Discusión de la ecuación de primer grado

Discusión de la ecuación de primer grado es razonar los diversos resultados que podemos obtener.

Cualquier ecuación de primer grado con una incógnita puede reducirse a la forma:

$a x = b$

donde $a$ y $b$ son números reales, que pueden ser positivos, negativos o nulos.

La solución formal a esta ecuación es:

$x = b / a$

A partir de aquí, se distinguen los siguientes casos-

Primer caso: $a\neq 0.$ Entonces la división $\large \frac{a}{b}$ puede efectuarse dando una solución única.

Caso particular:

Si b es cero el valor de $x$ es $\large \frac{0}{a}=0$ .

La solución es única y vale cero.

Segundo caso: $\large a=0\: \mathrm{y}\: b\neq 0$ . Tendremos entonces: $\large x=\frac{b}{0}$ , lo cuál es imposible, ningún número multiplicado por cero da b.

Esto es imposible, ya que ningún número multiplicado por cero puede dar un número distinto de cero.

La ecuación no tiene ninguna solución.(ecuación imposible)

Tercer caso: $\large a=0\: \mathrm{y\: b=0}$ . Tendremos : $\large x=\frac{0}{0}$ . Ahora bien, cualquier número multiplicado por cero da cero.

La ecuación queda:

$0 . x = 0$

Esta igualdad se cumple para cualquier valor de $x$ .

La ecuación tiene infinitas soluciones, es decir, es indeterminada.

Observaciones importantes:

Observación I. El significado de b/0
No representa ningún cociente: Es un cálculo imposible.

Por otra parte podemos observar que una fracción cuyo numerador no cambia, aumenta en valer a medida que disminuye se denominador. Así:

\frac{9}{0,1}=90\: \: \: \: \frac{9}{0,001}=9.000\: \: \: \: \frac{9}{0,000001}=9.000.000

Si el denominador disminuye hasta cero, el valor de fracción llegará a ser superior a cualquier número por grande que sea, se dice que tiende al infinito.

Por eso $\frac{b}{0}$ es el símbolo del infinito (Ꝏ) y suele escribirse $\frac{b}{0}=$

Observación II. La indeterminación 0/0 es el símbolo de la indeterminación
No obstante, en muchos casos esta indeterminación es solo aparente y se debe a la existencia de un factor común que se anula.

Ejemplos:

Ejemplo 1.

$\large x=\frac{a^{3}+a^{2}b-ab-b^{2}}{a^{2}-b^{2}}$

Para los valores a = 2 y b = -2 resulta x = 0/0

Pero el valor de $x$ lo podemos poner:

$\large x=\frac{a^{3}+a^{}b-ab-b^{2}}{a^{2}-b^{2}}=\frac{(a+b)(a^{2}-b)}{(a+b)(a-b)}=\frac{a^{2}-b}{a-b}$

dando valores a y b resulta $x=\frac{3}{2}$

Ejemplo 2.

$\large x=\frac{2a^{3}-3a^{2}+1}{a^{2}-2a+1}$

para el valor de a = 1 se reduce a $\frac{0}{0}$ , pero

$\large x=\frac{2a^{3}-3a^{2}+1}{a^{2}-2a+1}=\frac{(2a+1)(a-1)^{2}}{(a-1)^{2}}=2a+1$

que para a = 1, resulta x = 3

Conclusión didáctica:

Una ecuación de primer grado puede tener una solución, ninguna solución o infinitas soluciones.
Las expresiones $\frac{b}{0}$ y $\frac{0}{0}$ no son números, pero ayudan a interpretar el comportamiento de la ecuación.
Es fundamental simplificar antes de concluir que una ecuación es indeterminada.

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