Soluciones – Resolución de triángulos oblicuángulos

80.

$\large Datos\left\{\begin{matrix} a=800\, m.\\ b=900\, m.\\ A=47,80^{0}\: \: \end{matrix}\right. \: \: ;\: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} B\\ C\\ c\end{matrix}\right.$

Aplicamos en teorema de los senos

$\large sen\, B=\frac{900\; sen\, 47,80^{0}}{900}\: \: ;\: \: B=56,45^{0}$

al ser el lado a menor que el b, tendremos dos triángulos

$\large A=47,80^{0}\; ;\; B=56,45^{0}\; C=75,75^{0}$

$\large c=\frac{a\; sen\, C}{sen\, A}:\frac{800\; sen\, 75,75^{0}}{sen\, 47,80^{0}}=1046,68$

Luego hay dos triángulos que tienen iguales los lados a y b, y el ángulo A, y diferente el lado b y los ángulos B y C.

$\large A_{1}=47,80^{0}\: ;\: B_{1}=123,55^{0}\: ;\: C_{1}=8,65^{0}$

$\large c_{1}=\frac{a\; sen\, C_{1}}{sen\, A}=\frac{800\; sen\, 8,65^{0}}{sen\, 47,80^{0}}=162,42$

81.

$\large Datos\left\{\begin{matrix} a=34015,6\, m.\\ b=27700,1\, m.\\ A=66,56^{0}\end{matrix}\right. \: ;\: \left\{\begin{matrix} \mathrm{Hallar}\\ \mathrm{la}\\ \mathrm{superficie}\end{matrix}\right.$

$\large S=\frac{1}{2}ab\; sen(A+B)\: \: ;\: \: sen\, B=\frac{b\; sen\, A}{a}$

$\large sen\, B=\frac{27700,1\; sen\, 66,56^{0}}{34015,6}\: \: ;\: \:B=48,34^{0}$

$\large S=30807,8\; sen\, 114,90^{0}=27944$

82.

$\large Datos\left\{\begin{matrix} a=250\, m.\\ b=225\, m\\ c=175\, m.\end{matrix}\right. \: \: ;\: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} A\\ B\\ C\end{matrix}\right.$

$\large tg\, \frac{1}{2}A=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}$

$\large tg\frac{1}{2}A=\sqrt{\frac{15000}{24375}}\: \: ;\: \: \frac{1}{2}A=38,12^{0}\: \: ;\: \: A=76,24^{0}$

El mismo procedimiento para los ángulos B y C

$\large S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=19121$

Solución:

A = 76,25º B = 60,92º C = 42,83º S = 19.121 m²

83.

$\large Datos\left\{\begin{matrix} a=100\, m.\\ b=80\, m.\\ c=60\, m.\end{matrix}\right. \: \: ;\: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} A\\ B\\ C\end{matrix}\right.$

$\large tg\, \frac{1}{2}A=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}$

$\large tg\frac{1}{2}A=\sqrt{\frac{2400}{2400}}\: \: ;\: \: A^{0}=90$

$\large tb\frac{1}{2}B=\sqrt{\frac{1200}{4800}}\: \: ;\: \: B=53,12^{0}$

$\large tg\frac{1}{2}C=\sqrt{\frac{800}{7200}}\: \: ;\: \: C=36,87^{0}$

$\large C=90^{0}-B=90-53,13^{}=36,87^{0}$

Solución:

A = 90º B = 53,13º C = 36,87º

Es un triángulo rectángulo

84.

$\large Datos\left\{\begin{matrix} A=102,61^{0}\: \: \: \: \: \: \: \\ B=33,69^{0}\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ a=5387,48\, m.\end{matrix}\right. \: \: ;\: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} c\\ b\\ C\end{matrix}\right.$

$\large C=180^{0}-(A+B)=43,70^{0}$

$\large b=\frac{a\; sen\, B}{sen\, A}\: \: ;\: \: c=\frac{a\; sen\, C}{sen\, A}$

$\large log\, b=(log\, a+log\; sen\, B)-log\; sen\, A\: ;\: b=3063$

$\large log\, c=(log\, a+log\; sen\, C)-log\; sen\, A\: ;\: c=3814$

Solución:

A = 43,70º b = 3063 c = 3814

85.

$\large Datos\left\{\begin{matrix} a=200,19\, m.\\ b=234,85\, m.\\ A=49,56^{0}\: \: \: \: \: \: \: \: \end{matrix}\right. \: \: ;\: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} c\\ B\\ C\end{matrix}\right.$

$\large log\; sen\, B=(log\, b+log\; sen\, A)-log\, a$

$\large B=63,23^{0}$

$\large C=180-(A+B)=67,21^{0}$

Siendo A < 90º y a < b, B tendrá dos valores suplementarios que forman dos triángulos diferentes.
Tomando el primer valor tendremos:

$\large log\, c=(log\, a+log\; sen\, C)-log\; sen\, A$

$\large c=242,50$

Tenemos pues:

$\large B_{1}=180-B=116,77^{0}$

$\large C_{1}=180-(A+B_{1})=13,67^{0}$

$\large c_{1}=\frac{b\; sen\, C_{1}}{sen\, B_{1}}=62,16$

Solución:

$\large B=\: \: 63,23^{0}$ $\large C=\: \: 67,21^{0}$ $\large c=242,50$
$\large B_{1}=116,77^{0}$ $\large C_{1}=\: \: 13,67^{0}$ $\large c=\: \: 62,16$

88.

