Resolución de triángulos rectángulos

I.- Tablas trigonométricas

Para facilitar el empleo de las razones trigonométricas, hace ya algunos años se utilizaban tablas en la que figuraban los valores de dichas razones para los diversos ángulos (aún hoy en dia podemos encontrar esas tablas en tiendas especializadas).

Unas dan los valores naturales de las razones trigonométricas. Por ejemplo, para   sen 30º   podríamos ver el valor de 0,5.

Otras dan los logaritmos de los valores naturales de las razones trigonométricas. Así para   sen 30º   podemos ver 0,698970 que es el logaritmo de 0,5.

Las primeras sirven para la mayor parte de los casos prácticos que no exigen gran precisión. Las segundas son más exactas.

Todas estas tablas llevan una explicación de su uso.

Hoy en día con el uso de las calculadoras electrónicas las tablas ya no se emplean, pero aún así es conveniente que sepas de la existencia de dichas tablas que en su día volvieron locos a demasiados estudiantes.

II.- Resolución de triángulos rectángulos

Se basa en los teoremas siguientes:

Teorema de Pitágoras.- En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

  a^{2}=b^{2}+c^{2}  
     
  c^{2}=a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)  

Relación entre un cateto, la hipotenusa y un ángulo agudo.

Por definición tenemos:

  sen\, B=\frac{b}{a}\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: b=a\:. \: sen\, B  

y como B y C son ángulos complementarios, tenemos:

sen\: B=cos\: C\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: b=a\, .\, cos\, C

Un cateto es igual a la hipotenusa por el seno del ángulo opuesto o por el coseno del contiguo.

Relación entre los dos catetos y un ángulo agudo.

Por definición tenemos:

  tg\: B=\frac{b}{c}\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: b=c\, .\, tg\: B  

y como B y C son ángulos complementarios, tenemos:

tg\, b=cotg\: C\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: b=c\, .\, cotg\: C

Un cateto es igual al otro cateto por la tangente del ángulo opuesto o por la cotangente del contiguo.

Casos de resolución de triángulos rectángulos.- En estos triángulos siempre se conoce el ángulo recto, luego para resolverlos basta conocer dos de los elementos restantes con tal de que no sean ángulos los otros dos.

Se pueden presentar cuatos casos, conocer:

    1.º La hipotenusa y un ángulo agudo.
2.º La hipotenusa y un cateto.
3.º Un cateto y un ángulo agudo.
4.º Los dos catetos.
   

Primer caso.- Resolver un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa a y el ángulo B.

Datos: a y B     Incognitas: C, b y c

    C=90^{0}-B    
         
  \bg_black b=a\, .\, sen \, B   c=a\, .\, cos\, B  

Segundo caso.- Resolver un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa a y el cateto b.

Datos: a y b      Incognitas: B, C y c

    sen\, B=cos\, C=\frac{b}{a}    
         
    c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}    

Tercer caso.- Resolver un triángulo rectángulo conociendo el cateto b y el ángulo B o el C.

    B=90^{0}-C\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: c=b\, .\, tg\, C    
         
    b=a\, .\, cos\, C\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: a=\frac{b}{cos\, C}    

Cuarto caso.- Resolver un triángulo rectángulo conociendo los catetos b y c.

Datos: b y c    Incognitas: B, C y a

    tg\, B=cotg\, C=\frac{b}{c}    
         
    a=\sqrt{b^{2}+c^{2}}    

El calculo de C se facilita y obtiene con exactitud hallando primero el valor B o de C; así:

  b=a\, .\, cos\, C=a\,\, .\, sen\, B  
     
  a=\frac{b}{cos\, C}=\frac{b}{sen\, B}  

Aplicación práctica

Primer caso:

  Datos\left\{\begin{matrix} B=42^{0}\: 48'\\ a=1254\: m \end{matrix}\right. Incógnitas\left\{\begin{matrix} C\\ b\\ c \end{matrix}\right.  
  C=90^{0}-B=90^{0}-42^{0}\, 48'=47^{0}\, 12'  
  b=a\, sen\, B=852,02 ; c=a\, cos\, B=920,10  

Solución:    C = 47º 12′   b = 852,02 m.    c = 820.10 m.

Segundo caso:

  Datos\left\{\begin{matrix} A=90^{0}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ a=397,70\, \textrm{m}\\ c=388\, \textrm{m}\: \: \: \: \: \: \end{matrix}\right. Incógnitas\left\{\begin{matrix} B\\ C\\ b \end{matrix}\right.  
  sen\, C=\frac{c}{a}=\frac{388}{397,70}=0,9756  
  C=arcsen(0,9756)=77^{0}\, 19'  

arcsen es el valor del seno convertido grados, en la calculadora teclas “SHIFT” y a continuación tecla “sin“, se teclea el valor obtenido más la tecla igual, continuación se pulsa la tecla de conversión a grados y minutos.

  B=90^{0}-77^{0}\, 19'=12^{0}\, 41'  
  cos\, C=\frac{b}{a}\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: b=397,70\: cos (77^{0}\, 19')=87,31  

Solución:      B= 12º 41′      C = 77º 19′     b= 87,31 m.

Tercer caso:

  Datos\left\{\begin{matrix} A=90^{0}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ B=42^{0}\, 48'\: \: \: \: \: \: \\ b=852,02\, \textrm{m} \end{matrix}\right. Incógnitas\left\{\begin{matrix} C\\ a\\ c \end{matrix}\right.  
  C=90^{0}-B=90^{0}-42^{0}\, 48'=47^{0}\, 12'  

Podemo decir:

sen\, B=\frac{b}{a} a\, .\, sen\, B=b a=\frac{b}{sen\, B}
  a=\frac{b}{sen\, (42^{0}\, 48')}=1254  
tg\, B=\frac{b}{c} c\, .\, tg\, B=b c=\frac{b}{tg\, b}

Podemos expresar esa división en forma de producto puesto que    tg B = 1/cotg B

c=\frac{b}{\frac{1}{cotg\, B}} =\frac{b\, .\, cotg\, B}{1} c=b\, .\, cotg\, b
  c=b\, .\, cotg\, B=852,02\, .\, cotg(42^{0}\, 48')=920,10  

En la calculadora solo tenemos teclas de seno, coseno y tangente, no tenemos de sus razones inversas, para hacer la operación anterior tenemos que actuar así: insertamos 852,02 y pulsamos la tecla de multiplicar, teclamos 1 dividido de, y pulsamos la tecla tan, colocamos los grados y minutos si proceden y pulsamos igual.

Solución:    C = 47º 12′      a = 1254 m.    c = 920,10 m.

Cuarto caso:

  Datos\left\{\begin{matrix} A=90^{0}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ b=388\, \textrm{m}\: \: \: \: \\ c=87,30\, \textrm{m} \end{matrix}\right. Incógnitas\left\{\begin{matrix} B\\ C\\ a \end{matrix}\right.  
  tg\, B=\frac{388}{87,30}=4,4444  

B=arctg\, (4,4444)=77^{0}19'

  C=90^{0}-77^{0}\, 19'=12^{0}\, 41'  
  sen\, b=\frac{b}{a}\: \: \: \: \: ;\: \: \: \: \: a=\frac{388}{sen\, B}=397,70  

Solución:     B = 77º 19′     C = 12º 41′    a = 397,70 m.