Discusión de la ecu. de 1º grado

Discusion.- Discutir la ecuación de 1.er grado es razonar los diversos resultados que podemos obtener.

La ecuación de 1.er grado con una sola incóginta puede siempre reducirse a la forma:

ax=b     cuya raiz es     x=\frac{0}{a}=0

en la que a y b representan valores conocidos, positivos o negativos e incluso nulos.

1.er caso: a\neq 0.  Entonces la división  \frac{a}{b}  puede efectuarse dando una solución única.

Caso particular: Si b el valor de x es  \frac{0}{a}=0.

2º caso:  a=0 y b\neq 0.  Tendremos entonces:   x=\frac{b}{0},  lo cuál es imposible porque no hay ningún número que multiplicado por cero de b.

La ecuación no tiene ninguna solución.

3.er caso:   a=0 y b=0.   Tendremos :  x=\frac{0}{0}.  Ahora bien, dualquier número multiplicado por cero da cero.

La ecuación tiene infinitas soluciones, es decir, es indeterminada.

Observación I. El símbolo b/0 no representa ningún cociente. Representa un cálculo imposibe.

Por otra parte podemos observar que una fracción cuyo numerador no cambia, aumenta en valer a medida que disminuye se denominador. Así:

\frac{9}{0,1}=90\: \: \: \: \frac{9}{0,001}=9.000\: \: \: \: \frac{9}{0,000001}=9.000.000

Si el denominador disminuye hasta cero, el valor de fracción llegará a ser superior a cualquier número por grande que sea, se dice que tiende al infinito.

Por eso  \frac{b}{0}  es el símbolo del infinito (Ꝏ) y suele escribirse \frac{b}{0}=

Observación II\frac{0}{0}  es el símbolo de la indeterminación pero en algunos casos esa indeterminación es aparente: proviene de que hay en el numerador y denominador un factor común que se anula para ciertos valores de la incógnita. Suprimiendo ese factor este factor desaparece la indeterminación.

Ejemplo 1.

x=\frac{a^{3}+a^{2}b-ab-b^{2}}{a^{2}-b^{2}}

Para los valores   a=2   y   b=-2   resulta    x=\frac{0}{0}

Pero el valor de x lo podemos poner:

x=\frac{a^{3}+a^{2}b-ab+b^{2}}{a^{2}-b^{2}}=\frac{(a+b)(a^{2}-1)}{(a+b)(a-b)}=\frac{a^{2}-b}{a-b}

dando valores a y b resulta   x=\frac{3}{2}

Ejemplo 2.

x=\frac{2a^{3}-3a^{2}+1}{a^{2}-2a+1}

para el valor de   a = 1   se reduce a   \frac{0}{0}  pero

x=\frac{2a^{3}-3a^{2}+1}{a^{2}-2a+1}=\frac{(2a+1)(a-1)^{2}}{(a-1)^{2}}=2a+1

que para a = 1, resulta x = 3