Razones trigonométricas

I.- Generalidades

Objeto de la trigonometría.- La TRIGONOMETRÍA tiene por objeto la resolución de triángulos, es decir, hallar los valores numéricos de sus ángulos y lados.

En un triángulo hay seis elementos: 3 ángulos y 3 lados. Cuando se conocen tres de estos elementos entre los que debe de haber al menos un lado, se pueden calcular los otros tres.

Segmentos rectilíneos.- Cada segmento rectilíneo se puede tomar en dos sentidos, por convenio se consideran positivos los que van de izquierda a derecha y como negativos los que van en sentido contrario. Asimismo son positivos si van de abajo arriba y negativos en caso contrario.

Ángulos y arcos.- A cada ángulo puede corresponder un arco trazado con un radio cualquiera. Por convenio se consideran positivos los ángulos y arcos que van en dirección contraria a la agujas del reloj y negativos los que llevan la misma dirección que las manecillas.

II.- Razones trigonométricas

Definiciones: En el triángulo ABC se dedine:

Seno de un ángulo es la razón del cateto opuesto al ángulo a la hipotenusa.

   Se escribe: \dpi{100} \bg_black sen\, B =\frac{b}{a}\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: sen\, C=\frac{c}{a}  

Coseno de un ángulo es la razón del cateto contiguo al ángulo, a la hipotenusa.

   Se escribe: \dpi{100} \bg_black cos\, B=\frac{c}{a}\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: cos\: C=\frac{b}{a}  

Tangente de un ángulo es la razón del cateto opuesto al ángulo, al contiguo.

   Se escribe: \dpi{100} \bg_black tg\: B=\frac{b}{c}\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: tg\: C=\frac{c}{b}  

Se consideran además otras tres razones que son inversas de las anteriores, estas razones son: secante, cosecante y cotantente.

  sec\, b=\frac{1}{cos\, B}=\frac{a}{c}\; \; \; ;\; \; \; cosec\, b=\frac{1}{sen\, B}=\frac{a}{b}  

cotg\,b=\frac{1}{tg\, B}=\frac{c}{b}

Nota: En un mismo ángulo las razones trigonométricas permanecen invariables cuales quiera que sea el radio.

En efecto:

\dpi{100} \bg_black sen\, A=\frac{MN}{OA}=\frac{M'N'}{OA'}=...

ya que estas dos razones son iguales, pues los triángulos OM’N’ y OMN tenemos que:

\dpi{100} \bg_black \frac{NM}{OM}=\frac{N'M'}{OM'}

Lo mismo podemos decir de las demás razones trigonométricas.

Aplicación.- En un triángulo rectángulo cuyos lados miden 18, 24 y 30 m. hallar las razones trigonométricas.

\dpi{100} \bg_black sen\, B=\frac{AC}{BC}=\frac{18}{30}=0,60
 
\dpi{100} \bg_black cos\, B=\frac{BA}{BC}=\frac{24}{30}=0,80
 
\dpi{100} \bg_black tg\, B=\frac{AC}{BA}=\frac{18}{24}=0,75
 
\dpi{100} \bg_black cosec\, B=\frac{BC}{AC}=\frac{30}{18}=1,66..
 
\dpi{100} \bg_black sec\, B=\frac{BC}{BA}=\frac{30}{24}=1,25
 
\dpi{100} \bg_black cotg\, B=\frac{BA}{AC}=\frac{24}{18}=1,33..

Relacciones entre las razones trigonimétricas de un mismo arco.

1.-   Relación: En la fig. 1 tenemos:

\dpi{100} \bg_black b^{2}+c^{2}=a^{2}

Dividiendo por  a2  tendremos:

\dpi{100} \bg_black \frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{a^{2}}{a^{2}}

pero sabemos ya que:

\dpi{100} \bg_black sen\, \alpha =\frac{b}{a}\, \, ;\, \, cos\, \alpha =\frac{c}{a}

es decir:

\dpi{100} \bg_black \textbf{sen}^{2}\alpha \textbf\, {+}\, \textbf{cos}^{2}\alpha \textup{\: =\: }1     (1)

2.-   Relación: Dividiendo el seno por el coseno y teniendo en cuenta la definición de tangente tendremos:

 

\dpi{100} \bg_black \mathbf{tg \, \alpha =\frac{sen\, \alpha }{cos\, \alpha }}     (2)

Razones trigonométricas de ángulos complementarios.

En la Fig. 1 tenemos los ángulos α y ß , son complementarios y según las definiciones allí dadas tenemos:

\dpi{100} \bg_black sen\, \alpha =\frac{b}{a}=cos\, \beta\: \: \: ;\: \: \: cos\, \alpha =\frac{c}{a} =sen\, \beta

\dpi{100} \bg_black tg\, \alpha =\frac{b}{c}=cotg\, \beta

de igual manera resulta:

\dpi{100} \bg_black sec\, \alpha =cosec\, \beta \: \: \: \: ;\: \: \: \: cosec\, \alpha =sec\, \beta

Resumiendo: El seno, tangente y secante de un ángulo son el coseno, cotangente y cosecante de su complementario.

Ejemplo:   sen a = 11/15  y  cos a =7/15

\bg_black sen\left ( 90^{0} -a\right )=\frac{7}{15}\: \: \: ;\: \: \: cos\left ( 90^{0}-a \right )=\frac{11}{15}
 
    \dpi{100} \bg_black tg\, (90^{0}-a)=\frac{7}{11}\: \: \: \: ;\: \: \: cotg(90^{0}-a)=\frac{11}{7}