I.A.- Ejercicios sobre logaritmos

1. Calcula los siguientes logaritmos aplicando la definición:

     
  \dpi{100} \mathrm{a)}\, \, log_{3}\, 9 \dpi{100} \mathrm{b)}\, \, log_{2}\, 1024
     
  \dpi{100} \mathrm{c)}\, \, log_{2}\, 8 \dpi{100} \mathrm{d)}\, \, log_{\frac{1}{3}}\, 9
     
  \dpi{100} \mathrm{e)}\, \, log\, 100 \dpi{100} \mathrm{f)}\, \, log_{\frac{1}{2}}\, 1024
     
  \dpi{100} \mathrm{g)\, \, log_{\frac{1}{2}}}\, 8 \dpi{100} \mathrm{h)}\, \, log_{2}\, 1
     
  \dpi{100} \mathrm{i)}\, \, log_{2}\, 0,5 \dpi{100} \mathrm{j)}\, \, log_{2}\, 0,25
     
  \dpi{100} \mathrm{k)}\, \, log_{3}\, 243 \dpi{100} \mathrm{l)}\: \: log_{3}\: \frac{1}{9}
     
  \dpi{100} \mathrm{m)}\, \, log_{\frac{1}{3}}\, \frac{1}{9} \dpi{100} \mathrm{n)}\, \, log\, 0,01
     
  \dpi{100} \mathrm{n.)}\, \, log_{8}\, \frac{1}{8} \dpi{100} \mathrm{o)}\, \, log_{5}\, 125
     
  \dpi{100} \mathrm{p)}\, \, log_{\sqrt{2}}\, 4 \dpi{100} \mathrm{r)}\, \, log_{9}\, 3
     

2. Calcula los siguientes logaritmos aplicando la definición:

     
  \dpi{100} \mathrm{a)}\, \, log_{2}\, 512 \dpi{100} \mathrm{b)}\, \, log_{3}\, 27
     
  \dpi{100} \mathrm{c)}\, \, log\, 0,001 \dpi{100} \mathrm{d)}\, \, log_{\frac{1}{2}}\, 9
     
  \dpi{100} \mathrm{e)}\, \, log_{2}\, \frac{1}{64} \dpi{100} \mathrm{f)}\, \, log_{0,5}\, 4
     
  \dpi{100} \mathrm{g)}\, \, log_{\sqrt{3}}\, 3 \dpi{100} \mathrm{h)}\, \, log_{9}\, 1
     
  \dpi{100} \mathrm{i)}\, \, log\: 100 \dpi{100} \mathrm{j)}\, \, log_{2}\, \sqrt{8}
     
  \dpi{100} \mathrm{k)}\, \, log_{3}\, \sqrt{3} \dpi{100} \mathrm{l)}\, \, log_{\frac{1}{9}}\, 3
     
  \dpi{100} \mathrm{m)}\, \, log_{25}\, \frac{1}{125} \dpi{100} \mathrm{n)}\, \, log_{49}\, 7
     
  \dpi{100} \mathrm{n.)}\, \, log_{\frac{1}{6}}\, 36  
     

3. Halla la base de los logaritmos en las siguientes igualdades:

       
  \dpi{100} \mathrm{a)}\, \, log_{a}\, 4=2   \dpi{100} \mathrm{b)}\, \, log_{a}\, 9=2
       
  \dpi{100} \mathrm{c)}\, \, log_{a}\, 625=4   \dpi{100} \mathrm{d)}\, \, log_{a}\, 243=5
       
  \dpi{100} \mathrm{e)}\, \, log_{a}\, 256=8   \dpi{100} \mathrm{f)}\, \, log_{a}\, 0,125=3
       
  \dpi{100} \mathrm{g)}\, \, log_{a}\, 0,001=-3   \dpi{100} \mathrm{h)}\, \, log_{a}\, 1=0
       

4. Calcula la base de los siguientes logaritmos:

     
  \dpi{100} \mathrm{a)}\, \, log_{x}\, 3=-1 \dpi{100} \mathrm{b)}\, \, log_{x}\, \, \pi =1
     
