Discusión de la ecu. de 1º grado

Discusión.- Discutir la ecuación de primer grado es razonar los diversos resultados que podemos obtener.

La ecuación de 1.er grado con una sola incógnita puede siempre reducirse a la forma:

\large ax=bcuya raíz es\large x=\frac{0}{a}=0

en la que a y b representan valores conocidos, positivos o negativos e incluso nulos.

1.er caso: a\neq 0.  Entonces la división    \large \frac{a}{b}    puede efectuarse dando una solución única.


Caso particular: Si b es cero el valor de x es    \large \frac{0}{a}=0.

2.º caso:  \large a=0\: \mathrm{y}\: b\neq 0. Tendremos entonces:     \large x=\frac{b}{0},   lo cuál es imposible, ningún número multiplicado por cero da b.

La ecuación no tiene ninguna solución.

3.er caso:   \large a=0\: \mathrm{y\: b=0}.   Tendremos :    \large x=\frac{0}{0}.    Ahora bien, cualquier número multiplicado por cero da cero.

La ecuación tiene infinitas soluciones, es decir, es indeterminada.

Observación I. El símbolo b/0 no representa ningún cociente. Representa un cálculo imposible.

Por otra parte podemos observar que una fracción cuyo numerador no cambia, aumenta en valer a medida que disminuye se denominador. Así:

\frac{9}{0,1}=90\: \: \: \: \frac{9}{0,001}=9.000\: \: \: \: \frac{9}{0,000001}=9.000.000

Si el denominador disminuye hasta cero, el valor de fracción llegará a ser superior a cualquier número por grande que sea, se dice que tiende al infinito.

Por eso  \frac{b}{0}  es el símbolo del infinito (Ꝏ) y suele escribirse \frac{b}{0}=

Observación II.  0/0  es el símbolo de la indeterminación pero en algunos casos esa indeterminación es aparente: proviene de que hay en el numerador y denominador un factor común que se anula para ciertos valores de la incógnita. Suprimiendo este factor desaparece la indeterminación.

Ejemplo 1.

\large x=\frac{a^{3}+a^{2}b-ab-b^{2}}{a^{2}-b^{2}}
Para los valores   a = 2   y   b = -2   resulta   x = 0/0

Pero el valor de x lo podemos poner:

\large x=\frac{a^{3}+a^{}b-ab-b^{2}}{a^{2}-b^{2}}=\frac{(a+b)(a^{2}-b)}{(a+b)(a-b)}=\frac{a^{2}-b}{a-b}

dando valores   a   y   b   resulta     x=\frac{3}{2}

Ejemplo 2.

\large x=\frac{2a^{3}-3a^{2}+1}{a^{2}-2a+1}

para el valor de   a = 1   se reduce a     \frac{0}{0},   pero

\large x=\frac{2a^{3}-3a^{2}+1}{a^{2}-2a+1}=\frac{(2a+1)(a-1)^{2}}{(a-1)^{2}}=2a+1

que para a = 1, resulta x = 3

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