Razones trigonométricas

Generalidades sobre las razones trigonométricas.

La Trigonometría tiene por objeto la resolución de triángulos, es decir, hallar los valores numéricos de sus ángulos y lados mediante el uso de las razones trigonométricas.

En un triángulo tenemos seis elementos.

• tres ángulos.
• tres lados.

Cuando se conocen tres de estos elementos, entre los cuales debe figurar al menos un lado, es posible calcular los otros tres.

Segmentos rectilíneos.

Todo segmento rectilíneo puede tomarse en dos sentidos. Por convenio:

• Son positivos los segmentos dirigidos de izquierda a derecha o de abajo hacia arriba.
• Son negativos los dirigidos de derecha a izquierda o de arriba hacia abajo.

Ángulos y arcos.

A cada ángulo puede asociarse un arco de circunferencia trazado con un radio cualquiera.

Por convenio:

• Son positivos los ángulos y arcos que giran en sentido contrario a las agujas del reloj.
• Son negativos los que giran en el mismo sentido que las agujas del reloj.

Razones trigonométricas.

En un triángulo rectángulo $ABC$ , se definen las siguientes razones trigonométricas:

Seno de un ángulo.

El seno de un ángulo es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa:.

Se escribe:

$\large sen\, \alpha =\frac{b}{a}\: \: \: ;\: \: \: sen\, \beta =\frac{c}{a}$

Coseno de un ángulo.

El coseno de un ángulo es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa:

$\large cos\, \alpha =\frac{c}{a}\: \: \: ;\: \: \: cos\, \beta =\frac{b}{a}$

Tangente de un ángulo.

La tangente de un ángulo es la razón entre el cateto opuesto y el cateto contiguo:

$\large tg\, \alpha =\frac{b}{c}\: \: \:; \: \: \:tg\, \beta =\frac{c}{b}$

Razones inversas.

Se definen además tres razones inversas de las anteriores:

$\large sec\, \alpha =\frac{1}{cos\, \alpha }=\frac{a}{c}\: \: \: ;\: \: \: cosec\, \alpha =\frac{1}{sen\, \alpha }=\frac{a}{b}$

$\large cotg\, \alpha =\frac{1}{tg\, \alpha }=\frac{c}{b}$

Observación importante.

Para un mismo ángulo, las razones trigonométricas permanecen invariables, cualquiera que sea el radio considerado.

En efecto:

$\large sen\, \alpha =\frac{NM}{OA}=\frac{N'M'}{OA'}= ...$

ya que estas dos razones son iguales, pues los triángulos OM’N’ y OMN tenemos que:

$\large \frac{NM}{OM}=\frac{N'M'}{OM'}$

Lo mismo podemos decir de las demás razones trigonométricas.

Aplicación:

En un triángulo rectángulo cuyos lados miden 18 m, 24 m y 30 m, hallar las razones trigonométricas del ángulo $B$ B:

$\large sen\, B=\frac{AC}{BC}=\frac{18}{30}=0,60$

$\large cos\, B=\frac{BA}{BC}=\frac{24}{30}=0,80$

$\large tg\, B=\frac{AC}{BA}=\frac{18}{24}=0,75$

$\large cosec\, B=\frac{BC}{AC}=\frac{30}{18}=1,66...$

$\large sec\, B=\frac{BC}{BA}=\frac{30}{24}=1,25$

$\large cotg\, B=\frac{BA}{AC}=\frac{24}{18}=1,33...$

Relaciones entre las razones trigonométricas de un mismo ángulo.

Primera relación fundamental.

En un triángulo rectángulo:

$\large b^{2}+c^{2}=a^{2}$

Dividiendo por a² tendremos:

$\large \frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{a^{2}}{a^{2}}$

Tenemos:

$\large \left ( \frac{\, b\, }{\, a\, } \right )^{2}+\left ( \frac{\, c\, }{\, a\, } \right )^{2}=1\Leftrightarrow sen\, \alpha=\frac{b}{a}\: ;\: cos\, \alpha =\frac{c}{a}$

Tenemos:

$\large sen^{2}\, \alpha +cos^{2}\, \alpha =1\: \: \:\: \: [1]$

Segunda relación.

Dividiendo el seno entre el coseno.

$\large \left.\begin{matrix} sen\, \alpha =\frac{b}{a}\\ \\ cos\, \alpha =\frac{c}{a}\end{matrix}\right\}\frac{sen\, \alpha }{cos\,\alpha }=\frac{b}{a}:\frac{c}{a}=\frac{b}{a}.\frac{a}{c}=\frac{b}{c}=tg\, \alpha$

$\large tg\, \alpha =\frac{sen\, \alpha }{cos\, \alpha }\: \: \: \: [2]$

Razones trigonométricas de ángulos complementarios.

Sean α y ß dos ángulos complementarios ( $\alpha + \beta = 90^\circ$ ). Entonces:

$\large sen\, \alpha =\frac{b}{a}=cos\, \beta \: \: ;\: \: cos\, \alpha =\frac{c}{a}=sen\, \beta \: \: \: ;$ $\large \: \: \: tg\, \alpha =\frac{b}{c}=cotg\, \beta$