Resolución de triángulos rectángulos

La resolución de triángulos rectángulos se basa en los teoremas y relaciones trigonométricas que se exponen a continuación.

Teorema de Pitágoras.

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$

$c^{2} = a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

Relación entre un cateto, la hipotenusa y un ángulo agudo.

Por definición tenemos:

$s e n B = \frac{b}{a}; b = a s e n B [4]$

Como los ángulos B y C son complementarios:

$s e n B = \cos C; b = a \cos C [5]$

Conclusión:

Un cateto es igual a la hipotenusa multiplicada por:

• el seno del ángulo opuesto.
• o el coseno del ángulo contiguo.

Relación entre los dos catetos y un ángulo agudo.

Por definición tenemos:

$t g B = \frac{b}{c} \Rightarrow b = c t g B [6]$

y como B y C son ángulos complementarios, tenemos:

$\large tb\: B=cotg\: C\: \: \: ;\: \: \: b=c\: cotg\: C\: \: \: \: \: [7]$

Conclusión:

Un cateto es igual al otro cateto multiplicado por:

• la tangente del ángulo opuesto.
• o la cotangente del ángulo contiguo.

Casos de resolución de triángulos rectángulos.

En estos triángulos siempre se conoce el ángulo recto
Para resolverlo basta conocer dos de los otros elementos, siempre que no sean ambos ángulos.

Se pueden presentar cuatos casos, conocer:

   1. Conocer la hipotenusa y un ángulo agudo
   2. Conocer la hipotenusa y un cateto
   3. Conocer un cateto y un ángulo agudo
   4. Conocer los dos catetos

Primer caso.
Hipotenusa $a$ y ángulo agudo $B$ .

Datos: a y B Incognitas: C, b y c

$\large b=a\: sen\: B$

$\large C=90^{0}-B$

$\large c=a\: cos\: B$

Segundo caso.
Hipotenusa $a$ y cateto $b$

Datos: a y b Incognitas: B, C y c

$\large sen\: B=cos\: C=\frac{b}{a}\: \: \: ;\: \: \: c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$

Tercer caso.
Cateto $b$ b y ángulo agudo $B$ o $C$

$\large B=90^{0}-C\: \: \: ;\: \: \: c=b\: tg\: C$

$\large b=a\: cos\: C\: \: \: ;\: \: \: a=\frac{b}{cos\: B}$

Cuarto caso.
Catetos $b$ b y $c$ c

$\large tg\: B=cotg\: C=\frac{b}{a}\: \: \: ;\: \: \: a=\sqrt{b^{2}+c^{2}}$

El cálculo de $C$ se obtiene hallando previamente $B$ o viceversa:

$\large b=a\: cos\: C=a\: sen\: B$

$\large a=\frac{b}{cos\: C}=\frac{b}{sen\: B}$

El calculo de C se facilita y obtiene con exactitud hallando primero el valor B o de C; así:

Aplicaciones práctica.

Primer caso:

$\large Datos\left\{\begin{matrix} A=90^{0}\: \: \: \: \: \\ B=42^{0}\: 48'\\ \; b=852,02\end{matrix}\right.$

$\large Incognitas\left\{\begin{matrix} C\\ a\\ c\\ \end{matrix}\right.$

$\large C=90^{0}-B=60^{0}-42^{0}\: 48'=47^{0}\: 12'$

$\large b=a\: sen\: b=852,02\: \: ;\: \: c=a\: cos\: B=920,10$

Solución:
C = 47º 12′
b = 852,02 m.
c = 820.10 m.

Segundo caso:

$\large Datos\left\{\begin{matrix} A=90^{0}\: \: \: \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ a=397,70\, m.\\ b=388\, m.\: \: \: \: \: \: \: \end{matrix}\right.$

$\large Incognitas\left\{\begin{matrix} B\\ C\\ C\end{matrix}\right.$

$\large sen\: C=\frac{c}{a}=\frac{388}{397,70}=0,9756$

$\large C=arcsen(0,9756)=77^{0}\: 19'$

arcsen es el valor del seno convertido grados, en la calculadora teclas «SHIFT» y a continuación tecla «sin«, se teclea el valor obtenido más la tecla igual, continuación se pulsa la tecla de conversión a grados y minutos.

$\large B=90^{0}-77^{0}\: 19'=12^{0}\: 41'$

$\large cos\: C=\frac{b}{a}\: \: \: ;\: \: \: b=397,70\: cos(77^{0}\: 19')=87,31$

Solución:
B= 12º 41′
C = 77º 19′
b= 87,31 m.

Tercer caso:

$\large Datos\left\{\begin{matrix} A=90^{0}\: \: \: \: \:\: \\ B=42^{0}\: 48'\: \\ \: b=852,02\end{matrix}\right.$

$\large Incognitas\left\{\begin{matrix} C\\ a\\ c\end{matrix}\right.$

$\large C=90^{0}-B=90^{0}-43^{0}\: 48'=47^{0}\: 12'$

$\large a=\frac{b}{sen(42^{0}\: 48')}=1254$

$\large c=b\: cotg\: B=852,02\: cotg(42^{0}\: 48')=920,10$

Solución:
C = 47º 12′
a = 1254 m.
c = 920,10 m.

Cuarto caso:

$\large Datos\left\{\begin{matrix} A=90^{0}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ b=388\: m.\: \: \: \: \\ c=87,30\: m.\end{matrix}\right.$

$\large Incognitas\left\{\begin{matrix} B\\ C\\ a\end{matrix}\right.$

$\large tg\, B=\frac{388}{87,30}=4,4444\: \: ;$

$\large B=arctg(4,4444)=77^{0}\, 19'$

$\large sen\: B=\frac{b}{a}\: \: \: ;\: \: \: a=\frac{388}{sen\: B}=397,70$

Solución:
B = 77º 19′
C = 12º 41′
a = 397,70 m.

Recordatorio final:
Para que un triangulo se pueda construir se deben de cumplir dos condiciones:
• Cualquier lado es menor que la suma de los otros dos.
• Cualquier lado es mayor que la diferencia de los otros dos.

Practique con algunos ejercicios…

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