Razones trigonométricas

Generalidades sobre las razones trigonométricas.

La TRIGONOMETRÍA tiene por objeto la resolución de triángulos, es decir, hallar los valores numéricos de sus ángulos y lados usando las razones trigonométricas.

En un triángulo hay seis elementos: 3 ángulos y 3 lados. Cuando se conocen tres de estos elementos entre los que debe de haber al menos un lado, se pueden calcular los otros tres.

Segmentos rectilíneos.- Cada segmento rectilíneo se puede tomar en dos sentidos, por convenio se consideran positivos los que van de izquierda a derecha y como negativos los que van en sentido contrario. Asimismo son positivos si van de abajo arriba y negativos en caso contrario.

Ángulos y arcos.- A cada ángulo puede corresponder un arco trazado con un radio cualquiera. Por convenio se consideran positivos los ángulos y arcos que van en dirección contraria a la agujas del reloj y negativos los que llevan la misma dirección que las manecillas.

Razones trigonométricas.

Definiciones: En el triángulo ABC se dedine:

Seno de un ángulo.

Es la razón del cateto opuesto al ángulo a la hipotenusa.

Se escribe:

\large sen\, \alpha =\frac{b}{a}\: \: \: ;\: \: \: sen\, \beta =\frac{c}{a}

Coseno de un ángulo.

Es la razón del cateto contiguo al ángulo, a la hipotenusa.

\large cos\, \alpha =\frac{c}{a}\: \: \: ;\: \: \: cos\, \beta =\frac{b}{a}

Tangente de un ángulo.

Es la razón del cateto opuesto al ángulo, al contiguo.

\large tg\, \alpha =\frac{b}{c}\: \: \:; \: \: \:tg\, \beta =\frac{c}{b}

Se consideran además otras tres razones que son inversas de las anteriores, estas razones son: secante, cosecante y cotangente.

\large sec\, \alpha =\frac{1}{cos\, \alpha }=\frac{a}{c}\: \: \: ;\: \: \: cosec\, \alpha =\frac{1}{sen\, \alpha }=\frac{a}{b}
\large cotg\, \alpha =\frac{1}{tg\, \alpha }=\frac{c}{b}

Nota: En un mismo ángulo las razones trigonométricas permanecen invariables cuales quiera que sea el radio.

En efecto:

\large sen\, \alpha =\frac{NM}{OA}=\frac{N'M'}{OA'}= ...

ya que estas dos razones son iguales, pues los triángulos OM’N’ y OMN tenemos que:

\large \frac{NM}{OM}=\frac{N'M'}{OM'}

Lo mismo podemos decir de las demás razones trigonométricas.

Aplicación.- En un triángulo rectángulo cuyos lados miden 18, 24 y 30 m. hallar las razones trigonométricas.

\large sen\, B=\frac{AC}{BC}=\frac{18}{30}=0,60
\large cos\, B=\frac{BA}{BC}=\frac{24}{30}=0,80
\large tg\, B=\frac{AC}{BA}=\frac{18}{24}=0,75
\large cosec\, B=\frac{BC}{AC}=\frac{30}{18}=1,66...
\large sec\, B=\frac{BC}{BA}=\frac{30}{24}=1,25
\large cotg\, B=\frac{BA}{AC}=\frac{24}{18}=1,33...

Relaciones entre las razones trigonométricas de un mismo arco.

1.-   Relación: En la fig. 1 tenemos:

\large b^{2}+c^{2}=a^{2}

Dividiendo por  a2  tendremos:

\large \frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{a^{2}}{a^{2}}

Es decir:

\large \left ( \frac{\, b\, }{\, a\, } \right )^{2}+\left ( \frac{\, c\, }{\, a\, } \right )^{2}=1\Leftrightarrow sen\, \alpha=\frac{b}{a}\: ;\: cos\, \alpha =\frac{c}{a}

es decir:

\large sen^{2}\, \alpha +cos^{2}\, \alpha =1\: \: \:\: \: [1]

2.-   Relación: Dividiendo el seno por el coseno y teniendo en cuenta la definición de tangente tendremos:

\large \left.\begin{matrix} sen\, \alpha =\frac{b}{a}\\ \\ cos\, \alpha =\frac{c}{a}\end{matrix}\right\}\frac{sen\, \alpha }{cos\,\alpha }=\frac{b}{a}:\frac{c}{a}=\frac{b}{a}.\frac{a}{c}=\frac{b}{c}=tg\, \alpha
\large tg\, \alpha =\frac{sen\, \alpha }{cos\, \alpha }\: \: \: \: [2]

Razones trigonométricas de ángulos complementarios.

En la Fig. 1 tenemos los ángulos α y ß , son complementarios y según las definiciones allí dadas tenemos:

\large sen\, \alpha =\frac{b}{a}=cos\, \beta \: \: ;\: \: cos\, \alpha =\frac{c}{a}=sen\, \beta \: \: \: ; \large \: \: \: tg\, \alpha =\frac{b}{c}=cotg\, \beta
de igual manera resulta que:
\large sec\, \alpha =cosec\, \beta \: \: \: ;\: \: \: cosec\, \alpha =sec\, \beta

de igual manera resulta:

Resumiendo: El seno, tangente y secante de un ángulo son el coseno, cotangente y cosecante de su complementario.

Ejemplo:   sen a = 11/15  y  cos a =7/15

\large sen(90^{0}-a)=\frac{7}{15}\: \: \: ;\: \: \: cos(90^{0}-a)=\frac{11}{15}
     \large tg(90^{0}-a)=\frac{7}{11}\: \: \: ;\: \: \: cotg(90^{0}-a)=\frac{11}{7}

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