I.A.- Ejercicios sobre logaritmos

1. Calcula los siguientes logaritmos aplicando la definición:


	$\dpi{100} \mathrm{a)}\, \, log_{3}\, 9$	$\dpi{100} \mathrm{b)}\, \, log_{2}\, 1024$

	$\dpi{100} \mathrm{c)}\, \, log_{2}\, 8$	$\dpi{100} \mathrm{d)}\, \, log_{\frac{1}{3}}\, 9$

	$\dpi{100} \mathrm{e)}\, \, log\, 100$	$\dpi{100} \mathrm{f)}\, \, log_{\frac{1}{2}}\, 1024$

	$\dpi{100} \mathrm{g)\, \, log_{\frac{1}{2}}}\, 8$	$\dpi{100} \mathrm{h)}\, \, log_{2}\, 1$

	$\dpi{100} \mathrm{i)}\, \, log_{2}\, 0,5$	$\dpi{100} \mathrm{j)}\, \, log_{2}\, 0,25$

	$\dpi{100} \mathrm{k)}\, \, log_{3}\, 243$	$\dpi{100} \mathrm{l)}\: \: log_{3}\: \frac{1}{9}$

	$\dpi{100} \mathrm{m)}\, \, log_{\frac{1}{3}}\, \frac{1}{9}$	$\dpi{100} \mathrm{n)}\, \, log\, 0,01$

	$\dpi{100} \mathrm{n.)}\, \, log_{8}\, \frac{1}{8}$	$\dpi{100} \mathrm{o)}\, \, log_{5}\, 125$

	$\dpi{100} \mathrm{p)}\, \, log_{\sqrt{2}}\, 4$	$\dpi{100} \mathrm{r)}\, \, log_{9}\, 3$

2. Calcula los siguientes logaritmos aplicando la definición:


	$\dpi{100} \mathrm{a)}\, \, log_{2}\, 512$	$\dpi{100} \mathrm{b)}\, \, log_{3}\, 27$

	$\dpi{100} \mathrm{c)}\, \, log\, 0,001$	$\dpi{100} \mathrm{d)}\, \, log_{\frac{1}{2}}\, 9$

	$\dpi{100} \mathrm{e)}\, \, log_{2}\, \frac{1}{64}$	$\dpi{100} \mathrm{f)}\, \, log_{0,5}\, 4$

	$\dpi{100} \mathrm{g)}\, \, log_{\sqrt{3}}\, 3$	$\dpi{100} \mathrm{h)}\, \, log_{9}\, 1$

	$\dpi{100} \mathrm{i)}\, \, log\: 100$	$\dpi{100} \mathrm{j)}\, \, log_{2}\, \sqrt{8}$

	$\dpi{100} \mathrm{k)}\, \, log_{3}\, \sqrt{3}$	$\dpi{100} \mathrm{l)}\, \, log_{\frac{1}{9}}\, 3$

	$\dpi{100} \mathrm{m)}\, \, log_{25}\, \frac{1}{125}$	$\dpi{100} \mathrm{n)}\, \, log_{49}\, 7$

	$\dpi{100} \mathrm{n.)}\, \, log_{\frac{1}{6}}\, 36$

3. Halla la base de los logaritmos en las siguientes igualdades:


	$\dpi{100} \mathrm{a)}\, \, log_{a}\, 4=2$		$\dpi{100} \mathrm{b)}\, \, log_{a}\, 9=2$

	$\dpi{100} \mathrm{c)}\, \, log_{a}\, 625=4$		$\dpi{100} \mathrm{d)}\, \, log_{a}\, 243=5$

	$\dpi{100} \mathrm{e)}\, \, log_{a}\, 256=8$		$\dpi{100} \mathrm{f)}\, \, log_{a}\, 0,125=3$

	$\dpi{100} \mathrm{g)}\, \, log_{a}\, 0,001=-3$		$\dpi{100} \mathrm{h)}\, \, log_{a}\, 1=0$

4. Calcula la base de los siguientes logaritmos:


	$\dpi{100} \mathrm{a)}\, \, log_{x}\, 3=-1$	$\dpi{100} \mathrm{b)}\, \, log_{x}\, \, \pi =1$

