Resolución de triángulos rectángulos

Resolución de triángulos rectángulos.

Se basa en los teoremas siguientes:

Teorema de Pitágoras.-

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

\large a^{2}=b^{2}+c^{2}               
                     \large c^{2}=a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)

Relación entre un cateto, la hipotenusa y un ángulo agudo.

Por definición tenemos:

\large sen\, B=\frac{b}{a}\: \: \: ;\: \: \: b=a\: sen\: B\: \: \:\: \: [4]

y como B y C son ángulos complementarios, tenemos:

\large sen\: B=cos\: C\: \: \: ;\: \: \: b=a\: sen\: B\: \: \: \: \: [5]

Un cateto es igual a la hipotenusa por el seno del ángulo opuesto o por el coseno del contiguo.

Relación entre los dos catetos y un ángulo agudo.

Por definición tenemos:

\large tg\: B=\frac{b}{c}\: \: \: ;\: \: \: b=c\: tg\: B\: \: \: \: \: [6]

y como B y C son ángulos complementarios, tenemos:

\large tb\: B=cotg\: C\: \: \: ;\: \: \: b=c\: cotg\: C\: \: \: \: \: [7]

Un cateto es igual al otro cateto por la tangente del ángulo opuesto o por la cotangente del contiguo.

Casos de resolución de triángulos rectángulos.

En estos triángulos siempre se conoce el ángulo recto, luego para resolverlos basta conocer dos de los elementos restantes con tal de que no sean ángulos los otros dos.

Se pueden presentar cuatos casos, conocer:

1.º La hipotenusa y un ángulo agudo
2.º La hipotenusa y un cateto              
3.º Un cateto y un ángulo agudo        
4.º Los dos catetos                                  

Primer caso.- Resolver un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa a y el ángulo B.

Datos: a y B     Incognitas: C, b y c

\large C=90^{0}-B
\large b=a\: sen\: B\large c=a\: cos\: B

Segundo caso.- Resolver un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa a y el cateto b.

Datos: a y b      Incognitas: B, C y c

\large sen\: B=cos\: C=\frac{b}{a}\: \: \: ;\: \: \: c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}

Tercer caso.- Resolver un triángulo rectángulo conociendo el cateto b y el ángulo B o el C.

\large B=90^{0}-C\: \: \: ;\: \: \: c=b\: tg\: C
\large b=a\: cos\: C\: \: \: ;\: \: \: a=\frac{b}{cos\: B}

Cuarto caso.- Resolver un triángulo rectángulo conociendo los catetos b y c.

\large tg\: B=cotg\: C=\frac{b}{a}\: \: \: ;\: \: \: a=\sqrt{b^{2}+c^{2}}

El cálculo ce C se obtiene hallando primero el valor de B o de C; así

\large b=a\: cos\: C=a\: sen\: B
\large a=\frac{b}{cos\: C}=\frac{b}{sen\: B}

El calculo de C se facilita y obtiene con exactitud hallando primero el valor B o de C; así:

Aplicación práctica

Primer caso:

\large Datos\left\{\begin{matrix} A=90^{0}\: \: \: \: \: \\ B=42^{0}\: 48'\\ \; b=852,02\end{matrix}\right.\large Incognitas\left\{\begin{matrix} C\\ a\\ c\\ \end{matrix}\right.
\large C=90^{0}-B=60^{0}-42^{0}\: 48'=47^{0}\: 12'
\large b=a\: sen\: b=852,02\: \: ;\: \: c=a\: cos\: B=920,10

Solución:    C = 47º 12′   b = 852,02 m.    c = 820.10 m.

Segundo caso:

\large Datos\left\{\begin{matrix} A=90^{0}\: \: \: \:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ a=397,70\, m.\\ b=388\, m.\: \: \: \: \: \: \: \end{matrix}\right.\large Incognitas\left\{\begin{matrix} B\\ C\\ C\end{matrix}\right.
\large sen\: C=\frac{c}{a}=\frac{388}{397,70}=0,9756
\large C=arcsen(0,9756)=77^{0}\: 19'

arcsen es el valor del seno convertido grados, en la calculadora teclas «SHIFT» y a continuación tecla «sin«, se teclea el valor obtenido más la tecla igual, continuación se pulsa la tecla de conversión a grados y minutos.

\large B=90^{0}-77^{0}\: 19'=12^{0}\: 41'
\large cos\: C=\frac{b}{a}\: \: \: ;\: \: \: b=397,70\: cos(77^{0}\: 19')=87,31

Solución:      B= 12º 41′      C = 77º 19′     b= 87,31 m.

Tercer caso:

\large Datos\left\{\begin{matrix} A=90^{0}\: \: \: \: \:\: \\ B=42^{0}\: 48'\: \\ \: b=852,02\end{matrix}\right.\large Incognitas\left\{\begin{matrix} C\\ a\\ c\end{matrix}\right.
\large C=90^{0}-B=90^{0}-43^{0}\: 48'=47^{0}\: 12'

Podemo decir:

\large sen\: B=\frac{b}{sen\: B}\: \: ;\: \: a\: sen\: B=b\; \; ;\; \; a=\frac{b}{sen\: B}
\large a=\frac{b}{sen(42^{0}\: 48')}=1254
\large tg\: B=\frac{b}{c}\: \: ;\: \: c\: tg\: B=b\: \: ;\: \: c=\frac{b}{tg\: B}

Podemos expresar esa división en forma de producto puesto que    tg B = 1/cotg B

\large c=\frac{b}{\frac{1}{cotg\: B}}\: \: ;\: \: c=\frac{b\: cotg\: B}{1}\: \: ;\: \: c=b\: cotg\: B

\large c=b\: cotg\: B=852,02\: cotg(42^{0}\: 48')=920,10

En la calculadora solo tenemos teclas de seno, coseno y tangente, no tenemos sus razones inversas, para hacer la operación anterior tenemos que actuar así: insertamos 852,02 y pulsamos la tecla de multiplicar, tecleamos 1 dividido de, y pulsamos la tecla tan, colocamos los grados y minutos si proceden y pulsamos igual.

Solución:    C = 47º 12′      a = 1254 m.    c = 920,10 m.

Cuarto caso:

\large Datos\left\{\begin{matrix} A=90^{0}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ b=388\: m.\: \: \: \: \\ c=87,30\: m.\end{matrix}\right.\large Incognitas\left\{\begin{matrix} B\\ C\\ a\end{matrix}\right.
\large tg\, B=\frac{388}{87,30}=4,4444\: \: ;
\large B=arctg(4,4444)=77^{0}\, 19'
\large sen\: B=\frac{b}{a}\: \: \: ;\: \: \: a=\frac{388}{sen\: B}=397,70

Solución:     B = 77º 19′     C = 12º 41′    a = 397,70 m.

Recordad: Para que un triangulo se pueda construir se deben de cumplir dos condiciones: Un lado cualquiera debe de ser menor que la suma de los otros dos, pero debe de ser mayor que su diferencia.

Practique con algunos ejercicios…

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