Soluciones: IV Problemas de geometría 2º grado

1.306
Llamando   x   al lado del medio, los otros dos medirán,   x — 7   y   x + 7
\large (x-7)^{2}+x^{2}=(x+7)^{2}
\large x^{2}-14x+49+x^{2}=x^{2}+14x+49
\large x^{2}=28x\: \: ;\: \: x=28
Medirán   21,   28   y   35 metros
1.307
Representando por x la longitud de la tangente, tendremos:
\large x^{2}=(35,5+4,5)4,5\: \: ;\: \: x=12,9
La longitud será   12,90   metros
1.308
Llamando   x   al lado, el otro medirá   x — 4
\large x^{2}-(x-4)^{2}=128\: \: ;\: \: x=18
Medía   18   metros
1.309
Llamando   x   al lado, el otro medirá   3x/4
\large x^{2}+\left ( \frac{3x}{4} \right )^{2}=40^{2}
\large 25x^{2}=256000\: \: \: ;\: \: \: x=32
Los lados miden   32   y   24   metros
1.310
Llamando   x   e   y   a los dos catetos tenemos:
\large x^{2}+y^{2}=400\: \: (1)
        \large \frac{x}{y}=\frac{2}{3}\: \: (2)
de (2) tenemos
\large \frac{x^{2}}{y^{2}}=\frac{4}{9}
llevando uno de estos valores a la (1), no da:
\large x^{2}+\frac{9x^{2}}{4}=400\: \: ;\: \: 4x^{2}+9x=1600
\large x=\sqrt{\frac{1600}{13}}=11,09
y como:
\large 3x=2y
podemos poner:
\large y=\frac{3\, .\, 11,09}{2}=16,63
Los catetos miden   11,09   y   16,63   metros
1.311
Siendo   x   el lado del cuadrado, su superficie es   x2 .
La del rectángulo será   (x + 10)x
        \large x^{2}+10x-x^{2}=150\: \: \: ;\: \: \: x=15
El lado es de   15   metros
1.312
Representando por   x   e   y   las bases, tenemos:
        \large (\frac{x+y}{2})3=xy\: \: (1)
             \large x+2y=9\: \: \: \: (2)
Sacando el valor de   x   en (2) y llevándolo a (1) tenemos
\large 3\left ( \frac{y+9-2y}{2} \right )=y(9-2y)
\large 4y^{2}-21y+27=0
\large y=3\: \: \: ;\: \: \: y'=2,25
de la ecuación (2) sacamos:
\large x=3\: \: \:;\: \: \: x'=4,50
Medirán para y=3, x=3 ; para y=2,25, x=4,5
1.313
Si la base inferior mide   x,   la superior medirá   3x/5,
Y la altura   1/3(x + 3x/5), o sea   8x/15
\large \frac{1}{2}\left ( x+\frac{3x}{5} \right )\frac{8x}{15}=864
la base pequeña será:
\large \frac{3\, .\, 45}{5}=27
Las bases miden   45   y 27,   y la altura   24   metros
1.314
Sea la recta AB, y en ella el punto P
\large \overline{CD}^{2}=\overline{CP}^{2}+\overline{PD}^{2}
\large \overline{CD}^{2}=x^{2}+\overline{AC}^{2}+(18-x)^{2}+\overline{BD}^{2}
\large \overline{CD}^{2}=x^{2}+16+324+x^{2}-36x+64
\large \overline{CD}^{2}=2x^{2}-36x+404
pero también:
\large \overline{CD}^{2}=\overline{AB}^{2}+(BD-AC)^{2}
\large \overline{CD}^{2}=18^{2}+4^{2}=340
\large 2x^{2}-36x+404=340
\large x=16\: \: \: ;\: \: \: x'=2
El punto está a   16   o a   2   metros de A
1.315
Lamando   x   e   y   a los radios, tenemos:
\large x-y=4(x+y-15)\: \: (1)
También tenemos que:
\large \overline{DO}^{2}=\overline{DE}^{2}+\overline{EO}^{2}
\large (x+y)^{2}=15^{2}+(x-y)^{2}
\large x^{2}+y^{2}+2xy=15^{2}+x^{2}+y^{2}-2xy
\large xy=\frac{225}{4}\: \: (2)
De (1) tenemos que:
\large x-y=4x+4y-60
\large y=\frac{60-3x}{5}
reemplazando este valor en (2), no da:
\large \frac{x(60-3x)}{5}=\frac{225}{4}
\large 4x^{2}-80x+375=0
\large x=12,5\: \: \: x'=7,5
Tenemos entonces que para   x=12,5
\large y=\frac{12,5(60-3)}{5}=4,5
Y para   x=7,5
\large y=\frac{7,5(60-3)}{5}=7,5
Los radios miden   12,50   y   4,50   m., o los dos   7,50

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