	$\dpi{100} \mathrm{c)}\, \, log_{x}\, \frac{1}{9}=-2$	$\dpi{100} \mathrm{d)}\, \, log_{x}\, 0,015625=3$

	$\dpi{100} \mathrm{e)}\, \, log_{x}\, 125=3$	$\dpi{100} \mathrm{f)}\, \, log_{x}\, 3=\frac{1}{2}$

	$\dpi{100} \mathrm{g)}\, \, log_{x}\, \frac{1}{4}=2$	$\dpi{100} \mathrm{h)}\, \, log_{x}\: 2=\frac{1}{2}$

	$\dpi{100} \mathrm{i)}\, log_{x}\, 0,04=-2$	$\dpi{100} \mathrm{j)}\, \, log_{x}\, 4=-\frac{1}{2}$

	$\dpi{100} \mathrm{k)}\, \, log_{x}\, 7=-2$	$\dpi{100} \mathrm{l)}\, \, log_{x}\, \sqrt[4]{3}=\frac{1}{2}$

5. Aplicando la definición de logaritmo resolver los siguientes ejercicios:


	$\dpi{100} \mathrm{a)}\, \, 2^{x}=16$	$\dpi{100} \mathrm{b)}\, \, 2^{2}=32$

	$\dpi{100} \mathrm{c)}\, \, 3^{\frac{1}{x}}=9$	$\dpi{100} \mathrm{d)}\, \, log_{2}\, 64=x$

	$\dpi{100} \mathrm{e)}\, \, log_{3}\, 81=x$	$\dpi{100} \mathrm{f)}\, \, log_{101}\, 10201=x$

	$\dpi{100} \mathrm{g)}\, \, log_{16}\, 0,5=x$	$\dpi{100} \mathrm{h)}\, \, log\, 0,00001=x$

	$\dpi{100} \mathrm{i)}\, \, log_{x}\, 125=\frac{3}{2}$	$\dpi{100} \mathrm{j)}\, \, log_{x}\, \frac{1}{3}=-\frac{1}{2}$

	$\dpi{100} \mathrm{k)}\, \, log_{125}\, \frac{1}{\sqrt{5}}=x$	$\dpi{100} \mathrm{l)}\, \, log_{343}\, \sqrt{7}=x$

6. Calcula el valor de x aplicando a definición de logaritmo:


	$\dpi{100} \mathrm{a)}\, \, log_{\frac{2}{3}}\, \frac{81}{16}=x$	$\dpi{100} \mathrm{b)}\, \, log_{\frac{5}{3}}\, \frac{27}{125}=x$

	$\dpi{100} \mathrm{c)}\, \, log_{8}\, \sqrt[4]{2}=x$	$\dpi{100} \mathrm{d)}\, \, x=log_{3}\, (2\sqrt{3})$

	$\dpi{100} \mathrm{e)}\, \, x=log_{3}\, \left ( \frac{\sqrt[4]{3}}{9} \right )$	$\dpi{100} \mathrm{f)}\, \, x=log_{81}\, 3$

	$\dpi{100} \mathrm{g)}\, \, x=log_{81}\, \left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )$	$\dpi{100} \mathrm{h)}\, \, x=log_{\frac{1}{9}}\, \frac{\sqrt[4]{3}}{3}$

	$\dpi{100} \mathrm{i)}\, \, x=log_{\frac{\sqrt{3}}{3}}\, 81$	$\dpi{100} \mathrm{j)}\, \, log_{\frac{\sqrt{3}}{3}}\, \left ( \frac{\sqrt[4]{3}}{3} \right )$

	$\dpi{100} \mathrm{k)}\, \, log_{x}\, \left ( \frac{1}{2187} \right )=7$

7. Halla el resultado de las siguientes expresiones:


	a)	$\dpi{100} log_{5}\: 125-log_{3}\: 243+log_{4}\: 256$

	b)	$\dpi{100} log_{3}\: 1+log_{2}\: 64+log_{3}\: 9+log_{7}\, 49$

	c)	$\dpi{100} log_{2}\: 4+log_{3}\, 81-log_{6}\: 216+log_{4}\: 64$

	d)	$\dpi{100} log_{3}\: \frac{1}{9}-log_{5}\: 0,2+log_{6}\: \frac{1}{36}-log_{2}\: 0,5$

