II.- Ejercicios resueltos de logaritmos

Aplicaremos las propiedades de los logaritmos:

  \dpi{100} log_{a}\, n.m=log_{a}\, n+log_{a}\, m  
     
  \dpi{100} log_{a}\, \frac{n}{m}=log_{a}\, n-log_{a\, m}  
     
  \dpi{100} log_{a}\, n^{m}=m\, log_{a\, n}  
     
  \dpi{100} log\, n=log\, m\leftrightarrow n=m  
     
  11. Resolver  
  \dpi{100} \bg_black ln\, \frac{1}{e^{\, 5\, }}=y  
     
  tenemos:  
  \dpi{100} \bg_black e^{y}=\frac{1}{e^{5}}\: \: \: ;\: \: \: e^{y}=e^{-5}\: \: \: ;\: \: \: y=-5  
     

Soluciones:    y = –5

  12. Resolver  
  \dpi{100} \bg_black log_{\sqrt{3}}\, \sqrt[5]{\frac{1}{\, 81\, }}=y  
     
  tenemos:  
          \dpi{100} \bg_black \sqrt{3^{y}}=\sqrt[5]{\frac{1}{81}}\: \: \: ;\: \: \: 3^{\frac{1}{2}y}=3^{-\frac{4}{5}}\: \: \: ;\: \: \: y=-\frac{5}{8}  
     

Soluciones:    y = — 5/8

  13. Resolver  
  \dpi{100} \bg_black log_{2}\, 32=x  
     
  tenemos:  
  \dpi{100} \bg_black 2^{x}=32\: \: \: ;\: \: \: 2^{x}=2^{5}\: \: \:;\: \: \: x=5  
     

Soluciones:    x = 5

  14. Resolver  
  \dpi{100} \bg_black log_{\frac{1}{2}}\, 0,25=x  
     
  tenemos:  
    \dpi{100} \bg_black \left ( \frac{1}{2} \right )^{x}=\frac{25}{100}\: \: \: ;\: \: \: \left ( \frac{1}{2} \right )^{x}=\frac{1}{4}  
     
  \dpi{100} \bg_black \left ( \frac{1}{2} \right )^{x}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}\: \: \: ;\: \: \: x=2  
     

Soluciones:    x = 2

  15. Resolver  
  \dpi{100} \bg_black log_{9}\, \sqrt[4]{3}=x  
     
  tenemos:  
  \dpi{100} \bg_black 9^{x}=\sqrt[4]{3}\: \: \: ;\: \: \: 3^{2x}=3^{\frac{1}{4}}\: \: \: ;\: \: \: x=\frac{1}{8}  
     

Soluciones:    x = 1/8

  16. Resolver  
  \dpi{100} \bg_black log_{x}\, 81=-4  
     
    tenemos:  
  \dpi{100} \bg_black x^{-4}=81\: \: \: ;\: \: \: x^{4}=\frac{1}{81}\: \: \: ;\: \: \: x=\frac{1}{3}  
     

Soluciones:    x = 1/3

  17. Resolver  
  \dpi{100} \bg_black 2\, log\, x=3+log\, \frac{x}{10}  
     
  tenemos:  
  \dpi{100} \bg_black 2\, log\, x=3+log\, x-log\, 10  
  \dpi{100} \bg_black 2\,log\, x-log\, x=3-1\, \, ;\, \, log\, x=2\: \: ;\: \: x=100  

Soluciones:    x = 100

  18. Resolver  
  \dpi{100} \bg_black log\, x+log\, (x+3)=2\, log\, (x+1)  
     
  tenemos:  
  \dpi{100} \bg_black log\left [ \, x\, (x+3) \right ]=log\, (x+1)^{2}  
  \dpi{100} \bg_black x\, (x+3)=(x+1)^{2}  
  \dpi{100} \bg_black x^{2}+3x=x^{2}+2x+1\: \: \: ;\: \: \: x=1  
     

Soluciones:    x = 1

  19. Resolver  
  \dpi{100} \bg_black 4\, log\, \frac{x}{5}+log\, \frac{625}{\, 4\, }=2\, log\, x  
     
     
  \dpi{100} \bg_black log\, \left ( \frac{x}{5} \right )^{4}+log\, \left ( \frac{625}{4} \right )=log\, x^{2}  
     
  \dpi{100} \bg_black log\, \left ( \frac{x^{4}}{\, 625\, }.\frac{625}{4} \right )=log\, x^{2}  
     
  \dpi{100} \bg_black log\, \frac{\, \, x^{4}}{4\: }=log\, x^{2}\: \: ;\: \: \frac{x^{4}}{4}=x^{2}\: \: ;\: \: x^{4}-4x^{2}=0  
     
  \dpi{100} \bg_black x=0\: \: \: \: ;\: \: \: \: x=-2\: \: \: \: ;\: \: \: \: x=2  
     

Soluciones:    x = 0 ; x=–2 ; x= 2

  20. Resolver  
  \dpi{100} \bg_black 2\, log\, x-2\, log\, (x+1)=0  
     
  Soluciones:  
  \dpi{100} \bg_black log\, x^{2}-log\, (x+1)^{2}=log\, 1  
     
  \dpi{100} \bg_black log\, \frac{x^{2}}{(x+1)^{2}}=log\, 1\: \: \: ;\: \: \: \frac{x^{2}}{(x+1)^{2}}=1  
     
  \dpi{100} \bg_black x+1=0\: \: \: \: ;\: \: \: \: x=-\frac{1}{2}\: \: \: \: ;\: \: \: \mathrm{sin\, solucion}  
     

Soluciones:    x=–1/2 ; sin solución