Razones trigonométricas

I.- Generalidades

Objeto de la trigonometría.- La TRIGONOMETRÍA tiene por objeto la resolución de triángulos, es decir, hallar los valores numéricos de sus ángulos y lados.

En un triángulo hay seis elementos: 3 ángulos y 3 lados. Cuando se conocen tres de estos elementos entre los que debe de haber al menos un lado, se pueden calcular los otros tres.

Segmentos rectilíneos.- Cada segmento rectilíneo se puede tomar en dos sentidos, por convenio se consideran positivos los que van de izquierda a derecha y como negativos los que van en sentido contrario. Asimismo son positivos si van de abajo arriba y negativos en caso contrario.

Ángulos y arcos.- A cada ángulo puede corresponder un arco trazado con un radio cualquiera. Por convenio se consideran positivos los ángulos y arcos que van en dirección contraria a la agujas del reloj y negativos los que llevan la misma dirección que las manecillas.

II.- Razones trigonométricas

Definiciones: En el triángulo ABC se dedine:

Seno de un ángulo es la razón del cateto opuesto al ángulo a la hipotenusa.

Se escribe:

$\dpi{100} \bg_black sen\, B =\frac{b}{a}\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: sen\, C=\frac{c}{a}$

Coseno de un ángulo es la razón del cateto contiguo al ángulo, a la hipotenusa.

Se escribe:

$\dpi{100} \bg_black cos\, B=\frac{c}{a}\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: cos\: C=\frac{b}{a}$

Tangente de un ángulo es la razón del cateto opuesto al ángulo, al contiguo.

Se escribe:

$\dpi{100} \bg_black tg\: B=\frac{b}{c}\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: tg\: C=\frac{c}{b}$

Se consideran además otras tres razones que son inversas de las anteriores, estas razones son: secante, cosecante y cotantente.

$sec\, b=\frac{1}{cos\, B}=\frac{a}{c}\; \; \; ;\; \; \; cosec\, b=\frac{1}{sen\, B}=\frac{a}{b}$

$cotg\,b=\frac{1}{tg\, B}=\frac{c}{b}$

Nota: En un mismo ángulo las razones trigonométricas permanecen invariables cuales quiera que sea el radio.

En efecto:

$\dpi{100} \bg_black sen\, A=\frac{MN}{OA}=\frac{M'N'}{OA'}=...$

ya que estas dos razones son iguales, pues los triángulos OM’N’ y OMN tenemos que:

$\dpi{100} \bg_black \frac{NM}{OM}=\frac{N'M'}{OM'}$

Lo mismo podemos decir de las demás razones trigonométricas.

Aplicación.- En un triángulo rectángulo cuyos lados miden 18, 24 y 30 m. hallar las razones trigonométricas.

$\dpi{100} \bg_black sen\, B=\frac{AC}{BC}=\frac{18}{30}=0,60$

$\dpi{100} \bg_black cos\, B=\frac{BA}{BC}=\frac{24}{30}=0,80$

$\dpi{100} \bg_black tg\, B=\frac{AC}{BA}=\frac{18}{24}=0,75$

$\dpi{100} \bg_black cosec\, B=\frac{BC}{AC}=\frac{30}{18}=1,66..$

$\dpi{100} \bg_black sec\, B=\frac{BC}{BA}=\frac{30}{24}=1,25$

$\dpi{100} \bg_black cotg\, B=\frac{BA}{AC}=\frac{24}{18}=1,33..$

Relacciones entre las razones trigonimétricas de un mismo arco.

1.- Relación: En la fig. 1 tenemos:

$\dpi{100} \bg_black b^{2}+c^{2}=a^{2}$

Dividiendo por a² tendremos:

$\dpi{100} \bg_black \frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{a^{2}}{a^{2}}$

pero sabemos ya que:

$\dpi{100} \bg_black sen\, \alpha =\frac{b}{a}\, \, ;\, \, cos\, \alpha =\frac{c}{a}$

es decir:

$\dpi{100} \bg_black \textbf{sen}^{2}\alpha \textbf\, {+}\, \textbf{cos}^{2}\alpha \textup{\: =\: }1$ (1)

2.- Relación: Dividiendo el seno por el coseno y teniendo en cuenta la definición de tangente tendremos:

$\dpi{100} \bg_black \mathbf{tg \, \alpha =\frac{sen\, \alpha }{cos\, \alpha }}$ (2)

Razones trigonométricas de ángulos complementarios.

En la Fig. 1 tenemos los ángulos α y ß , son complementarios y según las definiciones allí dadas tenemos:

$\dpi{100} \bg_black sen\, \alpha =\frac{b}{a}=cos\, \beta\: \: \: ;\: \: \: cos\, \alpha =\frac{c}{a} =sen\, \beta$

$\dpi{100} \bg_black tg\, \alpha =\frac{b}{c}=cotg\, \beta$

de igual manera resulta:

$\dpi{100} \bg_black sec\, \alpha =cosec\, \beta \: \: \: \: ;\: \: \: \: cosec\, \alpha =sec\, \beta$

Resumiendo: El seno, tangente y secante de un ángulo son el coseno, cotangente y cosecante de su complementario.

Ejemplo: sen a = 11/15 y cos a =7/15

$\bg_black sen\left ( 90^{0} -a\right )=\frac{7}{15}\: \: \: ;\: \: \: cos\left ( 90^{0}-a \right )=\frac{11}{15}$

$\dpi{100} \bg_black tg\, (90^{0}-a)=\frac{7}{11}\: \: \: \: ;\: \: \: cotg(90^{0}-a)=\frac{11}{7}$