$\large Datos\left\{\begin{matrix} \, \, \, \, a=1200\, m.\\ B=45,63^{0}\\ C=40,42^{0}\end{matrix}\right. \: \: ;\: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} A\\ b\\ c\end{matrix}\right.$

$\large b=\frac{a\; sen\, B}{sen\, A}$

$\large log\, b=(log\, a+log\; sen\: B)-log\;sen\, A$

$\large b=859,40$

$\large c=\frac{a\; sen\, C}{sen\, A}$

$\large log\, c=(log\, a+log\; sen\, C)-log\; sen\, A$

$\large c=779,92$

Solución:

A = 93,95º ; b = 859,40 m. ; c = 779,92 m.

89.

$\large Datos\left\{\begin{matrix} a=1200\, m.\\ b=860\, m.\: \: \\ C=40,43^{0}\: \: \:\: \end{matrix}\right. \: \: ;\: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} A\\ B\\ c\end{matrix}\right.$

$\large c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\; cos\, C$

$\large c=780,055$

$\large a^{2}=b^{2}+c^{2}-2cb\; cos\, A$

$\large cos\, A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2\, bc}\: \: ;\: \: A=93,92^{0}$

$\large B=180^{0}-(A+C)=45,65^{0}$

Solución:

A = 93,92º ; c = 480,055 m. ; B = 45,65º

90.

$\large Datos\left\{\begin{matrix} a=57,70\, m.\\ b=71,58\, m.\\ c=87,80\, m.\end{matrix}\right. \: \: ;\: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} A\\ B\\ C\end{matrix}\right.$

$\large tg\, \frac{1}{2}A=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}$

$\large log\; tg\frac{1}{2}A=$

$\large =[log(p-b)+log(p-c)-log\, p-log(p-a)]$

$\large A=40,87^{0}$

$\large tg\frac{1}{2}C=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}$

$\large C=84,83^{0}$

$\large B=180-(A+C)=54,30^{0}$

Solución:

A = 40,87º ; C = 84,20º ; B = 54,30º

91.

$\large Datos\left\{\begin{matrix} A=54,27^{0}\: \: \: \\ a=7158\, m.\\ b=5777\, m.\end{matrix}\right. \: ;\: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} c\\ B\\ C\end{matrix}\right.$

$\large sen\, B=\frac{b\; sen\, A}{a}$

$\large lg\; sen\, B=(lg\, b+lg\; sen\, A)-lg\, a$

$\large B=40,93^{0}$

$\large log\, c=log\left ( \frac{a\; sen\, C}{sen\, A} \right )\: \: ;\: \: c=8781,81$

Solución:

c = 8,781,81 m. ; B = 40,93º ; C = 84,80º

92.

$\large Datos\left\{\begin{matrix} A=72,28^{0}\: \: \: \: \: \: \: \\ B=48,20^{0}\: \: \: \: \: \: \: \: \\ c=460,40\, m.\end{matrix}\right. ;\: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} C\\ a\\ b\end{matrix}\right.$

$\large C=180-(A+B)=59,52^{0}$

$\large b=\frac{c\; sen\, B}{sen\, C}\: \: ;\: \: a=\frac{c\; sen\, A}{sen\, C}$

$\large log\, b=log\left ( \frac{560,40\; sen\, 48,20^{0}}{sen\, 59,52^{0}} \right )\: \: ;\: \: b=484,76$

$\large log\, a=log\left ( \frac{560,40\; sen\, 72,28^{0}}{sen\, 59,52^{0}} \right )\: \: ;\: \: a=619,41$

Para hallar la superficie:

$\large S=\frac{c^{2}\; sen\, A\; sen\, B}{2\, sen\, C}$

$\large log\, S=(2log\, c+log\, sen\, A+log\, sen\, B)-$ $\large lg\, sen\, C-lg\, 2\: \: ;\: \: S=129390,80$

Solución:

a = 619,41 m. ; b = 484,76 m. ; C = 59,25º

93.

$\large Datos\left\{\begin{matrix} A=61,42^{0}\\ B=48,58^{0}\:\\ c=180\, m.\end{matrix}\right. \: ;\: \: Inc\acute{o}gnitas\left\{\begin{matrix} C\\ a\\ b\end{matrix}\right.$

$\large C=180^{0}-(A+B)=70^{0}$

$\large \frac{sen\, 70^{0}}{180}=\frac{sen\, 61,42^{0}}{a}=\frac{sen\, 48,58^{0}}{b}$

$\large a=\frac{180\; sen\, 61,42^{0}}{sen\, 70}\: \: ;\: \: b=\frac{180\; sen\, 48,58^{0}}{sen\, 70}$

Solución:

C = 70º ; a = 168,21 m. ; b = 143,62 m.

94.

$\large Datos\left\{\begin{matrix} B=35^{0}\\ A-C=60^{0}\\ a=1800\, m.\end{matrix}\right. \: \:;\: \: Inc\acute{o}nitas\left\{\begin{matrix} A\\ C\\ b\\ c\end{matrix}\right.$

La suma de los ángulos desconocidos será:

$\large A+C=180^{0}-35^{0}=145^{0}$

$\large \frac{sen\, A}{1800}=\frac{sen\, B}{b}=\frac{sen\, C}{c}$

$\large log\, b=(log\, a+log\; sen\, B)-log\; sen\, A$

$\large b=1057,50$

$\large log\, c=(log\, a+log\; sen\, C)-log\; sen\, A$

$\large c=1254,60$

Solución:

b = 1.057,50 m. ; c = 1.254,60 m. ; A = 102,5º ; C = 42,50º

95.

$\large Datos\left\{\begin{matrix} \: \: \: AB=72\, m.\\ \: \: \: \: \: \: \: BC=83,5\, m.\\ \: \: CD=85\, m.\\ \: \: \: \: \: \: AD=32,4\, m.\\ DAB=63,47^{0}\\ BCD=34,72^{0}\end{matrix}\right.$