos\, a\: sen\, b\: \: \: [10]$

Fórmula del coseno de la diferencia.

Fórmula de cos ( a – b )

En la fórmula [9] sustituimos b por (– b) teniendo en cuenta que:

$\large cos(-b)=cos\, b\: \: \: ;\: \: \: sen(-b)=-sen\, b$

$\large cos[a+(-b)]=cos\, a\: cos(-b)-sen\, a\: sen(-b)$

$\large cos(a-b)=cos\, a\: cos\, b+sen\, a\: sen\, b\: \: \: [11]$

Ejemplo.

Conocidos el seno y coseno de 45º, el seno y coseno de 30º hallar el seno y coseno de 75º y de 15º.

Tenemos: 75 = 45+ 30 ; 15 = 45 – 30

$\large sen\, 45^{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}\: \: ;\: \:cos\, 45^{0}= \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\large sen\, 30^{0}=\frac{1}{2}\: \: ;\: \: cos\, 30^{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Aplicando las fórmulas [8], [9], [10] y [11] tendremos:

$\large sen\, 75^{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}\: \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\: \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\large cos\, 75^{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\, \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Tangente de la suma y diferencia de arcos.

Tg ( a + b ) y tb ( a – b ) en función de tg a y tg b.

Por definición:

$\large tg(a+b)=\frac{sen(a+b)}{cos(a+b)}$

Sustituyendo por [8] y [9] y simplificando:

$\large tg(a+b)=\frac{tg\, a+tg\, b}{1-tg\, a\: tg\, b}\: \: \: [12]$

Aplicando esta fórmula a los arcos a y —b, nos dará:

$\large tg(a-b)=\frac{tg\, a-tg\, b}{1+tg\, a\: tg\, b}\: \: \: [13]$

Ejemplo.

Conociendo las tangentes de 45º y 30º, hallar las de 75º y 15º.

$\large tg\, 45^{0}=1\: \: \: ;\: \: \: tg\, 30^{0}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

llevándolos a las fórmulas (12) y (13) tendremos:

$\large tg\, 75^{0}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-1(\frac{\sqrt{3}}{3})}=\frac{\frac{3+\sqrt{3}}{3}}{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$

$\large tg\, 15^{0}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+1(\frac{\sqrt{3}}{3})}=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$

Multiplicación y división de arcos.

Seno, coseno y tangente del ángulo doble.

Si en las fórmulas (8), (9) y (12) hacemos a = b tendremos:

$\large sen(a+a)=sen\, a\: cos\, a+cos\, a\: sen\, a$

$\large sen\, 2a=2\, sen\, a\: cos\, a\: \: \: [14]$

$\large cos(a+a)=cos\, a\: cos\, a-sen\, a\: sen\, a$

$\large ccos\, 2a=cos^{2}\, a-sen^{2}\, a\: \: \: [15]$

$\large tg(a+a)=\frac{tg\, a+tg\, a}{1-tg\, a\: tg\, a}$

$\large tg\, 2a=\frac{2 tg\, a}{1-tg\, 2a}\: \: \: [16]$

Seno, coseno y tangente de la mitad de un ángulo.

En las igualdades anteriores sustituimos a por 2a.

$\large sen\, a=2\, sen\frac{a}{2}\: cos\frac{a}{2}\: \: \: [14']$

$\large cos\, a=cos^{2}\, \frac{a}{2}-sen^{2}\, \frac{a}{2}\: \: \: [15']$

$\large tg\, a=\frac{2\, tg\, \frac{a}{2}}{1-tg^{2}\, \frac{a}{2}}\: \: \: [16']$

Expresión de las razones del semiarco en función de cos a.

A partir de:

$\large cos^{2}\, \frac{a}{2}-sen^{2}\, \frac{a}{2}=1$

Se obtiene:

$\large cos\, \frac{a}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+cos\, a}{2}}\: \: \: [17]$

$\large sen\, \frac{a}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cos\, a}{2}}\: \: \: [18]$

$\large tg\, \frac{a}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cos\, a}{1+cos\, a}}\: \: \: [19]$

Transformación en producto.

Suma y diferencia de senos.

$\large \: \: [8]:\: sen(a+b)=sen\, a\: cos\, b+cos\, a\: sen\, b$

$\large [10]:\: sen(a-b)=sen\, a\: cos\, b-cos\, a\: senb$

Sumando y restando sucesivamente da:

$\large sen(a+b)+sen(a-b)=2\, sen\, a\: cos\, b$

$\large sen(a+b)-sen(a-b)=2\, cos\, a\: sen\, b$

Suma y diferencia de cosenos.

$\large [9]:\: cos(a+b)=cos\, a\: cos\, b-sen\, a\: sen\, b$

$\large [11]:\: cos(a-b)=cos\, a\: cos\, b+sen\, a\: sen\, b$

sumando y restando sucesivamente da:

$\large cos(a+b)+cos(a-b)=\: \: \: \: 2\, cos\, a\: cos\, b$

$\large cos(a+b)-cos(a-b)=-2\, sen\, a\: sen\, b$

Hagamos a + b = s y a – b = d y tendremos:

$\large a=\frac{s+b}{2}\: \: \: ;\: \: \: b=\frac{s-d}{2}$

$\large sen\, s+sen\, d=2\, sen\, \frac{s+d}{2}\: cos\, \frac{s-d}{2}\: \: \: [20]$

$\large sen\, s-sen\, d=2\, cos\, \frac{s+d}{2}\, sen\, \frac{s-d}{2}\: \: \: [21]$

$\large cos\, s+cos\, d=2\, cos\, \frac{s+d}{2}\, cos\, \frac{s-d}{2}\: \: \: [22]$

$\large cos\, s-cos\, d=-2\, sen\, \frac{s+d}{2}\, sen\, \frac{s-d}{2}\: \: \: [23]$

Lo cual, en lenguaje ordinario, se expresa diciendo:

La suma de los senos de dos arcos es igual al doble producto del seno de la semisuma de los arcos por el coseno de la semisuma de la diferencia.

Lo mismo se enuncian las otras tres.

Fórmula de Neper o de las tangentes.

Dividiendo miembro a miembro las fórmulas [20] y [21] tenemos la fórmula [24]:

Y como cotangente es la inversa de la tangente, podemos decir que :

La suma de los senos de dos arcos es a su diferencia como la tangente de la semisuma de los arcos es a la tangente de la semidiferencia de los arcos.

Ejemplos:

Conociendo que seno 18º = 0,3090, cos 18º = 0,9511 y tg 18º = 0,3249 hallar el seno, coseno y tangente de 36º

$\large sen\, 36^{0}=2\, sen\, 18^{0}\, cos\, 18^{0}=0,5878$