Sistemas con tres o más incógnitas

Los métodos utilizados en los sistemas de dos incógnitas siguen siendo válidos para sistemas con tres o más incógnitas.
La diferencia es que ahora no se pueden resolver de una sola vez, sino reduciendo progresivamente el número de incógnitas.

Idea fundamental.

En un sistema con tres o más incógnitas, el objetivo es:

1. Eliminar una incógnita, combinando ecuaciones.
2. Obtener un sistema con una incógnita menos.
3. Repetir el proceso hasta llegar a una ecuación con una sola incógnita.
4. Sustituir hacia atrás para hallar el resto de incógnitas.

Ejemplo I: Método de sustitución.
Sea el sistema:

Despejamos una incógnita.

Despejamos x en la primera ecuación:

Sustituimos en las otras dos ecuaciones:

Tras simplificar, se obtiene el sistema:

$13y–8z=–1$

$13y–6z=9$

Resolución del sistema reducido:

Sustituyendo:

$y=3$

Finalmente:

$x=2$

Los valores que satisfacen al sistema son:  

Ejemplo II: Método de igualación.
Sea el sistema:

Despejamos la misma incógnita en todas la ecuaciones :

Igualamos dos a dos:
Tras eliminar denominadores y simplificar, el sistema se reduce a:

De donde::

Los valores de las incógnitas son:    

Ejemplo III: Método de reducción.

Eliminamos una incógnita:
Igualamos los coeficientes de x multiplicando por 6 por 3 y por 2:

$6x+6y+6z=66$

Restando la segunda de cada una de las otras:

Llevando el valor de y a la quinta ecuación, tenemos:

Del mismo modo, llevando el valor de y y z a la ecuación, resulta:

Los valores de las incógnitas son:   

Conclusión.
• Resolver sistemas con tres o más incógnitas consiste en reducir el sistema paso a paso.
• Los métodos utilizados son:
    • Sustitución.
    • Igualación.
    • Reducción (el más práctico en la mayoría de los casos).
• Es fundamental ordenar bien las ecuaciones y comprobar la solución final.

Recuerda:

• En los sistemas con tres o más incógnitas siempre se elimina una incógnita para reducir el sistema.
• El objetivo es llegar paso a paso a una ecuación con una sola incógnita.
• Los métodos usados son los mismos que en dos incógnitas: sustitución, igualación y reducción.
• El método de reducción suele ser el más rápido cuando las ecuaciones están bien ordenadas.
• Una vez obtenidos los valores, comprueba la solución sustituyendo en las ecuaciones iniciales.

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