  \dpi{100} \mathrm{c)}\, \, log_{x}\, \frac{1}{9}=-2 \dpi{100} \mathrm{d)}\, \, log_{x}\, 0,015625=3
     
  \dpi{100} \mathrm{e)}\, \, log_{x}\, 125=3 \dpi{100} \mathrm{f)}\, \, log_{x}\, 3=\frac{1}{2}
     
  \dpi{100} \mathrm{g)}\, \, log_{x}\, \frac{1}{4}=2 \dpi{100} \mathrm{h)}\, \, log_{x}\: 2=\frac{1}{2}
     
  \dpi{100} \mathrm{i)}\, log_{x}\, 0,04=-2 \dpi{100} \mathrm{j)}\, \, log_{x}\, 4=-\frac{1}{2}
     
  \dpi{100} \mathrm{k)}\, \, log_{x}\, 7=-2 \dpi{100} \mathrm{l)}\, \, log_{x}\, \sqrt[4]{3}=\frac{1}{2}
     

5. Aplicando la definición de logaritmo resolver los siguientes ejercicios:

     
  \dpi{100} \mathrm{a)}\, \, 2^{x}=16 \dpi{100} \mathrm{b)}\, \, 2^{2}=32
     
  \dpi{100} \mathrm{c)}\, \, 3^{\frac{1}{x}}=9 \dpi{100} \mathrm{d)}\, \, log_{2}\, 64=x
     
  \dpi{100} \mathrm{e)}\, \, log_{3}\, 81=x \dpi{100} \mathrm{f)}\, \, log_{101}\, 10201=x
     
  \dpi{100} \mathrm{g)}\, \, log_{16}\, 0,5=x \dpi{100} \mathrm{h)}\, \, log\, 0,00001=x
     
  \dpi{100} \mathrm{i)}\, \, log_{x}\, 125=\frac{3}{2} \dpi{100} \mathrm{j)}\, \, log_{x}\, \frac{1}{3}=-\frac{1}{2}
     
  \dpi{100} \mathrm{k)}\, \, log_{125}\, \frac{1}{\sqrt{5}}=x \dpi{100} \mathrm{l)}\, \, log_{343}\, \sqrt{7}=x
     

6. Calcula el valor de x aplicando a definición de logaritmo:

     
  \dpi{100} \mathrm{a)}\, \, log_{\frac{2}{3}}\, \frac{81}{16}=x \dpi{100} \mathrm{b)}\, \, log_{\frac{5}{3}}\, \frac{27}{125}=x
     
  \dpi{100} \mathrm{c)}\, \, log_{8}\, \sqrt[4]{2}=x \dpi{100} \mathrm{d)}\, \, x=log_{3}\, (2\sqrt{3})
     
  \dpi{100} \mathrm{e)}\, \, x=log_{3}\, \left ( \frac{\sqrt[4]{3}}{9} \right ) \dpi{100} \mathrm{f)}\, \, x=log_{81}\, 3
     
  \dpi{100} \mathrm{g)}\, \, x=log_{81}\, \left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right ) \dpi{100} \mathrm{h)}\, \, x=log_{\frac{1}{9}}\, \frac{\sqrt[4]{3}}{3}
     
  \dpi{100} \mathrm{i)}\, \, x=log_{\frac{\sqrt{3}}{3}}\, 81 \dpi{100} \mathrm{j)}\, \, log_{\frac{\sqrt{3}}{3}}\, \left ( \frac{\sqrt[4]{3}}{3} \right )
     
  \dpi{100} \mathrm{k)}\, \, log_{x}\, \left ( \frac{1}{2187} \right )=7  
     

7. Halla el resultado de las siguientes expresiones:

       
  a) \dpi{100} log_{5}\: 125-log_{3}\: 243+log_{4}\: 256  
       
  b) \dpi{100} log_{3}\: 1+log_{2}\: 64+log_{3}\: 9+log_{7}\, 49  
       
  c) \dpi{100} log_{2}\: 4+log_{3}\, 81-log_{6}\: 216+log_{4}\: 64  
       
  d) \dpi{100} log_{3}\: \frac{1}{9}-log_{5}\: 0,2+log_{6}\: \frac{1}{36}-log_{2}\: 0,5  
       

