Sistemas con tres o más incógnitas

Los métodos anteriores son generales, por tanto no se pueden emplear en los sistemas con tres o más incógnitas ya que suele ser una ecuación por cada una de esas incógnitas.

Sistemas con tres o más incógnitas

Lo que se pretende siempre es hacer desaparecer una de las incógnitas para así reducir el sistema a otro que tenga una ecuación y una incógnita menos que la anterior. Esta operación se repite con las ecuaciones que vayan quedando en el sistema hasta llegar a una ecuación con una sola incógnita.

Hallado el valor de una de las incógnitas, se lleva a una de las ecuaciones anteriores en el que solo haya dos incógnitas, hallado el de estas dos se llevan a una ecuación que tenga tres incógnitas, y así sucesivamente.
Véanse estos ejemplos:

Ejemplo I: Sistema de ecuaciones con tres incógnitas, método sustitución.

\large 4x-3y+2z=9
\large 2x+5y-3z=4
  \large 5x+5y-2z=18

Despejamos x en la primera ecuación y tenemos

\large x=\frac{9+3y-2z}{4}

Sistituimos en las otras dos ecuaciones y tendremos:

\large 2\left ( \frac{9+3y-2z}{4} \right )+5y-3z=4
\large 5\left ( \frac{9+3y-2z}{4} \right )+6y-2z=18

que es igual a

    \large 9+3y-2z+10y-6z=8
\large 45+15y-10z+24y-8z=72

Estas dos últimas se transforman en estas otras:

\large 13y+\; 8z=-1\: \: \leftrightarrow \large -13y+8z=1
\large 39y-18z=24\: \: \: \leftrightarrow \large 13y-6z=9

Que restadas miembro a miembro se reducen a:

\large 2z=10\: \: ;\: \: z=5

Llevando este valor a cualquiera de la dos últimas anteriores hallaremos que y = 3, y llevando los valores y y z a una de la ecuaciones del sistema propuesto hallaremos que x = 2.

Los valores que satisfacen al sistema son:   x=2\: \: \: y=3\: \: \: z=5

Ejemplo II. Por igualación. Sea el sistema:

\large 2x-2y+3z=16
\large 3x+5y-2z=\; 6
\large 4x+5y-4z=\; 1

Despejando x en cada una de la ecuaciones, en función de la otras incógnitas, tendremos:

\large x=\frac{16+2y-3z}{2}\large x=\frac{6-5y+2z}{3}
\large x=\frac{1-5y+4z}{4}

Igualando las ecuaciones cinco a cuatro y seis tenemos

\large \frac{16+2y-3z}{2}=\frac{6-5y+2z}{3}
\large \frac{6-5y+2z}{3}=\frac{1-5y+4z}{4}

Quitando denominadores y pasando todos los términos con incógnita al primer miembro, el sistema dado se reduce a:

\large 16y-13z=-36
\large \; 5z+\; 4z=\; 21

que, resuelto por cualquiera de los métodos ordinarios, da:

\large x=3\: \: ;\: \: y=1\: \: ;\: \: z=4

Estos valores, llevados a una de las ecuaciones del sistema propuesto da 3 por valor de x.

Los valores de las incógnitas son:     x\: =\: 3\; \; \; \; \; y\: =\: 1\; \; \; \; \; z\: =\: 4

Ejemplo III. Por reducción. Sea el sistema:

\large \; x+\; y+z=11
\large 2x-\; y+z=\; 5
\large 3x-2y+z=24

Como en las tres ecuaciones el coeficiente de z es la unidad, lo más sencillo sería restar la 1ª ecuación de cada una de las otras dos y así desaparecería dicha incógnita

Pero para que se vea mejor el procedimiento a aplicar eliminaremos la x, para lo cual lo primero que se ha de hacer es igualar los coeficientes en las tres ecuaciones, esto se consigue multiplicando la primera por 6, la segunda por 3 y la tercera por 2, lo que da:

\large 6z+6y+6z=66
\large 6x-3y+3z=15
\large 6x+4y+2z=48

Restamos ahora la segunda de cada una de las otras dos:

\large 9x+3z=51
\large 7y-\; z=33

Con esto queda ya eliminada una incógnita. Para eliminar otra y reducir el sistema a una sola ecuación con una incógnita multiplicaremos la ecuación 5 por 3 y la sumamos con la cuatro:

\large 30y=150\: \: ;\: \: y=5

Llevando el valor de y a la quinta ecuación, tenemos:

\large 35-z=33\: \: ;\: \: z=2

Del mismo modo, llevando el valor de y y z a la ecuación uno, resulta:

\large x+5+2=11\: \: ;\: \: x=4

Los valores de las incógnitas son:    x=4\; \; \; \; \; y=5\; \; \; \; \; x=2

Aprenda algunos artificios

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