8. Sabiendo que log 2 = 0,3010, log 3 = 0,4771 y log 7 = 0,8451, hallar el valor aproximado de:


a)	$\dpi{100} log\: 30$	b)	$\dpi{100} log\: 84$	c)	$\dpi{100} log\: 162$	d)	$\dpi{100} log\: 0,128$

e)	$\dpi{100} log\: 14,4$	f)	$\dpi{100} log\: \sqrt[3]{12}$	g)	$\dpi{100} log\: 25$	h)	$\dpi{100} log\: 0,125$

9. Sabiendo que log 2 = 0,3010 y log 10= 0,4774, calcula:


a)	$\dpi{100} log\: 2,025$	b)	$\dpi{100} log\: \sqrt[5]{0,02}$	c)	$\dpi{100} log\: \frac{\sqrt{0,025}}{8}$

d)	$\dpi{100} log_{5}\: 4$	e)	$\dpi{100} log\: \sqrt{0,3}$	f)	$\dpi{100} log\: 8$

g)	$\dpi{100} log\: 5$	h)	$\dpi{100} log\: \left ( \frac{12}{5} \right )^{3}$

10. Hallar el valor de x aplicando las propiedades de los logaritmos:


a)	$\dpi{100} ln\: x=ln\: 8+ln\: 2$	b)	$\dpi{100} log\: x=log\: 36-log\: 6$

c)	$\dpi{100} ln\: x=3\: ln\: 2$	d)	$\dpi{100} ln\: x=ln\: 3+ln\: 2-ln\: 6$

e)	$\dpi{100} log\: x=4\: log\: 2-\frac{1}{2}log\: 25$	f)	$\dpi{100} log\: x=3\: log\: 2-\frac{1}{4}log\: 16$

11. Sabiendo que log k = 14,4 calcula el valor de las siguientes expresiones:


	a)	$\dpi{100} log\: \frac{k}{100}$		b)	$\dpi{100} log(0,1\: k^{2})$

	c)	$\dpi{100} log\: \sqrt[3]{\frac{1}{k}}$		d)	$\dpi{100} log^{\frac{1}{2}}\: x$

12. Comprueba la siguiente expresión siendo a distinto de 1.


	$\dpi{100} \frac{log\: \frac{1}{a}+log\: \sqrt{a}}{\: log\: a^{3}\: }=-\frac{1}{6}$

13. Comprueba que en cualquier base:


	$\dpi{100} log_{a}\: 0,01+3\: log_{a}\: 100-4\: log_{a}\: 10=0$

14. Desarrolla las siguientes expresiones utilizando las propiedades de los logaritmos:


	a)	$\dpi{100} log\: \frac{a^{2}b}{c}$		b)	$\dpi{100} log\: (a^{2}b^{3}c)$

	c)	$\dpi{100} log\: \frac{a^{2}\sqrt[3]{b}}{\sqrt[4]{c^{3}}}$		d)	$\dpi{100} log\: \frac{m\sqrt[3]{n^{4}\sqrt{\frac{m}{n}}}}{n}$

	e)	$\dpi{100} log_{2}\: \frac{1}{2^{3x}}$		f)	$\dpi{100} log_{x}\: \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

15. Comprime las expresiones para que el logaritmo aparezca solo una vez:


	a)	$\dpi{100} log\: x^{4}-log\: \sqrt{xy}$		b)	$\dpi{100} log\: x-2\: log\: y$

	c)	$\dpi{100} 3\: log\: x+log(1-x)$		d)	$\dpi{100} \frac{log\: x}{2}+\frac{log\: y}{4}$

	e)	$\dpi{100} -log\: x-log\: y$

16. Elimina los logaritmo de las expresiones siguientes:


	a)	$\dpi{100} log\: x+log\: y=1$		b)	$\dpi{100} log\: x-log\: y=-1$

	c)	$\dpi{100} 4\: log\: x-3\: log\: y=2$		d)	$\dpi{100} \frac{2\: log\: x}{3}-1=log\: y$

	e)	$\dpi{100} log(log\: x)=1$