8. Sabiendo que log 2 = 0,3010, log 3 = 0,4771 y log 7 = 0,8451, hallar el valor aproximado de:

               
a) \dpi{100} log\: 30 b) \dpi{100} log\: 84 c) \dpi{100} log\: 162 d) \dpi{100} log\: 0,128
               
e) \dpi{100} log\: 14,4 f) \dpi{100} log\: \sqrt[3]{12} g) \dpi{100} log\: 25 h) \dpi{100} log\: 0,125
               

9. Sabiendo que log 2 = 0,3010 y log 10= 0,4774, calcula:

           
a) \dpi{100} log\: 2,025 b) \dpi{100} log\: \sqrt[5]{0,02} c) \dpi{100} log\: \frac{\sqrt{0,025}}{8}
           
d) \dpi{100} log_{5}\: 4 e) \dpi{100} log\: \sqrt{0,3} f) \dpi{100} log\: 8
           
g) \dpi{100} log\: 5 h) \dpi{100} log\: \left ( \frac{12}{5} \right )^{3}    
           

10. Hallar el valor de x aplicando las propiedades de los logaritmos:

       
a) \dpi{100} ln\: x=ln\: 8+ln\: 2 b) \dpi{100} log\: x=log\: 36-log\: 6
       
c) \dpi{100} ln\: x=3\: ln\: 2 d) \dpi{100} ln\: x=ln\: 3+ln\: 2-ln\: 6
       
e) \dpi{100} log\: x=4\: log\: 2-\frac{1}{2}log\: 25 f) \dpi{100} log\: x=3\: log\: 2-\frac{1}{4}log\: 16
       

11. Sabiendo que log k = 14,4 calcula el valor de las siguientes expresiones:

           
  a) \dpi{100} log\: \frac{k}{100}   b) \dpi{100} log(0,1\: k^{2})
           
  c) \dpi{100} log\: \sqrt[3]{\frac{1}{k}}   d) \dpi{100} log^{\frac{1}{2}}\: x
           

12. Comprueba la siguiente expresión siendo a distinto de 1.

     
  \dpi{100} \frac{log\: \frac{1}{a}+log\: \sqrt{a}}{\: log\: a^{3}\: }=-\frac{1}{6}  
     

13. Comprueba que en cualquier base:

     
  \dpi{100} log_{a}\: 0,01+3\: log_{a}\: 100-4\: log_{a}\: 10=0  
     

14. Desarrolla las siguientes expresiones utilizando las propiedades de los logaritmos:

           
  a) \dpi{100} log\: \frac{a^{2}b}{c}   b) \dpi{100} log\: (a^{2}b^{3}c)
           
  c) \dpi{100} log\: \frac{a^{2}\sqrt[3]{b}}{\sqrt[4]{c^{3}}}   d) \dpi{100} log\: \frac{m\sqrt[3]{n^{4}\sqrt{\frac{m}{n}}}}{n}
           
  e) \dpi{100} log_{2}\: \frac{1}{2^{3x}}   f) \dpi{100} log_{x}\: \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x^{2}}}
           

15. Comprime las expresiones para que el logaritmo aparezca solo una vez:

           
  a) \dpi{100} log\: x^{4}-log\: \sqrt{xy}   b) \dpi{100} log\: x-2\: log\: y
           
  c) \dpi{100} 3\: log\: x+log(1-x)   d) \dpi{100} \frac{log\: x}{2}+\frac{log\: y}{4}
           
  e) \dpi{100} -log\: x-log\: y      
           

16. Elimina los logaritmo de las expresiones siguientes:

           
  a) \dpi{100} log\: x+log\: y=1   b) \dpi{100} log\: x-log\: y=-1
           
  c) \dpi{100} 4\: log\: x-3\: log\: y=2   d) \dpi{100} \frac{2\: log\: x}{3}-1=log\: y
           
  e) \dpi{100} log(log\: x)=1      
           

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