Casos particulares. (Artificios)

Ejemplo I. Sea el sistema:

\large x+y=13
\large y+z=14
\large x+z=17

Examinando el sistema, se ve que en él cada incógnita está dos veces. Luego sumando las tres ecuaciones y dividiendo la suma por 2 tendremos:

\large 2x+2y+2z=44\: \: ;\: \: x+y+z=22

Restando de ésta cada una de la tres del sistema hallaremos los valores de las incógnitas.

\large x=8\: \: ;\: \: y=5\: \: ;\: \: z=9

Ejemplo II. Sea el sistema:

\large \frac{x}3{=\frac{y}{5}}=\frac{z}{15}
\large 2x+3y-z=12

La igualdad se puede transformar en :

\large \frac{5x}{15}=\frac{3y}{15}=\frac{z}{15}\: \: ;\: \: 5x=3y=z

Despejando en la ecuación tercera x e y en función de z y llevando estos valores a la segunda:

\large \frac{2z}{5}+z-z=12\: ;\: \frac{2z}{5}=12\: ;\: z=30

Llevando este valor a la última igualdad de la ecuación tres, tendremos:

\large 3y=30\: \: ;\: \: y=10

Para el valor de x no da:

\large 5x=30\: \: ;\: \: x=6
\large x=6\: \: ;\: \: y=10\: \: ;\: \: z=30

Ejemplo III. Sea el sistema:

\large \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}
\large \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{20}
\large \frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{15}

Reemplazamos:

\large \frac{1}{x}=x'\: \: ;\: \: \frac{1}{y}=y'\: \: ;\: \: \frac{1}{z}=z'
\large x'+y'=\frac{1}{12}\: \: ;\: \: y'+z'=\frac{1}{20}\: \: ;\: \: x'+z'=\frac{1}{15}

Sumando miembro a miembro, tendremos:

\large 2x'+2y'+2z'=\frac{1}{5}\: ;\: x'+y'+z'=\frac{1}{10}

Restando de ésta cada una de las tres últimas resulta:

\large z'=\frac{1}{60}\: \: ;\: \: y'=\frac{1}{30}\: \: ;\: \: x'=\frac{1}{20}
\large x=20\: \: ;\: \: y=30\: \: ;\: \: z=60

Ejemplo IV. Sea el sistema:

\large \frac{xy}{x+y}=\frac{12}{5}
\large \frac{yz}{y+z}=\frac{18}{5}
\large \frac{xz}{x+z}=\frac{36}{13}

Si las invertimos, tenemos:

\large \frac{xy}{x+y}=\frac{12}{5}\Rightarrow \frac{x+y}{xy}=\frac{5}{12}
\large \frac{yz}{y+z}=\frac{18}{5}\Rightarrow \frac{y+z}{yz}=\frac{5}{18}
\large \frac{xz}{x+z}=\frac{36}{13}\Rightarrow \frac{x+z}{xz}=\frac{13}{36}

Efectuando las divisiones de los primeros miembros de estas últimas tenemos:

\large \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{12}
\large \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{5}{18}
\large \frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{13}{36}

queda como el ejemplo III. Resolviendo queda:

\large x=4\: \: ;\: \: y=6\: \: ;\: \: z=9

Practique con algunos ejercicios…